Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 25

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Punkte ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$ die Reduktionen modulo ${}5$.

1. ${}\left(7,\,6,\,11\right)$,
2. ${}\left(5,\,5,\,5\right)$,
3. ${}\left(4,\,5,\,6\right)$,
4. ${}\left({\frac {3}{7}},\,{\frac {2}{9}},\,{\frac {-8}{11}}\right)$,
5. ${}\left({\frac {4}{25}},\,{\frac {5}{9}},\,{\frac {1}{100}}\right)$,
6. ${}\left({\frac {1}{25}},\,{\frac {1}{5}},\,{\frac {1}{125}}\right)$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Punkte ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}^{2}$ die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal ${}(3)$ (mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(3)[{\mathrm {i} }]$)

1. ${}\left(3-{\mathrm {i} },\,2+5{\mathrm {i} },\,1+3{\mathrm {i} }\right)$,
2. ${}\left({\frac {2+8{\mathrm {i} }}{5}},\,{\frac {4-7{\mathrm {i} }}{15}},\,{\frac {12+5{\mathrm {i} }}{9}}\right)$,
3. ${}\left({\frac {9{\mathrm {i} }}{5}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {7-11{\mathrm {i} }}{3}}\right)$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Punkte ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}^{2}$ die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal ${}(5,{\mathrm {i} }-3)$ (mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(5)$)

1. ${}\left(3-{\mathrm {i} },\,2+5{\mathrm {i} },\,1+3{\mathrm {i} }\right)$,
2. ${}\left({\frac {2+8{\mathrm {i} }}{5}},\,{\frac {4-7{\mathrm {i} }}{15}},\,{\frac {12+5{\mathrm {i} }}{9}}\right)$,
3. ${}\left({\frac {9{\mathrm {i} }}{5}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {7-11{\mathrm {i} }}{3}}\right)$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Punkte ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {R} (t)}^{2}$ die Reduktionen modulo ${}t\mapsto 3$ und ${}t\mapsto {\mathrm {i} }$.

1. ${}\left(5,\,-7,\,-3\right)$,
2. ${}\left(t-3,\,t^{2},\,2\right)$,
3. ${}\left({\frac {t^{2}-1}{t^{2}}},\,{\frac {t}{t^{4}-5}},\,{\frac {t^{3}+t+2}{t}}\right)$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$ und es sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ mit Restekörper ${}K=R/{\mathfrak {m}}$. Zeige, dass die Reduktion

${\mathbb {P} }_{Q}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

aus Lemma 25.1 surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$ und es sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ mit Restekörper ${}K=R/{\mathfrak {m}}$. Zeige, dass die Reduktion

${\mathbb {P} }_{Q}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

für ${}n\geq 1$ aus Lemma 25.1 nicht injektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer unendlichen Punktmenge ${}M\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{1}$, deren Reduktion modulo ${}p$ für jede Primzahl genau aus ${}p$ Elementen besteht.

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}{\sqrt {-5}}={\sqrt {5}}{\mathrm {i} }$. Zeige, dass es für den Punkt

${}\left(2,\,1+{\sqrt {-5}}\right)\in {\mathbb {P} }_{Q(R)}^{1}\,$

keine Repräsentierung in ${}R$ gibt, mit der man sämtliche Reduktionen zu allen maximalen Idealen aus ${}R$ durch komponentenweise Reduktion ausrechnen kann.

Aufgabe

Führe die Details der Überlegungen aus Beispiel 25.3 für Beispiel 2.8 aus.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$ und es sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ mit Restekörper ${}K=R/{\mathfrak {m}}$. Begründe, dass es bei ${}n\geq 1$ keine sinnvolle Reduktion

${{\mathbb {A} }_{Q}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

(ähnlich wie in Lemma 25.1) geben kann.

Aufgabe

Bestimme für die durch ${}y^{2}=x^{3}+1$ gegebene elliptische Kurve die Reduktionen für die Punktemenge

${\mathfrak {O}},\,(-1,0),\,(0,1),\,(0,-1),\,(2,3),\,(2,-3)$

für die Primzahlen ${}p=2,3,5,7$. Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?

