Kurs:Elliptische Kurven/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 10 2 4 5 0 4 3 3 3 0 4 10 0 2 4 60



Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein lokaler Ring.
  2. Eine kongruente Zahl
  3. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter .
  4. Eine Isogenie zwischen elliptischen Kurven und .
  5. Ein Hauptdivisor auf einer glatten irreduziblen Kurve .
  6. Ein Absolutbetrag auf einem Körper.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den lokalen Ring an einem glatten Punkt einer Kurve.
  2. Die Hasse-Schranke für eine elliptische Kurve.
  3. Der Satz über die Rangcharakterisierung von kongruenten Zahlen.


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

  1. Skizziere elliptische Kurven über .
  2. Skizziere elliptische Kurven über .


Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie komplexe eindimensionale Tori und elliptische Kurven über zusammenhängen.


Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die elliptische Kurve , die durch die affine Gleichung

gegeben ist.

  1. Parametrisiere den oberen Bogen von für .
  2. Bestimme den Punkt aus mit und mit der maximalen -Koordinate.
  3. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung derart, dass liegt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik , die affin durch eine Gleichung der Form

gegeben ist. Zeige, dass unter der durch gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten Verzweigung vorliegt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper , die durch eine affine Gleichung

gegeben sei. Es sei der Funktionenkörper in einer Variablen über . Es sei ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper . Zeige, dass in unendliche Ordnung besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass für den Tate-Modul von die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und verschiedene Primzahlen und seien und die zugehörigen Standardbeträge. Zeige, dass durch

kein Betrag auf gegeben ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten in die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten , und besteht. Für welche Primzahlen besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?


Aufgabe * (10 (1+1+1+4+3) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern .

  1. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
  3. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  4. Bestimme, für welche Primzahlen sich keine elliptische Kurve über ergibt.
  5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

  1. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.
  2. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Exponentialfunktion

zu keinem schwach modular ist.