Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Konstruktion von Quadratwurzeln}
Wenn man sich zwei Punkte \mathkor {} {0} {und} {1} {} vorgibt und man die dadurch definierte Gerade mit $\R$ identifiziert, so wird diese Gerade durch $0$ in zwei Hälften \zusatzklammer {Halbgeraden} {} {} unterteilt, wobei man dann diejenige Hälfte, die $1$ enthält, als positive Hälfte bezeichnet. Aus solchen positiven reellen Zahlen kann man mit Zirkel und Lineal die Quadratwurzel ziehen.
\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Wurzelkonstruktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei $G$ eine mit zwei Punkten
\mathkor {} {0} {und} {1} {} markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei
\mathl{a \in G_+}{} eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ aus
\mathl{0,1,a}{} mittels Zirkel und Lineal
\definitionsverweis { konstruierbar}{}{.}
}
{
Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt $0$ durch $1$ und markieren den zweiten Schnittpunkt dieses Kreises mit $G$ als $-1$. Wir halbieren die Strecke zwischen
\mathkor {} {-1} {und} {a} {}
gemäß
Lemma 25.6
und erhalten den konstruierbaren Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \frac{ a-1 }{ 2 } }
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Abstand von $M$ zu $a$ als auch zu $-1$ ist dann
\mathl{{ \frac{ a+1 }{ 2 } }}{.} Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius
\mathl{{ \frac{ a+1 }{ 2 } }}{} und markieren einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zu $G$ senkrechten Geraden $H$ durch $0$ als $x$. Wir wenden
den Satz des Pythagoras
auf das Dreieck mit den Ecken
\mathl{0,x,M}{} an. Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} { { \left( { \frac{ a+1 }{ 2 } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ a-1 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ a^2+2a+1-(a^2-2a+1) }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 4a }{ 4 } }
}
{ =} { a
}
}
{}{}{.}
Also repräsentiert
\zusatzklammer {der Abstand von $0$ zu} {} {}
$x$ die Quadratwurzel aus $a$.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Spiral of Theodorus.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Spirale des Theodorus. In dieser Weise kann man alle Quadratwurzeln von natürlichen Zahlen konstruieren.} }
\bildlizenz { Spiral of Theodorus.svg } {} {Pbroks13} {en Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
Die nächste Aussage bedeutet, dass man zu einem gegebenen Rechteck ein flächengleiches Quadrat konstruieren kann.
\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Quadratur des Rechtecks/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei ein Rechteck in der Ebene gegeben.}
\faktfolgerung {Dann lässt sich mit
\definitionsverweis {Zirkel und Lineal}{}{} ein flächengleiches Quadrat konstruieren.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Längen der Rechteckseiten seien
\mathkor {} {a} {und} {b} {.}
Wir wählen einen Eckpunkt des Rechtecks als Nullpunkt und verwenden die Geraden durch die anliegenden Rechteckseiten als Koordinatenachsen. Wir wählen willkürlich einen Punkt $1$
\zusatzklammer {$\neq 0$} {} {}
auf einer der Achsen und schlagen einen Kreis um den Nullpunkt durch den Eckpunkt auf der anderen Achse, sodass beide Seitenlängen auf der mit
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
markierten Achse liegen. Darauf führen wir die Multiplikation $ab$ nach
Lemma 25.8
durch. Aus diesem Produkt zieht man nun gemäß
Lemma 26.1
die Quadratwurzel und erhält somit
\mathl{\sqrt{ab}}{.} Mit dieser Streckenlänge konstruiert man ein Quadrat, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt des vorgegebenen Rechtecks ist.
Man beachte, dass im Beweis der vorstehenden Aussage die Zahl $ab$ von der Wahl der $1$ abhängt, nicht aber $\sqrt{ab}$ und damit natürlich auch nicht die Seitenlänge des konstruierten Quadrats.
