Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 24/latex

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\setcounter{section}{24}






\zwischenueberschrift{Quadratische Körpererweiterungen}

Die aller einfachste Körpererweiterung ist die \stichwort {identische Körpererweiterung} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die den Grad $1$ besitzt. Die nächst einfachsten sind die vom Grad zwei.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} zwei heißt eine \definitionswort {quadratische Körpererweiterung}{.}

}

Beispiele sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{ \Q[ \sqrt{p}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $p$ eine Primzahl ist \zusatzklammer {oder sonst eine rationale Zahl ohne rationale Quadratwurzel} {} {} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ K[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu einem irreduziblen quadratischen Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{X^2+aX+b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}





\inputfaktbeweis
{Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mathbed {x \in L} {,}
{x \notin K} {und}
{x^2 \in K} {} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Voraussetzung ist $L$ ein zweidimensionaler \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $K$, und darin ist
\mathl{K=K1}{} ein eindimensionaler \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element
\mathl{y \in L}{} derart, dass \mathkor {} {1} {und} {y} {} eine $K$-Basis von $L$ bilden. Wir können
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 }
{ =} {a+by }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben, bzw. \zusatzklammer {da $2$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist} {} {,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {y^2-by-a }
{ =} {{ \left( y- { \frac{ b }{ 2 } } \right) }^2-{ \frac{ b^2 }{ 4 } } - a }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Mit
\mathl{x=y- { \frac{ b }{ 2 } }}{} gilt also
\mathl{x^2={ \frac{ b^2 }{ 4 } } + a \in K}{} und \mathkor {} {1} {und} {x} {} bilden ebenfalls eine $K$-Basis von $L$.

}






\inputfaktbeweis
{Reelle endliche Körpererweiterung/Ist quadratisch und gleich C/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R }
{ \subseteq} {K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} der reellen Zahlen.}
\faktfolgerung {Dann ist $K$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu \mathkor {} {\R} {oder zu} {{\mathbb C}} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Das reelle normierte Polynom
\mathl{P\in \R[X]}{} zerfällt über den komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} {\prod_j (X- \lambda_j) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{\lambda_j =a_j +b_j i \in {\mathbb C}}{.} Da $P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\prod_j (X- \lambda_j) }
{ =} {P }
{ =} { \overline{P} }
{ =} {\prod_j (X- \overline{ \lambda_j} ) }
{ } {}
} {}{}{.} Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem $j$ ein $k$ mit
\mathl{\overline{ \lambda_j } = \lambda_k}{.} D.h. entweder, dass
\mathl{\lambda_j \in \R}{} ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber
\mathl{j \neq k}{} und dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X- \lambda_j)( X- \overline{\lambda_j}) }
{ =} {(X- a_j-b_j i))( X- a_j +b_j i ) }
{ =} {X^2 -2a_jX +a_j^2+ b_j^2 }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von $P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.

Sei nun
\mathl{\R \subseteq L}{} eine endliche Körpererweiterung. Sei
\mathl{\R \subset L}{} und
\mathbed {x \in L} {}
{x \not\in \R} {}
{} {} {} {.} Dann ist $x$ algebraisch über $\R$ und nach Satz 23.1 ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R[x] }
{ \cong }{ \R[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem irreduziblen Polynom $P$ \zusatzklammer {dem \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} zu $x$} {} {.} Das Polynom $P$ besitzt in ${\mathbb C}$ Nullstellen, so dass es einen $\R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabb {} {\R[X]/(P)} {{\mathbb C} } {} gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung
\mathl{{\mathbb C} \subseteq L}{.} Da ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} ist, muss nach Aufgabe 23.4
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C} }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein.

