Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 9/latex
\setcounter{section}{9}
Wir fragen uns, für welche Gitter $\Gamma_1, \Gamma_2$ die komplexen Tori \mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {und} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {} isomorph \zusatzklammer {als komplexe Lie-Gruppen} {} {} sind.
\zwischenueberschrift{Die spezielle lineare Gruppe über $\Z$ }
Wir betrachten die spezielle lineare Gruppe in der Dimension $2$ über $\Z$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \Z , \, ad-bc = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese haben die Wirkungsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -c & -d \\ a & b \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
{Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {In
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {gelten die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ =} { -
\operatorname{Id}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (ST)^3
}
{ =} { -
\operatorname{Id}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 9.1. }
\inputfaktbeweis
{Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die spezielle lineare Gruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{}}
\faktfolgerung {wird von den beiden Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {erzeugt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage, dass jede spezielle lineare Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} über $\Z$ in der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe liegt, durch Induktion über
\mathl{\betrag { c }}{.} Wenn dieser Betrag gleich $0$ ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{d
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und durch Multiplikation mit $S^2$
\zusatzklammer {siehe
Lemma 9.1} {} {}
können wir annehmen, dass die Diagonalelemente gleich $1$ sind. Dann ist die Matrix eine Potenz von $T$
\zusatzklammer {mit einem eventuell negativen Exponenten} {} {.}
Es sei die Aussage nun für alle speziellen linearen Matrizen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c }
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bewiesen und sei eine spezielle lineare Matrix mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c }
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wegen der Präsenz von $S$ können wir annehmen, dass auch $a$ einen Betrag von zumindest $n$ besitzt. Durch Multiplikation mit $T$ oder mit $T^{-1}$ von links kann man dann die erste Spalte
\mathl{\begin{pmatrix} a \\c \end{pmatrix}}{} durch
\mathl{\begin{pmatrix} a \pm c \\c \end{pmatrix}}{} ersetzen und erhält, wenn man dies hinreichend oft ausführt, eine erste Spalte
\mathl{\begin{pmatrix} a' \\c \end{pmatrix}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a' }
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
worauf wir nach Multiplikation mit $S$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
\zwischenueberschrift{Streckungsäquivalenz und Modulsubstitution}
Zu je zwei Gittern
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Quotienten
\mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {und} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {}
als
\definitionsverweis {topologische Gruppen}{}{}
isomorph, es handelt sich ja um den topologischen Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{.} Auch als
\definitionsverweis {reelle Lie-Gruppen}{}{}
sind sie stets diffeomorph. Als komplexe Mannigfaltigkeiten bzw. als komplexe Liegruppen sind aber
\mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {und} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {}
in aller Regel verschieden. Dies bedeutet, dass die eine topologische Gruppe
\mathl{S^1 \times S^1}{} unterschiedliche komplexe Strukturen besitzt.
\inputdefinition
{}
{
Zwei
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen
\definitionswort {streckungsäquivalent}{,}
wenn es eine komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_2
}
{ = }{ s \Gamma_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Dabei ist natürlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die Streckungsäquivalenz ist eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{.}
Wenn das eine Gitter $\Gamma_1$ durch die reelle Basis
\mathl{u_1,u_2}{} und das andere Gitter $\Gamma_2$ durch
\mathl{v_1,v_2}{} gegeben ist, so kann man durch Multiplikation mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s
}
{ =} { { \frac{ v_1 }{ u_1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein zu $\Gamma_1$ streckungsäquivalentes Gitter
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s \Gamma_1
}
{ =} { \langle v_1, { \frac{ v_1 u_2 }{ u_1 } } \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
finden, das mit $\Gamma_2$ im ersten Erzeuger übereinstimmt. Damit sind die Streckungsmöglichkeiten aufgebraucht. Allerdings kann man aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ v_1 u_2 }{ u_1 } }
}
{ \neq} { v_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht schließen, dass
\mathkor {} {\Gamma_1} {und} {\Gamma_2} {}
nicht zueinander streckungsäquivalent sind, da es ja um die Gleichheit von Gittern und nicht um die Gleichheit von Gitterbasen geht, d.h. man kann noch mit einer Matrix aus
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} multiplizieren.
\inputdefinition
{}
{
Unter der
\definitionswort {oberen Halbebene}{}
in ${\mathbb C}$ versteht man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb H}
}
{ =} { { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } > 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Jedes
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z u}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \Z u_1 + \Z u_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{u_1,u_2}{} eine reelle Basis bilden, ist insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \defeq }{ u_1^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhält man das streckungsäquivalente Gitter
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s \Gamma
}
{ =} { \langle s u_1, s u_2 \rangle
}
{ =} { \langle u_1^{-1} u_1, u_1^{-1} u_2 \rangle
}
{ =} { \langle 1, u_1^{-1} u_2 \rangle
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ u_1^{-1} u_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen
\mathkor {} {u_1} {und} {u_2} {}
vorliegen würde. Also besitzt $v$ einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir $v$ durch $-v$ und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.