\zwischenueberschrift{Konstruierbare und algebraische Zahlen}
Wir wollen nun die konstruierbaren Zahlen algebraisch mittels quadratischer Körpererweiterungen charakterisieren. Unter einer reell-quadratischen Körpererweiterung eines Körpers
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verstehen wir eine quadratische Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{K'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die sich also innerhalb der reellen Zahlen abspielt. Eine solche Körpererweiterung ist immer durch die Adjunktion einer Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl
\mathbed {\sqrt{c}} {mit}
{c \in K} {}
{\sqrt{c} \notin K} {} {} {}
gegeben. Es gilt die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[\sqrt{c}]
}
{ \cong} { K[X]/ { \left( X^2-c \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Konstruierbare Zahlen/Aus Punktmenge in einem Schritt/Quadratische Körpererweiterung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, der sich aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K^2
}
{ = }{ K + K { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {in einem Schritt konstruieren}{}{}
lässt.}
\faktfolgerung {Dann liegen die Koordinaten von $P$ in einer
reell-\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterung}{}{}
von $K$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir gehen die drei Möglichkeiten durch, einen Punkt aus $K^2$
\definitionsverweis {in einem Schritt}{}{}
zu konstruieren. \teilbeweis {Es sei $P$ der Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden
\mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {,}
die über $K$ definiert sind.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid a_1x+b_1y+c_1=0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_2
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid a_2x+b_2d+c_2=0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gehört der Schnittpunkt zu $K^2$ und seine Koordinaten gehören zu $K$.}
{}
\teilbeweis {Es sei $G$ eine über $K$ definierte Gerade und $C$ ein über $K$ definierter Kreis.\leerzeichen{}}{}{}
{Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid ax+by+c = 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid (x-r)^2 +(y-s)^2 = d \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,r,s,d
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir können annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, sodass die Geradengleichung auf die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ux+v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gebracht werden kann. Einsetzen von dieser Gleichung in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung für $x$ über $K$. Die reellen Koordinaten der
\zusatzklammer {eventuell komplexen} {} {}
Lösungen davon liegen in einer quadratischen Erweiterung von $K$. Das gilt dann auch für die zugehörigen Lösungen für $y$.}
{}
\teilbeweis {Es seien nun
\mathkor {} {C_1} {und} {C_2} {}
zwei über $K$ definierte verschiedene Kreise.\leerzeichen{}}{}{}
{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C_1
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid (x-r_1)^2 +(y-s_1)^2-a_1=0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C_2
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid (x-r_2)^2 +(y-s_2)^2-a_2=0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Kreisgleichungen. Ein Schnittpunkt der beiden Kreise muss auch jede Linearkombination der beiden Gleichungen erfüllen. Wir betrachten die Differenz der beiden Gleichungen, die die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x(-2r_1+2r_2) +r_1^2-r_2^2 +y(-2s_1+2s_2) +s_1^2-s_2^2 -a_1+a_2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt. D.h. dies ist eine Geradengleichung, und die Schnittpunkte der beiden Kreise stimmen mit den Schnittpunkten eines Kreises mit dieser Geraden überein. Wir sind also wieder im zweiten Fall.}
{}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Two_Lines.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Two Lines.svg } {} {Jim.belk} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Inversie.PNG} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Inversie.PNG } {} {Lymantria} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die beiden Kreise mit den Kreisgleichungen
\mathbeddisp {x^2+y^2=1} {und}
{(x-2)^2+y^2=3} {}
{} {} {} {.}
Die Differenz der beiden Gleichungen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2-(x-2)^2 +2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mathdisp {4x=2 \text{ und somit } x= { \frac{ 1 }{ 2 } }} { . }
Die Schnittpunkte der beiden Kreise müssen also auch auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden liegen. Setzt man diese Geradenbedingung in die erste Kreisgleichung ein, so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} {1 -x^2
}
{ =} {1- { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \pm { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{P\in {\mathbb C}}{} eine komplexe Zahl.}
\faktvoraussetzung {Dann ist $P$ eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
genau dann,}
\faktfolgerung {wenn es eine Kette von reell-\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} { K_1
}
{ \subset} { K_2
}
{ \subset \ldots \subset} { K_n
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart ist, dass die Koordinaten von $P$ zu $K_n$ gehören.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine konstruierbare komplexe Zahl. D.h. es gibt eine Folge von Punkten
\mathl{P_1 , \ldots , P_n=P}{} derart, dass
\mathl{P_{i+1}}{} aus den Vorgängerpunkten
\mathl{\{0,1,P_1 , \ldots , P_{i}\}}{}
\definitionsverweis {in einem Schritt konstruierbar}{}{}
ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ = }{ \left( a_i , \, b_i \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_i
}
{ =} { \Q(a_1, b_1 , \ldots , a_{i},b_{i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der von den Koordinaten der Punkte erzeugte Unterkörper von $\R$.