}







\zwischenueberschrift{Die Gradformel}





\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Seien \mathkor {} {K\subseteq L} {und} {L \subseteq M} {} \definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche Körpererweiterung und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} M }
{ =} { \operatorname{grad}_{ K} L \cdot \operatorname{grad}_{ L} M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir setzen \mathkor {} {\operatorname{grad}_{ K} L=n} {und} {\operatorname{grad}_{ L} M=m} {.} Es sei
\mathl{x_1 , \ldots , x_n \in L}{} eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ und
\mathl{y_1 , \ldots , y_m \in M}{} eine $L$-Basis von $M$. Wir behaupten, dass die Produkte
\mathbeddisp {x_iy_j} {}
{1 \leq i \leq n} {}
{1 \leq j \leq m} {} {} {,} eine $K$-Basis von $M$ bilden. \teilbeweis {Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum $M$ über $K$ \definitionsverweis {erzeugen}{}{.}\leerzeichen{}}{}{}
{Sei dazu
\mathl{z \in M}{.} Wir schreiben
\mathbeddisp {z=b_1 y_1 + \cdots + b_m y_m} {mit Koeffizienten}
{b_j \in L} {}
{} {} {} {.} Wir können jedes $b_j$ als
\mathbed {b_j = a_{1j}x_1 + \cdots + a_{nj}x_n} {mit Koeffizienten}
{a_{ij} \in K} {}
{} {} {} {} ausdrücken. Das ergibt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{z }
{ =} { b_1y_1 + \cdots + b_my_m }
{ =} { (a_{11}x_1 + \cdots + a_{n1}x_n)y_1 + \cdots + (a_{1m}x_1 + \cdots + a_{nm}x_n)y_m }
{ =} { \sum_{1\leq i \leq n,\, 1\leq j \leq m} a_{ij} x_iy_j }
{ } {}
} {} {}{.} Daher ist $z$ eine $K$-Linearkombination der Produkte
\mathl{x_iy_j}{.}}
{} \teilbeweis {Um zu zeigen, dass diese Produkte \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind,\leerzeichen{}}{}{}
{sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} { \sum_{1\leq i \leq n,\, 1\leq j \leq m} c_{ij} x_iy_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} angenommen mit
\mathl{c_{ij} \in K}{.} Wir schreiben dies als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ = }{ \sum_{j = 1}^m { \left( \sum_{i = 1}^n c_{ij}x_i \right) } y_j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da die $y_j$ linear unabhängig über $L$ sind und die Koeffizienten der $y_j$ zu $L$ gehören, folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n c_{ij}x_i }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist für jedes $j$. Da die $x_i$ linear unabhängig über $K$ sind und
\mathl{c_{ij} \in K}{} ist, folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{ij} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{i,j}{} ist.}
{}

}







\zwischenueberschrift{Zerfällungskörper}





\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $F$ ein Polynom aus
\mathl{K[X]}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen \definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $F$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{P_1 \cdots P_r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Zerlegung in Primpolynome in
\mathl{K[X]}{,} und sei $P_1$ nicht linear. Dann ist \maabbdisp {} {K} { K[Y]/(P_1(Y)) =:K' } {} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} von $K$ nach Satz 15.1. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1(Y) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $K'$ ist die Restklasse $y$ von $Y$ in $K'$ eine Nullstelle von $P_1$. Daher gilt in
\mathl{K'[X]}{} die Faktorisierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 }
{ = }{(X-y)\tilde{P} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $\tilde{P}$ einen kleineren Grad als $P_1$ hat. Das Polynom $F$ hat also über $K'$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über $K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subset }{K' }
{ \subset }{K^{\prime \prime} }
{ \subset }{ \ldots }
{ }{ }
} {}{}{,} die stationär wird, sobald $F$ in Linearfaktoren zerfällt.

}





\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} über der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in L}{} die Nullstellen von $F$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[a_1 , \ldots , a_n ] }
{ \subseteq} {L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} einen \definitionswort {Zerfällungskörper}{} von $F$.

