Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 9/latex

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\setcounter{section}{9}

Wir fragen uns, für welche Gitter $\Gamma_1, \Gamma_2$ die komplexen Tori \mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {und} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {} isomorph \zusatzklammer {als komplexe Lie-Gruppen} {} {} sind.






\zwischenueberschrift{Die spezielle lineare Gruppe über $\Z$}

Wir betrachten die spezielle lineare Gruppe in der Dimension $2$ über $\Z$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \Z , \, ad-bc = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese haben die Wirkungsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} -c & -d \\ a & b \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ c & d \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


\inputfaktbeweis
{Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {In
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}}
\faktfolgerung {gelten die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^2 }
{ =} { - \operatorname{Id} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (ST)^3 }
{ =} { - \operatorname{Id} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 9.1. }






\inputfaktbeweis
{Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Die spezielle lineare Gruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{}}
\faktfolgerung {wird von den beiden Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {erzeugt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir beweisen die Aussage, dass jede spezielle lineare Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} über $\Z$ in der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe liegt, durch Induktion über
\mathl{\betrag { c }}{.} Wenn dieser Betrag gleich $0$ ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{d }
{ = }{ \pm 1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und durch Multiplikation mit $S^2$ \zusatzklammer {siehe Lemma 9.1} {} {} können wir annehmen, dass die Diagonalelemente gleich $1$ sind. Dann ist die Matrix eine Potenz von $T$ \zusatzklammer {mit einem eventuell negativen Exponenten} {} {.} Sei die Aussage nun für alle speziellen linearen Matrizen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c } }
{ < }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bewiesen und sei eine spezielle lineare Matrix mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c } }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Wegen der Präsenz von $S$ können wir annehmen, dass auch $a$ einen Betrag von zumindest $n$ besitzt. Durch Multiplikation mit $T$ oder mit $T^{-1}$ von links kann man dann die erste Spalte
\mathl{\begin{pmatrix} a \\c \end{pmatrix}}{} durch
\mathl{\begin{pmatrix} a \pm c \\c \end{pmatrix}}{} ersetzen und erhält, wenn man dies hinreichend oft ausführt, eine erste Spalte
\mathl{\begin{pmatrix} a' \\c \end{pmatrix}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a' } }
{ < }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} worauf wir nach Multiplikation mit $S$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können.

}






\zwischenueberschrift{Streckungsäquivalenz und Modulsubstitution}

Zu je zwei Gittern
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2 }
{ \subset }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind die Quotienten \mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {und} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {} als \definitionsverweis {topologische Gruppen}{}{} isomorph, es handelt sich ja um den topologischen Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{.} Auch als \definitionsverweis {reelle Lie-Gruppen}{}{} sind sie stets diffeomorph. Als komplexe Mannigfaltigkeiten bzw. als komplexe Liegruppen sind aber \mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {und} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {} in aller Regel verschieden. Dies bedeutet, dass die eine topologische Gruppe
\mathl{S^1 \times S^1}{} unterschiedliche komplexe Strukturen besitzt.




\inputdefinition
{}
{

Zwei \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2 }
{ \subset }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißen \definitionswort {streckungsäquivalent}{,} wenn es eine komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_2 }
{ = }{ s \Gamma_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}

Dabei ist natürlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die Streckungsäquivalenz ist eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{.} Wenn das eine Gitter $\Gamma_1$ durch die reelle Basis
\mathl{u_1,u_2}{} und das andere Gitter $\Gamma_2$ durch
\mathl{v_1,v_2}{} gegeben ist, so kann man durch Multiplikation mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s }
{ =} { { \frac{ v_1 }{ u_1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein zu $\Gamma_1$ streckungsäquivalentes Gitter
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s \Gamma_1 }
{ =} { \langle v_1, { \frac{ v_1 u_2 }{ u_1 } } \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} finden, das mit $\Gamma_2$ im ersten Erzeuger übereinstimmt. Damit sind die Streckungsmöglichkeiten aufgebraucht. Allerdings kann man aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ v_1 u_2 }{ u_1 } } }
{ \neq} { v_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht schließen, dass \mathkor {} {\Gamma_1} {und} {\Gamma_2} {} nicht zueinander streckungsäquivalent sind, da es ja um die Gleichheit von Gittern und nicht um die Gleichheit von Gitterbasen geht, d.h. man kann noch mit einer Matrix aus
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} multiplizieren.


