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Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 25

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Aufgaben

Bestimme für die folgenden Punkte die Reduktionen modulo .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .



Bestimme für die folgenden Punkte die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal (mit dem Restekörper )

  1. ,
  2. ,
  3. .



Bestimme für die folgenden Punkte die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal (mit dem Restekörper )

  1. ,
  2. ,
  3. .



Bestimme für die folgenden Punkte die Reduktionen modulo und .

  1. ,
  2. ,
  3. .



Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und es sei ein maximales Ideal von mit Restekörper . Zeige, dass die Reduktion

aus Lemma 25.1 surjektiv ist.



Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und es sei ein maximales Ideal von mit Restekörper . Zeige, dass die Reduktion

für aus Lemma 25.1 nicht injektiv ist.



Man gebe ein Beispiel einer unendlichen Punktmenge , deren Reduktion modulo für jede Primzahl genau aus Elementen besteht.



Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige, dass es für den Punkt

keine Repräsentierung in gibt, mit der man sämtliche Reduktionen zu allen maximalen Idealen aus durch komponentenweise Reduktion ausrechnen kann.



Führe die Details der Überlegungen aus Beispiel 25.3 für Beispiel 2.8 aus.



Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und es sei ein maximales Ideal von mit Restekörper . Begründe, dass es bei keine sinnvolle Reduktion

(ähnlich wie in Lemma 25.1) geben kann.



Bestimme für die durch gegebene elliptische Kurve die Reduktionen für die Punktemenge

für die Primzahlen . Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?



Bestimme für die durch gegebene elliptische Kurve die Reduktionen für die Punktemenge

für die Primzahlen . Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?



Zeige, dass für eine elliptische Kurve über die Reduktionsabbildung

im Allgemeinen nicht surjektiv ist.



Es sei ein Körper, der Polynomring in einer Variablen und sei sein Quotientenkörper. Wir betrachten die elliptische Kurve über , die in Legendrescher Normalform

gegeben sei.

  1. Zeige, dass man jede elliptische Kurve über in Legendrescher Normalform als Reduktion von mittels im Sinne von Korollar 25.5 erhalten kann.
  2. Für welche ist die Reduktion keine elliptische Kurve?
  3. Welche - rationalen Punkte von gibt es und welche Reduktionspunkte definieren sie?



Es sei ein Körper und mit dem Quotientenkörper . Es sei mit dem Restekörper . Zeige, dass es keine Reduktion

(ähnlich wie in Lemma 25.1) geben kann.

Argumentiere mit dem projektiven Punkt .


Wir betrachten in die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten , und besteht. Für welche Primzahlen besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?



Wir betrachten in die endliche Punktemenge, die aus den vier Punkten , , und besteht. Für welche Primzahlen besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus vier Punkten?



Bestimme für die beiden affinen Gleichungen

und

die nach Aufgabe 5.9 die gleiche elliptische Kurve über definieren, jeweils die Primzahlen , für die die Kurve über glatt ist.



Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene elliptische Kurve über und über .

  1. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung von .
  2. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung von .
  3. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung von , wobei der Reduktionshomomorphismus

    zugrunde liegt.

  4. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung von , wobei der Reduktionshomomorphismus

    zugrunde liegt.

  5. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung von , wobei der Reduktionshomomorphismus

    zugrunde liegt.



Es sei eine elliptische Kurve, die über definiert sei, und sei ein - rationaler Punkt von . Zeige, dass genau dann ein Torsionspunkt ist, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass für alle Primzahlen , für die die Reduktion modulo eine elliptische Kurve ist, der zugehörige Punkt eine Ordnung besitzt.



Man gebe für einen Punkt der durch gegebenen elliptischen Kurve an, der kein Torsionspunkt ist.



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