}

Es handelt sich hierbei wirklich um einen Körper, wie wir gleich sehen werden. Ferner ist er eindeutig bestimmt, es gibt also bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom. Er wird mit
\mathl{Z(F)}{} bezeichnet. Häufig beschränkt man sich auf Polynome vom Grad $\geq 1$, bei konstanten Polynomen sehen wir einfach $K$ selbst als Zerfällungskörper an. Über dem Zerfällungskörper zerfällt das gegebene Polynom in Linearfaktoren, da er ja nach Definition alle Nullstellen enthält, mit denen alle beteiligten Linearfaktoren formuliert werden können.


\inputfaktbeweistrivial
{Zerfällungskörper/Ist Zerfällungskörper über Zwischenkörper/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{F \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{Z(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{K' }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Zwischenkörper.}
\faktfolgerung {Dann ist $L$ auch ein Zerfällungskörper des Polynoms
\mathl{F \in K'[X]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}


}






\inputfaktbeweis
{Zerfällungskörper/Ist endlich/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{F \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{Z(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Körpererweiterung, über der $F$ in Linearformen zerfällt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{K[a_1 , \ldots , a_n] }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei
\mathl{a_i \in M}{} die Nullstellen von $F$ seien. Es liegt eine Kette von $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq} {K[a_1] }
{ \subseteq} {K[a_1,a_2] }
{ \subseteq} { \cdots }
{ \subseteq} { K[a_1 , \ldots , a_n] }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {L }
{ \subseteq} {M }
{ } {}
{ } {}
}{}{} vor. Dabei ist sukzessive $a_i$ \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über
\mathl{K[a_1 , \ldots , a_{i-1}]}{,} da ja $a_i$ eine Nullstelle von
\mathl{F \in K[X]}{} ist. Daher sind die Inklusionen nach Satz 23.4 \definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{} und nach Satz 24.4 ist dann die Gesamtkörpererweiterung ebenfalls endlich.

}






\inputfaktbeweis
{Zerfällungskörper/Ist eindeutig/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom. Es seien \mathkor {} {K \subseteq L_1} {und} {K \subseteq L_2} {} zwei \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen $K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {L_1} {L_2 } {.}}
\faktzusatz {Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.}
\faktzusatz {}

}
{

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den \definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{\operatorname{grad}_{ K} L_1}{.} Wenn der Grad eins ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{L_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und das Polynom $F$ zerfällt bereits über $K$ in Linearfaktoren. Dann gehören alle Nullstellen von $F$ in einem beliebigen Erweiterungskörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu $K$ selbst. Also ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L_2 }
{ = }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L_1 }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Aussage sei für kleinere Grade bewiesen. Dann zerfällt $F$ über $K$ nicht in Linearfaktoren. Daher gibt es einen irreduziblen Faktor $P$ von $F$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P) }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K' }
{ = }{K[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist nach Satz 15.1 und nach Proposition 22.1 eine Körpererweiterung von $K$ vom Grad $\geq 2$. Da $P$ als Faktor von $F$ ebenfalls über \mathkor {} {L_1} {und über} {L_2} {} in Linearfaktoren zerfällt, gibt es $K$-Algebrahomomorphismen \mathkor {} {K'\rightarrow L_1} {und} {K'\rightarrow L_2} {.} Diese sind injektiv, so dass $K'$ sowohl von \mathkor {} {L_1} {als auch von} {L_2} {} ein Unterkörper ist. Nach Lemma 24.4 sind dann \mathkor {} {L_1} {und} {L_2} {} Zerfällungskörper von
\mathl{F \in K'[X]}{.} Nach Satz 24.4 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K'} L_1 }
{ <} { \operatorname{grad}_{ K} L_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass wir auf
\mathl{K',L_1,L_2}{} die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es gibt also einen $K'$-Algebraisomorphismus \maabbdisp {\varphi} {L_1} {L_2 } {.} Dieser ist erst recht ein $K$-Algebraisomorphismus.

}



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