\inputdefinition
{}
{

Unter der \definitionswort {oberen Halbebene}{} in ${\mathbb C}$ versteht man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb H} }
{ =} { { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } > 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Jedes \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$}
\faktfolgerung {ist \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z u}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{ {\mathbb H} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \Z u_1 + \Z u_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da
\mathl{u_1,u_2}{} eine reelle Basis sind, ist insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1 }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \defeq }{ u_1^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erhält man das streckungsäquivalente Gitter
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s \Gamma }
{ =} { \langle s u_1, s u_2 \rangle }
{ =} { \langle u_1^{-1} u_1, u_1^{-1} u_2 \rangle }
{ =} { \langle 1, u_1^{-1} u_2 \rangle }
{ } { }
} {}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{ u_1^{-1} u_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen \mathkor {} {u_1} {und} {u_2} {} vorliegen würde. Also besitzt $v$ einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir $v$ durch $-v$ und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.

}


Es bleibt noch zu fragen, wann zwei Gitter, die beide durch eine Basis der Form \mathkor {} {(1, u)} {bzw.} {(1, v)} {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,v }
{ \in }{ {\mathbb H} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sind, übereinstimmen.





\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zwei \definitionsverweis {Gitter}{}{} der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1 }
{ = }{ \Z \tau_1 + \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2 }
{ = }{ \Z \tau_2 + \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau_1,\tau_2 }
{ \in }{ {\mathbb H} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}}
\faktfolgerung {sind genau dann \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{,} wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \in }{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau_2 }
{ =} { { \frac{ a \tau_1 +b }{ c \tau_1 +d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Streckungsbedingung zusammen mit der Basisbeschreibung aus Korollar 8.5 führt auf die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} \tau_2 \\1 \end{pmatrix} }
{ =} { s \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tau_1 \\1 \end{pmatrix} }
{ =} { s\begin{pmatrix} a \tau_1+b \\c \tau_1 +d \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s }
{ =} { { \frac{ 1 }{ c \tau_1 +d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sein und die Bedingung wird zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau_2 }
{ =} { { \frac{ a \tau_1+b }{ c \tau_1 +d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a \tau_1+b }{ c \tau_1 +d } } }
{ =} { { \frac{ (a \tau_1+b)( c \overline{ \tau_1 } +d ) }{ (c \tau_1 +d)( c \overline{ \tau_1 } +d ) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der Nenner ist reell und positiv, der Zähler ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a \tau_1+b)( c \overline{ \tau_1 } +d ) }
{ =} { ac \tau_1 \overline{ \tau_1 } + bd + ad \tau_1 + bc \overline{ \tau_1 } }
{ =} { ac \tau_1 \overline{ \tau_1 } + bd + (bc \pm 1) \tau_1 + bc \overline{ \tau_1 } }
{ =} { ac \tau_1 \overline{ \tau_1 } + bd + bc { \left( \tau_1 + \overline{ \tau_1 } \right) } \pm \tau_1 }
{ } { }
} {} {}{.} Hierbei sind die drei Summanden links reell. Somit gehört
\mathl{{ \frac{ a \tau_1+b }{ c \tau_1 +d } }}{} genau dann zu ${\mathbb H}$, wenn das Vorzeichen vor $\tau_1$ positiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix die Determinante $1$ besitzt.

}


Aufgrund von Lemma 9.6 ist es naheliegend, die folgende Wirkungsweise der Gruppe der speziellen ganzzahligen $2 \times 2$-Matrizen auf der oberen Halbebene zu betrachten.


