Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 10
- Isogenien
Es seien zwei Gitter gegeben, das eine Gitter sei also in dem anderen Gitter enthalten, d.h. ist ein Untergitter von . Beispielsweise ist ein Untergitter des Standardgitters . Wenn man ein Gitter mit einer positiven natürlichen Zahl streckt, so erhält man die Untergitterbeziehung . Hierbei sind und zueinander streckungsäquivalent, es kann also durchaus sein, dass ein streckungsäquivalentes Gitter als Untergitter von sich selbst auftritt.
Lemma
Es sei ein Untergitter eines Gitters in .
Dann gibt es derart, dass gilt.
Beweis
Es sei und . Dann gibt es mit und . Da die Gitter nach Definition volldimensional sind, ist
Somit gibt es eine weitere Matrix mit
Mit diesem gilt die Behauptung.
Lemma
Zu Gittern
gibt es einen kanonischen surjektiven Gruppenhomomorphismus
dessen Kern gleich und insbesondere endlich ist.
Beweis
Unter dem Gruppenhomomorphismus
wird insbesondere auch das Untergitter auf abgebildet, d.h. gehört zum Kern von . Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus
Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu . Dies ist eine endliche Gruppe.
Lemma
Zu Gittern
ist der kanonische Gruppenhomomorphismus
eine endliche Überlagerung, deren Fasern gleich sind. Die Gruppe der Decktransformationen ist isomorph zu .
Beweis
Es liegt das kommutative Diagramm
wobei und nach Satz 8.6 Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung , für die es in die disjunkten und zu homöomorphen offenen Umgebungen , , gibt, ist das Urbild in die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen , , wobei
Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.
Ein Element definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus
derart, dass das Diagramm
kommutiert. Dabei definiert genau dann die Identität auf , wenn ist, also wenn in ist. Die Addition in entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
Lemma
Beweis
Dies folgt aus Lemma 10.2 und aus Lemma 10.3, da die holomorphen Strukturen auf bzw. beide von geerbt sind (siehe Satz 8.6).
Definition
Zu komplexen Tori und nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus eine Isogenie
Nach Lemma 10.4 ist also zu einem Untergitter die induzierte Abbildung eine Isogenie.
Der folgende Satz charakterisiert die nichtkonstanten Isogenien.
Lemma
Es seien Gitter. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Es gibt ein mit .
- Es gibt einen surjektiven
Homomorphismus
von
komplexen Lie-Gruppen
- Es gibt einen Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen
mit einem endlichen Kern.
- Es gibt einen nichtkonstanten Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen
Beweis
Von (1) nach (2), (3). Nach Satz 10.8 können wir durch ersetzen, da dies den Quotienten mit seiner holomorphen Struktur nicht ändert. Die Aussage (2) und (3) folgen somit aus Lemma 10.2 und Lemma 10.4. Aus (2) bzw. (3) folgt direkt (4). Es sei also (4) erfüllt. Wir betrachten den zusammengesetzten holomorphen Gruppenhomomorphismus
Der Kern dieser Abbildung umfasst . Nach Lemma 8.15 besitzt diese Gesamtabbildung eine Faktorisierung
mit einer komplexen Zahl . Somit gilt und wegen der Nichtkonstanz ist .
Satz
Es seien Gitter.
Dann sind und genau dann zueinander streckungsäquivalent, wenn und als komplexe Lie-Gruppen isomorph sind.
Beweis
Die Hinrichtung wurde in Lemma 9.11 gezeigt. Die Rückrichtung folgt aus Lemma 10.7.
Satz
Es seien und komplexe Tori über und
eine nichtkonstante Isogenie.
Dann gibt es eine Isogenie
derart, dass die -Multiplikation auf ist.
Beweis
Dies folgt aus Lemma 10.7 und Lemma 10.1.
Lemma
Es seien und komplexe Tori.
Dann entsprechen die Isogenien den komplexen Zahlen mit .
Beweis
Dies folgt aus Lemma 10.7.
Lemma
Es seien komplexe Tori. Dann gelten folgende Aussagen
- Wenn
und
Isogenien sind, so ist auch eine Isogenie.
- Wenn
Isogenien sind, so ist auch ihre Summe eine Isogenie.
Beweis
- Ist klar.
- Folgt direkt aus dem Diagramm
Definition
Komplexe Tori über heißen isogen, wenn es eine nichtkonstante Isogenie gibt.
- Endomorphismenring
Definition
Es sei ein Gitter und der zugehörige komplexe Torus. Man nennt
mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von .
Lemma
Zu einem komplexen Torus
ist der Endomorphismenring ein Integritätsbereich.
Beweis
Bei der Korrespondenz aus Lemma 10.10 zwischen Isogenien und Multiplikationen in entsprechen sich auch die Hintereinanderschaltungen und die Summen. Dies gilt insbesondere für , so dass sich alles innerhalb von abspielt. Es liegt also eine Unterring von vor.
Der Standardfall ist, dass der Endomorphismenring gleich ist und einfach nur aus den Multiplikationen mit ganzen Zahlen im Sinne von
Lemma 10.6
besteht. Es gibt aber auch Fälle, wo der Endomorphismenring größer ist. Wenn das definierende Gitter ist, so ist die entscheidende Frage, ob es komplexe Zahlen
gibt mit
.
Wenn das Gitter in der Form gegeben ist, so muss selbst zu dem Gitter gehören, also
,
und es muss
gelten, also . D.h. muss eine quadratische Gleichung über erfüllen. Daher besteht ein enger Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven über mit „großem“ Endomorphismenring und imaginär-quadratischen Zahlbereichen.
Beispiel
Zum Gitter gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit , die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring der elliptischen Kurve ist .
Beispiel
Zum Gitter gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit , die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring des komplexen Torus ist .
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