Kurven/Morphismus/Grad/Separabilität/Kurzübersicht/Textabschnitt

Definition

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von ${}R$ in ${}S$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.

Definition

Ein injektiver Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ${}\geq 2$ ist.

Unverzweigt bedeutet also, dass eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet wird. Diese Konzepte werden insbesondere bei einem nichtkonstanten Morphismus ${}\varphi \colon C\rightarrow D$ zwischen glatten Kurven und einem Punkt ${}Q\in C$ mit ${}\varphi (Q)=P$ auf den zugehörigen Ringhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{D,P}\rightarrow {\mathcal {O}}_{C,Q}$ angewendet. In diesem Fall schreibt man ${}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}P\right)}$ für die Verzweigungsordnung.

Satz

Es seien ${}C$ und ${}D$ irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow D$

eine endliche Abbildung vom Grad ${}n$.

Dann sind für einen Punkt ${}P\in D$ mit lokalem Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$ die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Die Faser über ${}P$ besteht aus genau ${}n$ Punkten.
2. Die Faser über ${}P$ ist reduziert.
3. Für jeden Punkt ${}Q\in C$ oberhalb von ${}P$ wird unter

   ${\mathcal {O}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Q}$

   eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet.

4. Es ist

   ${}{\left(\Omega _{C{|}D}\right)}_{Q}=0\,$

   für jeden Punkt ${}Q\in C$ oberhalb von ${}P$.

Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass ${}R$ und ${}S$ glatte endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebren der Dimension ${}1$ sind, dass ${}R\subseteq S$ eine endlich freie Ringerweiterung vom Rang ${}n$ ist und dass ${}P$ dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ entspricht, ${}{\mathcal {O}}_{P}=R_{\mathfrak {m}}$. Es ist ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {m}}}$ die lokalisierte Version der Abbildung und

$K\cong R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow S\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$

die Restklasssenversion. Dabei ist ${}S\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ eine endlichdimensionale ${}K$-Algebra der Vektorraumdimension ${}n$ (und der Krulldimension ${}0$) und besitzt die Form ${}A_{1}\times \cdots \times A_{m}$ mit lokalen ${}K$-Algebren der Krulldimension ${}0$. Da ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, sind die Restklassenkörper von ${}A_{i}$ gleich ${}K$ und daher gibt es in der Faser genau dann ${}n$ Punkte, wenn die Faser reduziert ist. Deshalb sind (1) und (2) äquivalent. Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Fakt. Die Äquivalenz zwischen (3) und (4) ergibt sich aus Fakt.

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Definition

Es seien ${}C$ und ${}D$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow D$

eine endliche Abbildung. Man nennt ${}\varphi$ separabel, wenn die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper ${}Q(D)\subseteq Q(C)$ separabel ist.

In Charakteristik ${}0$ sind die endlichen Morphismen nach Fakt stets separabel. Der Frobenius ist hingegen nicht separabel.

Satz

Es seien ${}C$ und ${}D$ irreduzible Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow D$

eine separable endliche Abbildung vom Grad ${}n$.

Dann besteht außerhalb einer endlichen Ausnahmemenge für jeden Punkt ${}P\in D$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(P)$ aus genau ${}n$ Punkten.

Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass affine glatte Kurven vorliegen, da eine Kurve außerhalb einer endlichen Teilmenge stets glatt ist. Es sei ${}R\subseteq S$ der zugehörige endliche Ringhomomorphismus, wir arbeiten mit dem Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{S{|}R}$ und wenden Fakt an. Nach Voraussetzung ist die Körpererweiterung

${}Q(D)=Q(R)\subseteq Q(C)=Q(S)\,$

separabel. Daher gilt

${}\Omega _{Q(S){|}Q(R)}=0\,$

nach Fakt. Es ist ${}\Omega _{Q(S){|}Q(R)}$ nach Fakt die Nenneraufnahme von ${}\Omega _{S{|}R}$ an ${}S\setminus \{0\}$ bzw. an ${}R\setminus \{0\}$. Da der Kählermodul nach Fakt endlich erzeugt ist, gibt es auch ein ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, mit

${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{f}=\Omega _{S_{f}{|}R_{f}}=0\,.$

In der abgeschlossenen Teilmenge ${}V(f)$, also außerhalb von ${}D(f)$, liegen nur endlich viele Punkte. Daher können wir die Aussage auf ${}D(f)$ beweisen. D.h. wir können von einer endlichen Erweiterung ${}R\subseteq S$ ausgehen, für die der Modul der Kähler-Differentiale überhaupt gleich ${}0$ ist. Die Aussage ergibt sich dann aus Fakt.

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