\inputdefinition
{}
{

Die \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} der Gruppe $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$ auf der oberen Halbebene ${\mathbb H}$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \tau }
{ \defeq} { { \frac{ a \tau +b }{ c \tau +d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Modulsubstitution}{.}

} Dass das Ergebnis einer solchen Substitution \zusatzklammer {man spricht auch von einer speziellen Möbiustransformation} {} {} wieder in der oberen Halbebene liegt wurde in Lemma 9.6 mitbewiesen. Die spezielle lineare Gruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} nennt man in diesem Zusammenhang auch \stichwort {Modulgruppe} {.} Da die negative Einheitsmatrix
\mathl{\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}{} als Modulsubstitution trivial operiert, betrachtet man zumeist die Restklassengruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } / \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} als die Modulgruppe.






\inputbemerkung
{}
{

Die Wirkungsweise der beiden Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die nach Satz 9.2 die Gruppe der speziellen ganzzahligen Matrizen erzeugen, bei der \definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \tau }
{ =} { - \tau^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \tau }
{ =} { \tau +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ModularGroup-FundamentalDomain.eps} }
\end{center}
\bildtext {Der Fundamentalbereich der Gruppenoperation durch Modulsubstitution ist grau. Im Bild ist nicht erkennbar, inwiefern die Randpunkte dazu gehören oder nicht.} }

\bildlizenz { ModularGroup-FundamentalDomain.svg } {} {Kilom691} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}





\inputfaktbeweis
{Obere Halbebene/Modulsubstitution/Fundamentalbereich/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{ { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } > 1 \text{ und } \betrag { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } } < { \frac{ 1 }{ 2 } } \right\} } \cup { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \geq 1 \text{ und } \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } = - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right\} } \cup { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \text{ und } - { \frac{ 1 }{ 2 } } < \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \leq 0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $D$ ein \definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{} für die \definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{} auf der oberen Halbebene.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau }
{ = }{ r +s { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ g \tau }
{ =} { { \frac{ a \tau +b }{ c \tau +d } } }
{ =} { { \frac{ (a \tau +b)( \overline{ c \tau +d }) }{ (c \tau +d)( \overline{ c \tau +d }) } } }
{ =} { { \frac{ (a (r +s { \mathrm i}) +b) ( c (r -s { \mathrm i}) +d ) }{ \betrag { c \tau +d }^2 } } }
{ =} { { \frac{ (a r+b +as { \mathrm i} ) ( c r+d -cs { \mathrm i}) ) }{ \betrag { c \tau +d }^2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ (a r+b)(cr+d) + acs^2 + ( da -bc ) s { \mathrm i} }{ \betrag { c \tau +d }^2 } } }
{ =} { { \frac{ (a r+b)(cr+d) + acs^2 + s { \mathrm i} }{ \betrag { c \tau +d }^2 } } }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Dies bedeutet, dass zwischen den Imaginärteilen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) } }
{ =} { { \frac{ \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) } }{ \betrag { c \tau +d }^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau }
{ \in }{H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt daraus ferner, dass die Menge
\mathbed {\operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) }} {}
{g \in \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }} {}
{} {} {} {,} ein Maximum besitzt. Sei $g$ entsprechend gewählt. Wir wählen ferner
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass der Realteil von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau' }
{ =} {T^n g \tau }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zwischen \mathkor {} {- { \frac{ 1 }{ 2 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }} {} liegt, was nach Bemerkung 9.8 möglich ist. Der Betrag von $\tau'$ ist $\geq 1$, andernfalls würde sich durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S \tau' }
{ = }{ - { \frac{ 1 }{ \tau' } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Widerspruch zur Wahl von $g \tau$ ergeben. Somit gelangt man in den Abschluss von $D$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ \in }{ \overline{D} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn der Realteil von $\tau$ gleich ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ ist, so kann man durch Anwendung von $T^{-1}$ erreichen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T^{-1} \tau }
{ \in }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Die Elemente auf dem rechten Kreisteilbogen kann man durch eine Anwendung von $S$ auf den linken Kreisteilbogen schicken. Daher wird jedes Element von $H$ durch ein Element aus $D$ repräsentiert.