Aufgabe

Bestimme für die durch ${}y^{2}=x^{3}-x$ gegebene elliptische Kurve die Reduktionen für die Punktemenge

$(0,0),\,(1,0),\,(-1,0),\,{\mathfrak {O}}$

für die Primzahlen ${}p=2,3,5,7$. Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?

Aufgabe

Zeige, dass für eine elliptische Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Q}$ die Reduktionsabbildung

$E(\mathbb {Q} )\longrightarrow E(\mathbb {Z} /(p))$

im Allgemeinen nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R=K[t]$ der Polynomring in einer Variablen und sei ${}K(t)=Q(K[t])$ sein Quotientenkörper. Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$ über ${}K(t)$, die in Legendrescher Normalform

${}y^{2}=x(x-1)(x-t)\,$

gegeben sei.

1. Zeige, dass man jede elliptische Kurve über ${}K$ in Legendrescher Normalform als Reduktion von ${}E$ mittels ${}t\mapsto \lambda$ im Sinne von Korollar 25.5 erhalten kann.
2. Für welche ${}\lambda \in K$ ist die Reduktion keine elliptische Kurve?
3. Welche ${}K(t)$- rationalen Punkte von ${}E$ gibt es und welche Reduktionspunkte definieren sie?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X,Y]$ mit dem Quotientenkörper ${}Q=Q(R)=K(X,Y)$. Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$ mit dem Restekörper ${}K$. Zeige, dass es keine Reduktion

${\mathbb {P} }_{Q}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

(ähnlich wie in Lemma 25.1) geben kann.

Argumentiere mit dem projektiven Punkt ${}(X,Y)$.

Aufgabe *

Wir betrachten in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$ die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten ${}P_{1}=\left(4,\,3,\,5\right)$, ${}P_{2}=\left(6,\,6,\,6\right)$ und ${}P_{3}=\left(1,\,3,\,5\right)$ besteht. Für welche Primzahlen ${}p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?

Aufgabe

Wir betrachten in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$ die endliche Punktemenge, die aus den vier Punkten ${}P_{1}=\left(4,\,0,\,5\right)$, ${}P_{2}=\left(5,\,6,\,6\right)$, ${}P_{3}=\left(2,\,1,\,1\right)$ und ${}P_{4}=\left(1,\,0,\,0\right)$ besteht. Für welche Primzahlen ${}p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus vier Punkten?

Aufgabe

Bestimme für die beiden affinen Gleichungen

${}Y^{2}=X^{3}+16\,$

und

${}V^{2}+V=U^{3}\,,$

die nach Aufgabe 5.9 die gleiche elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ definieren, jeweils die Primzahlen ${}p$, für die die Kurve über ${}\mathbb {Z} /(p)$ glatt ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+{\mathrm {i} }\,$

gegebene elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ und über ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

1. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E(\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }])$.
2. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E({\mathbb {C} })$.
3. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E(\mathbb {Z} /(5))$, wobei der Reduktionshomomorphismus

   $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Z} /(5),\,{\mathrm {i} }\longmapsto 2,$

   zugrunde liegt.

4. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E(\mathbb {Z} /(5))$, wobei der Reduktionshomomorphismus

   $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Z} /(5),\,{\mathrm {i} }\longmapsto 3,$

   zugrunde liegt.

5. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E({\mathbb {F} }_{9})$, wobei der Reduktionshomomorphismus

   $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow {\mathbb {F} }_{9}\cong \mathbb {Z} /(3)[{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Z} /(3)[T]/(T^{2}+1),\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },$

   zugrunde liegt.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve, die über ${}\mathbb {Z}$ definiert sei, und sei ${}P\in E(\mathbb {Q} )$ ein ${}\mathbb {Q}$- rationaler Punkt von ${}E$. Zeige, dass ${}P$ genau dann ein Torsionspunkt ist, wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ derart gibt, dass für alle Primzahlen ${}p$, für die die Reduktion modulo ${}p$ eine elliptische Kurve ist, der zugehörige Punkt ${}{\tilde {P}}\in E(\mathbb {Z} /(p))$ eine Ordnung ${}\leq n$ besitzt.

Aufgabe

Man gebe für ${}n=5,6,7,13,14,15$ einen Punkt der durch ${}Y^{2}=X^{3}-n^{2}X$ gegebenen elliptischen Kurve an, der kein Torsionspunkt ist.