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Kurven/Morphismus/Grad/Separabilität/Kurzübersicht/Textabschnitt

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Zu einem injektiven Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von in die Verzweigungsindex der Erweiterung.


Ein injektiver Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ist.

Unverzweigt bedeutet also, dass eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet wird. Diese Konzepte werden insbesondere bei einem nichtkonstanten Morphismus zwischen glatten Kurven und einem Punkt mit auf den zugehörigen Ringhomomorphismus angewendet. In diesem Fall schreibt man für die Verzweigungsordnung.



Es seien und irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine endliche Abbildung vom Grad .

Dann sind für einen Punkt mit lokalem Ring die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Die Faser über besteht aus genau Punkten.
  2. Die Faser über ist reduziert.
  3. Für jeden Punkt oberhalb von wird unter

    eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet.

  4. Es ist

    für jeden Punkt oberhalb von .

Wir können direkt davon ausgehen, dass und glatte endlich erzeugte kommutative -Algebren der Dimension sind, dass eine endlich freie Ringerweiterung vom Rang ist und dass dem maximalen Ideal entspricht, . Es ist die lokalisierte Version der Abbildung und

die Restklasssenversion. Dabei ist eine endlichdimensionale -Algebra der Vektorraumdimension (und der Krulldimension ) und besitzt die Form mit lokalen -Algebren der Krulldimension . Da algebraisch abgeschlossen ist, sind die Restklassenkörper von gleich und daher gibt es in der Faser genau dann Punkte, wenn die Faser reduziert ist. Deshalb sind (1) und (2) äquivalent. Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Fakt. Die Äquivalenz zwischen (3) und (4) ergibt sich aus Fakt.



Es seien und irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine endliche Abbildung. Man nennt separabel, wenn die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper separabel ist.

In Charakteristik sind die endlichen Morphismen nach Fakt stets separabel. Der Frobenius ist hingegen nicht separabel.


Es seien und irreduzible Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine separable endliche Abbildung vom Grad .

Dann besteht außerhalb einer endlichen Ausnahmemenge für jeden Punkt das Urbild aus genau Punkten.

Wir können direkt davon ausgehen, dass affine glatte Kurven vorliegen, da eine Kurve außerhalb einer endlichen Teilmenge stets glatt ist. Es sei der zugehörige endliche Ringhomomorphismus, wir arbeiten mit dem Modul der Kähler-Differentiale und wenden Fakt an. Nach Voraussetzung ist die Körpererweiterung

separabel. Daher gilt

nach Fakt. Es ist nach Fakt die Nenneraufnahme von an bzw. an . Da der Kählermodul nach Fakt endlich erzeugt ist, gibt es auch ein , , mit

In der abgeschlossenen Teilmenge , also außerhalb von , liegen nur endlich viele Punkte. Daher können wir die Aussage auf beweisen. D.h. wir können von einer endlichen Erweiterung ausgehen, für die der Modul der Kähler-Differentiale überhaupt gleich ist. Die Aussage ergibt sich dann aus Fakt.