Es bleibt noch zu fragen, wann zwei Gitter, die beide durch eine Basis der Form
\mathkor {} {(1, u)} {bzw.} {(1, v)} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,v
}
{ \in }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sind, übereinstimmen.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zwei
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1
}
{ = }{ \Z \tau_1 + \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2
}
{ = }{ \Z \tau_2 + \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau_1,\tau_2
}
{ \in }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {sind genau dann
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{,}
wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau_2
}
{ =} { { \frac{ a \tau_1 +b }{ c \tau_1 +d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Streckungsbedingung zusammen mit der Basisbeschreibung aus
Korollar 8.5
führt auf die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} \tau_2 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { s \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tau_1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { s\begin{pmatrix} a \tau_1+b \\c \tau_1 +d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ c \tau_1 +d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein und die Bedingung wird zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau_2
}
{ =} { { \frac{ a \tau_1+b }{ c \tau_1 +d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a \tau_1+b }{ c \tau_1 +d } }
}
{ =} { { \frac{ (a \tau_1+b)( c \overline{ \tau_1 } +d ) }{ (c \tau_1 +d)( c \overline{ \tau_1 } +d ) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Nenner ist reell und positiv, der Zähler ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a \tau_1+b)( c \overline{ \tau_1 } +d )
}
{ =} { ac \tau_1 \overline{ \tau_1 } + bd + ad \tau_1 + bc \overline{ \tau_1 }
}
{ =} { ac \tau_1 \overline{ \tau_1 } + bd + (bc \pm 1) \tau_1 + bc \overline{ \tau_1 }
}
{ =} { ac \tau_1 \overline{ \tau_1 } + bd + bc { \left( \tau_1 + \overline{ \tau_1 } \right) } \pm \tau_1
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Hierbei sind die drei Summanden links reell. Somit gehört
\mathl{{ \frac{ a \tau_1+b }{ c \tau_1 +d } }}{} genau dann zu ${\mathbb H}$, wenn das Vorzeichen vor $\tau_1$ positiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix die Determinante $1$ besitzt.
Aufgrund von
Lemma 9.6
ist es naheliegend, die folgende Wirkungsweise der Gruppe der speziellen ganzzahligen $2 \times 2$-Matrizen auf der oberen Halbebene zu betrachten.
\inputdefinition
{}
{
Die
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
der Gruppe $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$ auf der
\definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{}
${\mathbb H}$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \tau
}
{ \defeq} { { \frac{ a \tau +b }{ c \tau +d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {Modulsubstitution}{.}
}
Es handelt sich also um die Wirkung von speziellen
\definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{}
auf der oberen Halbebene. Dass das Ergebnis einer solchen Substitution
\zusatzklammer {man spricht auch von einer speziellen Möbiustransformation} {} {}
wieder in der oberen Halbebene liegt wurde in
Lemma 9.6
mitbewiesen. Eine Gruppenoperation liegt aufgrund von
Lemma 2.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
vor. Die spezielle lineare Gruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} nennt man in diesem Zusammenhang auch \stichwort {Modulgruppe} {.} Da die negative Einheitsmatrix
\mathl{\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}{} als Modulsubstitution trivial operiert, betrachtet man zumeist die Restklassengruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } / \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} als die Modulgruppe.
\inputbemerkung
{}
{
Die Wirkungsweise der beiden Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die nach
Satz 9.2
die Gruppe der speziellen ganzzahligen Matrizen erzeugen, bei der
\definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \tau
}
{ =} { - \tau^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \tau
}
{ =} { \tau +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ModularGroup-FundamentalDomain.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Fundamentalbereich der Gruppenoperation durch Modulsubstitution ist grau. Im Bild ist nicht erkennbar, inwiefern die Randpunkte dazu gehören oder nicht.} }
\bildlizenz { ModularGroup-FundamentalDomain.svg } {} {Kilom691} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputfaktbeweis
{Obere Halbebene/Modulsubstitution/Fundamentalbereich/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{D
}
{ =} { { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } > 1 \text{ und } \betrag {
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } } < { \frac{ 1 }{ 2 } } \right\} } \cup { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \geq 1 \text{ und }
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } = - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right\} } \cup { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \text{ und } - { \frac{ 1 }{ 2 } } <
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \leq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $D$ ein
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
für die
\definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{}
auf der oberen Halbebene.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau
}
{ = }{ r +s { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ g \tau
}
{ =} { { \frac{ a \tau +b }{ c \tau +d } }
}
{ =} { { \frac{ (a \tau +b)( \overline{ c \tau +d }) }{ (c \tau +d)( \overline{ c \tau +d }) } }
}
{ =} { { \frac{ (a (r +s { \mathrm i}) +b) ( c (r -s { \mathrm i}) +d ) }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ (a r+b +as { \mathrm i} ) ( c r+d -cs { \mathrm i}) }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ (a r+b)(cr+d) + acs^2 + ( da -bc ) s { \mathrm i} }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ (a r+b)(cr+d) + acs^2 + s { \mathrm i} }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dies bedeutet, dass zwischen den Imaginärteilen von
\mathkor {} {\tau} {und von} {g \tau} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) }
}
{ =} { { \frac{ \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) } }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau
}
{ \in }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt daraus ferner, dass die Menge
\mathbed {\operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) }} {}
{g \in \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }} {}
{} {} {} {,}
ein Maximum besitzt. Es sei $g$ entsprechend gewählt. Wir wählen ferner
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass der Realteil von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau'
}
{ =} {T^n g \tau
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zwischen
\mathkor {} {- { \frac{ 1 }{ 2 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }} {}
liegt, was nach
Bemerkung 9.8
möglich ist. Der Betrag von $\tau'$ ist $\geq 1$, andernfalls würde sich durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S \tau'
}
{ = }{ - { \frac{ 1 }{ \tau' } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Widerspruch zur Wahl von $g$ ergeben. Somit gelangt man in den Abschluss von $D$.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ \overline{D}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn der Realteil von $\tau$ gleich ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ ist, so kann man durch Anwendung von $T^{-1}$ erreichen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T^{-1} \tau
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Elemente auf dem rechten Kreisteilbogen kann man durch eine Anwendung von $S$ auf den linken Kreisteilbogen schicken. Daher wird jedes Element von $H$ durch ein Element aus $D$ repräsentiert.
