Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 10/latex

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\setcounter{section}{10}






\zwischenueberschrift{Isogenien}

Es seien zwei Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1 }
{ \subseteq }{\Gamma_2 }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben, das eine Gitter sei also in dem anderen Gitter enthalten, d.h. $\Gamma_1$ ist ein Untergitter von $\Gamma_2$. Beispielsweise ist
\mathl{\langle 2, 3 { \mathrm i} \rangle}{} ein Untergitter des Standardgitters
\mathl{\langle 1, { \mathrm i} \rangle}{.} Wenn man ein Gitter $\Gamma$ mit einer positiven natürlichen Zahl $n$ streckt, so erhält man die Untergitterbeziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n \Gamma }
{ \subseteq }{\Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Hierbei sind \mathkor {} {\Gamma} {und} {n \Gamma} {} zueinander \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{,} es kann also durchaus sein, dass ein streckungsäquivalentes Gitter als Untergitter von sich selbst auftritt.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lattice torsion points.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Lattice torsion points.svg } {} {Sam Derbyshire} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}





\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Verfeinerungsgitter/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1 }
{ \subseteq }{ \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Untergitter eines \definitionsverweis {Gitters}{}{} $\Gamma$ in ${\mathbb C}$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n \Gamma }
{ \subseteq }{\Gamma_1 }
{ \subseteq }{ \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \Z u+ \Z v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1 }
{ = }{ \Z w + \Z z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p,q,r,s }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w }
{ = }{ pu+qv }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{ru+sv }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da die Gitter nach Definition volldimensional sind, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} }
{ =} { \pm n }
{ \neq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit gibt es eine weitere Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} n & 0 \\ 0 & n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Mit diesem $n$ gilt die Behauptung.

}






\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Quotient/Gruppenhomomorphismus/Endlicher Kern/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zu \definitionsverweis {Gittern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1 }
{ \subseteq }{ \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}}
\faktfolgerung {gibt es einen kanonischen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2 } {,} dessen \definitionsverweis {Kern}{}{} gleich
\mathl{\Gamma_2/\Gamma_1}{} und insbesondere endlich ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Unter dem Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\pi_2} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} /\Gamma_2 } {} wird insbesondere auch das Untergitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1 }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf $0$ abgebildet, d.h. $\Gamma_1$ gehört zum Kern von $\pi_2$. Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2 } {.} Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu
\mathl{\Gamma_2/ \Gamma_1}{.} Dies ist eine endliche Gruppe.

}






\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Topologischer_Quotient/Endliche_Überlagerung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zu \definitionsverweis {Gittern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1 }
{ \subseteq }{ \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}}
\faktfolgerung {ist der kanonische \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2 } {} eine \definitionsverweis {endliche Überlagerung}{}{,} deren \definitionsverweis {Fasern}{}{} gleich
\mathl{\Gamma_2/\Gamma_1}{} sind. Die Gruppe der \definitionsverweis {Decktransformationen}{}{} ist isomorph zu
\mathl{\Gamma_2/\Gamma_1}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es liegt das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} & \stackrel{ \pi_1 }{\longrightarrow} & {\mathbb C}/\Gamma_1 & \\ & \!\!\! \!\! \pi_2 \searrow & \downarrow \pi \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C}/\Gamma_2 \, , & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
wobei \mathkor {} {\pi_1} {und} {\pi_2} {} nach Satz 8.6 Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} /\Gamma_2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} für die es in ${\mathbb C}$ die disjunkten und zu $U$ homöomorphen offenen Umgebungen
\mathbed {g +\tilde{U}} {}
{g \in \Gamma_2} {}
{} {} {} {,} gibt, ist das Urbild $\pi^{-1} (U)$ in ${\mathbb C}/\Gamma_1$ die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen
\mathbed {\pi_1 (g +\tilde{U} )} {}
{[g] \in \Gamma_2/\Gamma_1} {}
{} {} {} {,} wobei \maabbdisp {} {\pi_1 (g +\tilde{U} ) } { U } {} Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.

Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[g] }
{ \in }{ \Gamma_2/\Gamma_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {g} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_1 } {z} { z+g } {,} derart, dass das Diagramm


\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C}/\Gamma_1 & \stackrel{ g }{\longrightarrow} & {\mathbb C}/\Gamma_1 & \\ & \!\!\! \!\! \pi \searrow & \downarrow \pi \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C}/\Gamma_2 & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }

kommutiert. Dabei definiert $g$ genau dann die Identität auf ${\mathbb C}/\Gamma_1$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{ \Gamma_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, also wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [g] }
{ = }{ [0] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in
\mathl{\Gamma_2/\Gamma_1}{} ist. Die Addition in $\Gamma_2/\Gamma_1$ entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

}






\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Quotientenabbildung/Holomorph/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zu \definitionsverweis {Gittern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1 }
{ \subseteq }{ \Gamma_2 }
{ \subset }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}}
\faktfolgerung {ist der kanonische \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2 } {} ein \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Lie-Gruppen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Lemma 10.2 und aus Lemma 10.3, da die holomorphen Strukturen auf \mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {bzw.} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {} beide von ${\mathbb C}$ geerbt sind \zusatzklammer {siehe Satz 8.6} {} {.}

}





\inputdefinition
{}
{

Zu \definitionsverweis {komplexen Tori}{}{} \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {} nennt man einen \definitionsverweis {holomorphen Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {E_1} {E_2 } {} eine \definitionswort {Isogenie}{}

}

Nach Lemma 10.4 ist also zu einem Untergitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1 }
{ \subseteq }{\Gamma_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die induzierte Abbildung \maabb {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2 } {} eine Isogenie.





\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung mit n/Untergitter/Isogenie/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{\langle u, v \rangle }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann führt die Multiplikation mit $n$ zu einem kommutativen Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} & \stackrel{ n }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ {\mathbb C}/\Gamma & \stackrel{ [n] }{\longrightarrow} & {\mathbb C}/\Gamma & \!\!\!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
von Gruppenhomomorphismen. Die Abbildung $[n]$ ist eine surjektive \definitionsverweis {Isogenie}{}{} und der Kern von $[n]$ wird durch die $n^2$ Elemente
\mathdisp {{ \left\{ i { \frac{ u }{ n } } + j { \frac{ v }{ n } } \mid i,j = 0,1 , \ldots , n-1 \right\} }} { }
repräsentiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es liegt die Untergitterbeziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n \Gamma }
{ \subseteq }{\Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vor, daher folgen die Aussagen aus Lemma 10.4.

}


Der folgende Satz charakterisiert die nichtkonstanten Isogenien.





\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Isogenie/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2 }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Gitter}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s \Gamma_1 }
{ \subseteq }{ \Gamma_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gibt einen surjektiven \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Lie-Gruppen}{}{} \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}/ \Gamma_1} { {\mathbb C}/ \Gamma_2 } {.} }{Es gibt einen Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}/ \Gamma_1} { {\mathbb C}/ \Gamma_2 } {} mit einem endlichen Kern. }{Es gibt einen nichtkonstanten Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}/ \Gamma_1} { {\mathbb C}/ \Gamma_2 } {.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Von (1) nach (2), (3). Nach Satz 10.8 können wir $s \Gamma_1$ durch $\Gamma_1$ ersetzen, da dies den Quotienten mit seiner holomorphen Struktur nicht ändert. Die Aussage (2) und (3) folgen somit aus Lemma 10.2 und Lemma 10.4. Aus (2) bzw. (3) folgt direkt (4). Sei also (4) erfüllt. Wir betrachten den zusammengesetzten holomorphen Gruppenhomomorphismus
\mathdisp {{\mathbb C} \stackrel{ \pi_1}{\longrightarrow} {\mathbb C}/\Gamma_1 \stackrel{\varphi}{\longrightarrow } {\mathbb C} /\Gamma_2} { . }
Der Kern dieser Abbildung umfasst $\Gamma_1$. Nach Lemma 8.15 besitzt diese Gesamtabbildung eine Faktorisierung
\mathdisp {{\mathbb C} \stackrel{\cdot s }{\longrightarrow} {\mathbb C} \stackrel{ \pi_2}{\longrightarrow } {\mathbb C} /\Gamma_2} { }
mit einer komplexen Zahl $s$. Somit gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s \cdot \Gamma_1 }
{ \subseteq }{ \Gamma_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und wegen der Nichtkonstanz ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2 }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Gitter}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind \mathkor {} {\Gamma_1} {und} {\Gamma_2} {} genau dann zueinander \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{,} wenn \mathkor {} {{\mathbb C}/ \Gamma_1} {und} {{\mathbb C}/ \Gamma_2} {} als \definitionsverweis {komplexe Lie-Gruppen}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Hinrichtung wurde in Lemma 9.11 gezeigt. Die Rückrichtung folgt aus Lemma 10.7.

}






\inputfaktbeweis
{Komplexe Tori/Eindimensional/Isogenie/Multiplikation/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {} \definitionsverweis {komplexe Tori}{}{} über ${\mathbb C}$ und \maabbdisp {\varphi} {E_1} {E_2 } {} eine nichtkonstante \definitionsverweis {Isogenie}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Isogenie \maabbdisp {\psi} {E_2} {E_1 } {} derart, dass
\mathl{\psi \circ \varphi}{} die $n$-Multiplikation auf $E_1$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Lemma 10.7 und Lemma 10.1.

