Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 9

Wir fragen uns, für welche Gitter ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2$ die komplexen Tori $ℂ/{\Gamma }_1$ und $ℂ/{\Gamma }_2$ isomorph (als komplexe Lie-Gruppen) sind.

Die spezielle lineare Gruppe über $\mathbb{Z}$

Wir betrachten die spezielle lineare Gruppe in der Dimension $2$ über $\mathbb{Z}$, also

${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\mid a,b,c,d\in \mathbb{Z},ad-bc=1\}.$

Wir setzen

$S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

und

$T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$

Diese haben die Wirkungsweise

$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-c& -d\\ a& b\end{array}\right)$

und

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right).$

Lemma

In ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$ mit

$S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

und

$T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

gelten die Beziehungen

$S^2=-\mathrm{Id}$

und

$(ST{)}^3=-\mathrm{Id}.$

Beweis

Siehe Aufgabe 9.1.

$◻$

Satz

Die spezielle lineare Gruppe ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$

wird von den beiden Matrizen  $S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$  und  $T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$  erzeugt.

Beweis

Wir beweisen die Aussage, dass jede spezielle lineare Matrix $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ über $\mathbb{Z}$ in der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe liegt, durch Induktion über $|c|$. Wenn dieser Betrag gleich $0$ ist, so ist  $a=d=\pm 1$  und durch Multiplikation mit $S^2$ (siehe Lemma 9.1) können wir annehmen, dass die Diagonalelemente gleich $1$ sind. Dann ist die Matrix eine Potenz von $T$ (mit einem eventuell negativen Exponenten). Es sei die Aussage nun für alle speziellen linearen Matrizen mit  $|c|<n$  bewiesen und sei eine spezielle lineare Matrix mit  $|c|=n$  gegeben. Wegen der Präsenz von $S$ können wir annehmen, dass auch $a$ einen Betrag von zumindest $n$ besitzt. Durch Multiplikation mit $T$ oder mit $T^{-1}$ von links kann man dann die erste Spalte $\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)$ durch $\left(\begin{array}{c}a\pm c\\ c\end{array}\right)$ ersetzen und erhält, wenn man dies hinreichend oft ausführt, eine erste Spalte $\left(\begin{array}{c}{a}^{\prime }\\ c\end{array}\right)$ mit  $|a^{\prime }|<n$,  worauf wir nach Multiplikation mit $S$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können.

$◻$

Streckungsäquivalenz und Modulsubstitution

Zu je zwei Gittern  ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2\subset ℂ$  sind die Quotienten $ℂ/{\Gamma }_1$ und $ℂ/{\Gamma }_2$ als topologische Gruppen isomorph, es handelt sich ja um den topologischen Torus $S^1\times S^1$. Auch als reelle Lie-Gruppen sind sie stets diffeomorph. Als komplexe Mannigfaltigkeiten bzw. als komplexe Liegruppen sind aber $ℂ/{\Gamma }_1$ und $ℂ/{\Gamma }_2$ in aller Regel verschieden. Dies bedeutet, dass die eine topologische Gruppe $S^1\times S^1$ unterschiedliche komplexe Strukturen besitzt.

Definition

Zwei Gitter  ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2\subset ℂ$  heißen streckungsäquivalent, wenn es eine komplexe Zahl  $s\in ℂ$  mit  ${\Gamma }_2=s{\Gamma }_1$  gibt.

Dabei ist natürlich  $s\ne 0$,  die Streckungsäquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Wenn das eine Gitter ${\Gamma }_1$ durch die reelle Basis $u_1,u_2$ und das andere Gitter ${\Gamma }_2$ durch $v_1,v_2$ gegeben ist, so kann man durch Multiplikation mit

$s=\frac{v_1}{u_1}$

ein zu ${\Gamma }_1$ streckungsäquivalentes Gitter

$s{\Gamma }_1=⟨v_1,\frac{v_1{u}_2}{u_1}⟩$

finden, das mit ${\Gamma }_2$ im ersten Erzeuger übereinstimmt. Damit sind die Streckungsmöglichkeiten aufgebraucht. Allerdings kann man aus

$\frac{v_1{u}_2}{u_1}\ne v_2$

nicht schließen, dass ${\Gamma }_1$ und ${\Gamma }_2$ nicht zueinander streckungsäquivalent sind, da es ja um die Gleichheit von Gittern und nicht um die Gleichheit von Gitterbasen geht, d.h. man kann noch mit einer Matrix aus ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$ multiplizieren.

Definition

Unter der oberen Halbebene in $ℂ$ versteht man

$ℍ=\{z\in ℂ\mid \mathrm{Im}\left(z\right)>0\}.$

Lemma

Jedes Gitter in $ℂ$

ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}u$ mit  $u\in ℍ$. 