Nach
Lemma 26.3
liegt
\mathl{K_{i+1}}{} in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von $K_i$
\zusatzklammer {und zwar ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{K_{i+1}
}
{ = }{ K_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder $K_{i+1}$ ist eine reell-quadratische Körpererweiterung von $K_i$} {} {.}
Die Koordinaten von $P$ liegen also in $K_n$, und $K_n$ ist das Endglied in einer Folge von quadratischen Körpererweiterungen von $\Q$.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt angenommen, dass die Koordinaten eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (a,b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen von $\Q$ liegen.
Wir zeigen durch Induktion über die Länge der Körperkette, dass die Zahlen in einer solchen Kette aus quadratischen Körpererweiterungen konstruierbar sind. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_0
}
{ = }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese Zahlen sind konstruierbar. Es sei also schon gezeigt, dass alle Zahlen aus $K_n$ konstruierbar sind, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_n
}
{ \subset }{ K_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reell-quadratische Körpererweiterung. Nach
Lemma 24.2
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K_{n+1}
}
{ = }{ K_n[ \sqrt{c}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer positiven reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Induktionsvoraussetzung ist $c$ konstruierbar und nach
Lemma 26.1
ist $\sqrt{c}$ konstruierbar. Daher ist auch jede Zahl
\mathbed {u+v \sqrt{c}} {mit}
{u,v \in K_n} {}
{} {} {} {,}
konstruierbar. Damit sind die Koordinaten von $P$ konstruierbar und somit ist nach
Lemma 25.7
auch $P$ selbst konstruierbar.}
{}
Man kann ebenfalls zeigen, dass eine komplex-algebraische Zahl $z$ genau dann konstruierbar ist, wenn der Grad des Zerfällungskörpers des Minimalpolynoms von $z$ eine Potenz von $2$ ist. Dies erfordert jedoch die Galoistheorie. Für viele Anwendungen ist allerdings schon die oben vorgestellte Charakterisierung bzw. die folgenden Korollare ausreichend.
\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Ist algebraisch/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine mit Zirkel und Lineal
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {algebraisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\inputfaktbeweis
{Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Grad}{}{} des
\definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{} von $z$ eine Potenz von zwei.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Koordinaten der konstruierbaren Zahl $z$ liegen nach
Satz 26.5
in einer Folge von reell-quadratischen Körpererweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subset} { K_1
}
{ \subset} { K_2
}
{ \subset \ldots \subset} { K_n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Kette kann man um die komplex-quadratische Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_n
}
{ \subset }{ K_n[ { \mathrm i} ]
}
{ = }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergänzen mit
\mathl{z \in L}{.} Nach
der Gradformel
ist der Grad von $L$ über $\Q$ gleich $2^{n+1}$. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q(z)
}
{ = }{ \Q[z]
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Unterkörper und daher ist, wieder nach der Gradformel, der Grad von
\mathl{\Q[z]}{} über $\Q$ ein Teiler von
\mathl{2^{n+1}}{,} also selbst eine Potenz von $2$.