Kurs:Elliptische Kurven/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	10	2	4	5	0	4	3	3	3	0	4	10	0	2	4	60

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein lokaler Ring.
2. Eine kongruente Zahl
3. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
4. Eine Isogenie zwischen elliptischen Kurven ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$.
5. Ein Hauptdivisor auf einer glatten irreduziblen Kurve ${}C$.
6. Ein Absolutbetrag auf einem Körper.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den lokalen Ring an einem glatten Punkt einer Kurve.
2. Die Hasse-Schranke für eine elliptische Kurve.
3. Der Satz über die Rangcharakterisierung von kongruenten Zahlen.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

1. Skizziere elliptische Kurven über ${}\mathbb {R}$.
2. Skizziere elliptische Kurven über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie komplexe eindimensionale Tori und elliptische Kurven über ${}{\mathbb {C} }$ zusammenhängen.

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-X\,$

gegeben ist.

1. Parametrisiere den oberen Bogen von ${}E(\mathbb {R} )$ für ${}x\in [-1,0]$.
2. Bestimme den Punkt ${}P$ aus ${}E(\mathbb {R} )$ mit ${}x\in [-1,0]$ und mit der maximalen ${}y$-Koordinate.
3. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass ${}P\in E(K)$ liegt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$, die affin durch eine Gleichung der Form

${}Y^{2}={\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}{\left(X-\lambda _{3}\right)}\,$

gegeben ist. Zeige, dass unter der durch ${}X$ gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten ${}{\mathfrak {O}},\,\left(\lambda _{1},\,0\right),\,\left(\lambda _{2},\,0\right),\,\left(\lambda _{3},\,0\right)$ Verzweigung vorliegt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$, die durch eine affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+aX+b\,$

gegeben sei. Es sei ${}K\subseteq K(t)$ der Funktionenkörper in einer Variablen über ${}K$. Es sei ${}(t,u)$ ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper ${}L\supseteq K(t)$. Zeige, dass ${}(t,u)$ in ${}E_{L}$ unendliche Ordnung besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass für den Tate-Modul von ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ die Gleichheit

${}T_{\ell }(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )={\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,$

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene Primzahlen und seien ${}\vert {-}\vert _{p}$ und ${}\vert {-}\vert _{q}$ die zugehörigen Standardbeträge. Zeige, dass durch

${}h(x):=\vert {x}\vert _{p}\cdot \vert {x}\vert _{q}\,$

kein Betrag auf ${}\mathbb {Q}$ gegeben ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$ die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten ${}P_{1}=\left(4,\,3,\,5\right)$, ${}P_{2}=\left(6,\,6,\,6\right)$ und ${}P_{3}=\left(1,\,3,\,5\right)$ besteht. Für welche Primzahlen ${}p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?

Aufgabe * (10 (1+1+1+4+3) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+3X-4\,$

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern ${}K$.

1. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+3X-4$ in ${}\mathbb {Q} [X]$ in irreduzible Faktoren.
2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
3. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+3X-4$ in ${}{\mathbb {C} }[X]$ in irreduzible Faktoren.
4. Bestimme, für welche Primzahlen ${}p$ sich keine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z} /(p)$ ergibt.
5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

1. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=41\right\}}$ und ihre Anzahl.
2. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=41\right\}}$ und ihre Anzahl.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto e^{2\pi {\mathrm {i} }z},$

zu keinem ${}k\in \mathbb {Z}$ schwach modular ist.