}






\inputfaktbeweis
{Komplexe Tori/C/Isogenien/Multiplikationen/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {E_1 = {\mathbb C} /\Gamma_1} {und} {E_2 = {\mathbb C} /\Gamma_2} {} \definitionsverweis {komplexe Tori}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann entsprechen die \definitionsverweis {Isogenien}{}{} \maabb {\varphi} {E_1} {E_2 } {} den komplexen Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s \Gamma_1 }
{ \subseteq }{ \Gamma_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Lemma 10.7.

}






\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Isogenien/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mathl{E_1,E_2,E_3}{} \definitionsverweis {komplexe Tori}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Wenn \maabb {\varphi} { E_1} {E_2 } {} und \maabbdisp {\psi} {E_2} {E_3 } {} \definitionsverweis {Isogenien}{}{} sind, so ist auch
\mathl{\psi \circ \varphi}{} eine Isogenie. } {Wenn \maabbdisp {\varphi, \psi} {E_1} {E_2 } {} Isogenien sind, so ist auch ihre Summe
\mathl{\varphi + \psi}{} eine Isogenie. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\aufzaehlungzwei {Ist klar. } {Folgt direkt aus dem Diagramm
\mathdisp {E_1 \stackrel{ \varphi, \psi }{\longrightarrow} E_2 \times E_2 \stackrel{+}{\longrightarrow} E_2} { . }
}

}





\inputdefinition
{}
{

\definitionsverweis {Komplexe Tori}{}{} $E_1,E_2$ über ${\mathbb C}$ heißen \definitionswort {isogen}{,} wenn es eine nichtkonstante \definitionsverweis {Isogenie}{}{} \maabb {} {E_1} {E_2 } {} gibt.

}






\zwischenueberschrift{Endomorphismenring}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E }
{ = }{ {\mathbb C} / \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {komplexe Torus}{}{.} Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{End}_{ } { \left( E \right) } }
{ =} { { \left\{ f:E \rightarrow E \mid f \text{ Isogenie} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den \definitionswort {Endomorphismenring}{} von $E$.

}





\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zu einem \definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}}
\faktfolgerung {ist der \definitionsverweis {Endomorphismenring}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Bei der Korrespondenz aus Lemma 10.10 zwischen Isogenien und Multiplikationen in ${\mathbb C}$ entsprechen sich auch die Hintereinanderschaltungen und die Summen. Dies gilt insbesondere für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma' }
{ = }{ \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass sich alles innerhalb von ${\mathbb C}$ abspielt. Es liegt also eine Unterring von ${\mathbb C}$ vor.

}


Der Standardfall ist, dass der Endomorphismenring gleich $\Z$ ist und einfach nur aus den Multiplikationen mit ganzen Zahlen im Sinne von Lemma 10.6 besteht. Es gibt aber auch Fälle, wo der Endomorphismenring größer ist. Wenn $\Gamma$ das definierende Gitter ist, so ist die entscheidende Frage, ob es komplexe Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \notin }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s \Gamma }
{ \subseteq }{ \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn das Gitter in der Form
\mathl{\Z 1 + \Z u}{} gegeben ist, so muss $s$ selbst zu dem Gitter gehören, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ = }{ n+mu }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und es muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ su }
{ =} { nu +mu^2 }
{ \in} { \Gamma }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{mu^2 }
{ \in }{ \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} D.h. $u$ muss eine quadratische Gleichung über $\Z$ erfüllen. Daher besteht ein enger Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven über ${\mathbb C}$ mit \anfuehrung{großem}{} Endomorphismenring und \definitionsverweis {imaginär-quadratischen Zahlbereichen}{}{.}




\inputbeispiel{}
{

Zum \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mathl{\Z + \Z { \mathrm i}}{} gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit ${ \mathrm i}$, die das Gitter in sich selbst überführt. Der \definitionsverweis {Endomorphismenring}{}{} der elliptischen Kurve
\mathl{{\mathbb C}/( \Z + \Z { \mathrm i})}{} ist $\Z[ { \mathrm i} ]$.


}




\inputbeispiel{}
{

Zum \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ = }{\Z + \Z { \frac{ - 1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit ${ \frac{ -1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }$, die das Gitter in sich selbst überführt. Der \definitionsverweis {Endomorphismenring}{}{} des \definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}
\mathl{{\mathbb C}/ \Gamma}{} ist $\Z[ { \frac{ -1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } } ]$.


}