Es ist noch zeigen, dass dieses Element eindeutig ist. Nach
Lemma 9.6
genügt es zu zeigen, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \neq }{ \pm
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g \tau
}
{ \notin }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau
}
{ = }{r+s { \mathrm i}
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir nehmen an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g \tau
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört und müssen zeigen, dass $g$ die Identität oder das Negative der Identität ist. Da die Rollen von
\mathkor {} {\tau} {und} {g \tau} {}
vertauscht werden können, können wir annehmen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) }
}
{ \geq} { \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wie oben gezeigt gilt für den Imaginärteil
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) }
}
{ =} { { \frac{ \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) } }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ \geq} { \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c \tau +d }^2
}
{ =} { { \left( cr+d \right) }^2 + c^2s^2
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \geq }{ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c }
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ a
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir direkt $=1$ annehmen können, und es liegt eine Scherung vor, die wegen des Realteiles trivial sein muss. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir durch Multiplikation mit $-
\operatorname{Id}$ annehmen können, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \tau +d }
}
{ \leq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Determinante ergibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g \tau
}
{ = }{ { \frac{ a \tau -1 }{ \tau } }
}
{ = }{ a - \tau^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Imaginärteil dieser Zahl ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ s }{ r^2+s^2 } }
}
{ \leq }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also muss $\tau$ ein Punkt der Sphäre und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Von $\tau$ und $- \tau^{-1}$ liegt aber genau ein Element auf dem fixierten Kreissegment.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Eindeutige Repräsentierung/Fundamentalbereich/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Jedes
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z \tau}{} mit einem eindeutig bestimmten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $D$ den
\definitionsverweis {Fundamentalbereich zur Modulsubstitution}{}{}
bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Hinrichtung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {streckungsäquivalente}{}{}
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind
\mathkor {} {{\mathbb C}/ \Gamma_1} {und} {{\mathbb C}/ \Gamma_2} {}
als
\definitionsverweis {komplexe Lie-Gruppen}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathkor {} {\Gamma_1} {und} {\Gamma_2} {}
streckungsäquivalent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Gamma_2
}
{ =} {s \Gamma_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wie betrachten die Multiplikation mit $s$ als lineare Abbildung
\maabbdisp {s} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {.}
Dieser Gruppenisomorphismus führt $\Gamma_1$ in $\Gamma_2$ über. Somit ist $\Gamma_1$ der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des surjektiven Gruppenhomomorphismus
\mathdisp {{\mathbb C} \stackrel{s}{\longrightarrow} {\mathbb C} \stackrel{ \pi_2}{ \longrightarrow } {\mathbb C}/\Gamma_2} { . }
Nach
Korollar 47.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
induziert dies einen Gruppenisomorphismus
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2
} {.}
Dieser ist stetig und auch
\zusatzklammer {wegen der Kompaktheit oder wegen der Symmetrie der Situation} {} {}
ein Homöomorphismus. Für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine hinreichend kleine Ballumgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{ U { \left( Q,\epsilon \right) }
}
{ = }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die $\Gamma_1$ nur einfach trifft, ist
\maabbdisp {} {V} {\pi_1(V)
} {}
eine komplexe Karte für ${\mathbb C}/\Gamma_1$. Dann kommutiert das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} V & \stackrel{ s }{\longrightarrow} & sV & \\ \!\!\!\!\! \pi_1 \downarrow & & \downarrow \pi_2 \!\!\!\!\! & \\ \pi_1(V) & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & \pi_2(sV) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
und
\mathl{sV}{} ist eine komplexe Karte für ${\mathbb C}/\Gamma_2$. Somit ist $\varphi$ mit den komplexen Strukturen verträglich, also holomorph.