Es ist noch zeigen, dass dieses Element eindeutig ist. Nach Satz 9.2 genügt es zu zeigen, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \neq }{ \pm \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g \tau }
{ \notin }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt. Sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau }
{ = }{r+s { \mathrm i} }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir nehmen an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g \tau }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gehört und müssen zeigen, dass $g$ die Identität oder das Negative der Identität ist. Da die Rollen von \mathkor {} {\tau} {und} {g \tau} {} vertauscht werden können, können wir annehmen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) } }
{ \geq} { \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Wie oben gezeigt gilt für den Imaginärteil
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) } }
{ =} { { \frac{ \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) } }{ \betrag { c \tau +d }^2 } } }
{ \geq} { \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c \tau +d }^2 }
{ =} { c^2r^2+d^2 +2crd +c^2s^2 }
{ \leq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \geq }{ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c } }
{ \leq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ = }{ a }
{ = }{ \pm 1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei wir direkt $=1$ annehmen können, und es liegt eine Scherung vor, die wegen des Realteiles trivial sein muss. Sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ = }{ \pm 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei wir durch Multiplikation mit $- \operatorname{Id}$ annehmen können, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \tau +d } }
{ \leq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Determinante ergibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g \tau }
{ = }{ { \frac{ a \tau -1 }{ \tau } } }
{ = }{ a - \tau^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Der Imaginärteil dieser Zahl ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ s }{ r^2+s^2 } } }
{ \leq }{s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also muss $\tau$ ein Punkt der Sphäre und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein. Von $\tau$ und $- \tau^{-1}$ liegt aber genau ein Element auf dem fixierten Kreissegment.

}






\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Eindeutige Repräsentierung/Fundamentalbereich/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Jedes \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$}
\faktfolgerung {ist \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z \tau}{} mit einem eindeutig bestimmten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ \in }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $D$ den \definitionsverweis {Fundamentalbereich zur Modulsubstitution}{}{} bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Lemma 9.5, Lemma 9.6 und Lemma 9.9.

}





\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Hinrichtung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2 }
{ \subset }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {streckungsäquivalente}{}{} \definitionsverweis {Gitter}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind \mathkor {} {{\mathbb C}/ \Gamma_1} {und} {{\mathbb C}/ \Gamma_2} {} als \definitionsverweis {komplexe Lie-Gruppen}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es seien \mathkor {} {\Gamma_1} {und} {\Gamma_2} {} streckungsäquivalent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Gamma_2 }
{ =} {s \Gamma_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wie betrachten die Multiplikation mit $s$ als lineare Abbildung \maabbdisp {s} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {.} Dieser Gruppenisomorphismus führt $\Gamma_1$ in $\Gamma_2$ über. Somit ist $\Gamma_1$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} des surjektiven Gruppenhomomorphismus
\mathdisp {{\mathbb C} \stackrel{s}{\longrightarrow} {\mathbb C} \stackrel{ \pi_2}{ \longrightarrow } {\mathbb C}/\Gamma_2} { . }
Nach Korollar 47.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) induziert dies einen Gruppenisomorphismus \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2 } {.} Dieser ist stetig und auch \zusatzklammer {wegen der Kompaktheit oder wegen der Symmetrie der Situation} {} {} ein Homöomorphismus. Für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine hinreichend kleine Ballumgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{ U { \left( Q,\epsilon \right) } }
{ = }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die $\Gamma_1$ nur einfach trifft, ist \maabbdisp {} {V} {\pi_1(V) } {} eine komplexe Karte für ${\mathbb C}/\Gamma_1$. Dann kommutiert das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} V & \stackrel{ s }{\longrightarrow} & sV & \\ \!\!\!\!\! \pi_1 \downarrow & & \downarrow \pi_2 \!\!\!\!\! & \\ \pi_1(V) & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & \pi_2(sV) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
und
\mathl{sV}{} ist eine komplexe Karte für ${\mathbb C}/\Gamma_2$. Somit ist $\varphi$ mit den komplexen Strukturen verträglich, also holomorph.

}