Beweis

Sei  $\Gamma =\mathbb{Z}{u}_1+\mathbb{Z}{u}_2$.  Da $u_1,u_2$ eine reelle Basis bilden, ist insbesondere  $u_1\ne 0$.  Mit  $s:=u_1^{-1}$  erhält man das streckungsäquivalente Gitter

$s\Gamma =⟨s{u}_1,s{u}_2⟩=⟨u_1^{-1}{u}_1,u_1^{-1}{u}_2⟩=⟨1,u_1^{-1}{u}_2⟩.$

Sei  $v=u_1^{-1}{u}_2$.  Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen $u_1$ und $u_2$ vorliegen würde. Also besitzt $v$ einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir $v$ durch $-v$ und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.

$◻$

Es bleibt noch zu fragen, wann zwei Gitter, die beide durch eine Basis der Form $(1,u)$ bzw. $(1,v)$ mit  $u,v\in ℍ$  gegeben sind, übereinstimmen.

Lemma

Zwei Gitter der Form  ${\Gamma }_1=\mathbb{Z}{\tau }_1+\mathbb{Z}$  und  ${\Gamma }_2=\mathbb{Z}{\tau }_2+\mathbb{Z}$  mit  ${\tau }_1,{\tau }_2\in ℍ$ 

sind genau dann streckungsäquivalent, wenn es ein  $M\in {\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$  mit

${\tau }_2=\frac{a{\tau }_1+b}{c{\tau }_1+d}$

gibt.

Beweis

Die Streckungsbedingung zusammen mit der Basisbeschreibung aus Korollar 8.5 führt auf die Bedingung

$\left(\begin{array}{c}{\tau }_2\\ 1\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\tau }_1\\ 1\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}a{\tau }_1+b\\ c{\tau }_1+d\end{array}\right)$

mit  $s\in {ℂ}^{\times }$  und  $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{GL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$.  Daher muss

$s=\frac{1}{c{\tau }_1+d}$

sein und die Bedingung wird zu

${\tau }_2=\frac{a{\tau }_1+b}{c{\tau }_1+d}.$

Es ist

$\frac{a{\tau }_1+b}{c{\tau }_1+d}=\frac{(a{\tau }_1+b)(c\overline{{\tau }_1}+d)}{(c{\tau }_1+d)(c\overline{{\tau }_1}+d)}.$

Der Nenner ist reell und positiv, der Zähler ist

$\begin{array}{cc}(a{\tau }_1+b)(c\overline{{\tau }_1}+d)& =ac{\tau }_1\overline{{\tau }_1}+bd+ad{\tau }_1+bc\overline{{\tau }_1}\\ & =ac{\tau }_1\overline{{\tau }_1}+bd+(bc\pm 1){\tau }_1+bc\overline{{\tau }_1}\\ & =ac{\tau }_1\overline{{\tau }_1}+bd+bc({\tau }_1+\overline{{\tau }_1})\pm {\tau }_1.\end{array}$

Hierbei sind die drei Summanden links reell. Somit gehört $\frac{a{\tau }_1+b}{c{\tau }_1+d}$ genau dann zu $ℍ$, wenn das Vorzeichen vor ${\tau }_1$ positiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix die Determinante $1$ besitzt.

$◻$

Aufgrund von Lemma 9.6 ist es naheliegend, die folgende Wirkungsweise der Gruppe der speziellen ganzzahligen $2\times 2$-Matrizen auf der oberen Halbebene zu betrachten.

Definition

Die Gruppenoperation der Gruppe ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$ auf der oberen Halbebene $ℍ$ durch

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\tau :=\frac{a\tau +b}{c\tau +d}$

heißt Modulsubstitution.

Es handelt sich also um die Wirkung von speziellen gebrochen-linearen Funktionen auf der oberen Halbebene. Dass das Ergebnis einer solchen Substitution (man spricht auch von einer speziellen Möbiustransformation) wieder in der oberen Halbebene liegt wurde in Lemma 9.6 mitbewiesen. Eine Gruppenoperation liegt aufgrund von Lemma 2.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) vor. Die spezielle lineare Gruppe ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$ nennt man in diesem Zusammenhang auch Modulgruppe. Da die negative Einheitsmatrix $\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ als Modulsubstitution trivial operiert, betrachtet man zumeist die Restklassengruppe ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)/\pm \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ als die Modulgruppe.

Bemerkung  

Die Wirkungsweise der beiden Matrizen  $S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$  und  $T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$,  die nach Satz 9.2 die Gruppe der speziellen ganzzahligen Matrizen erzeugen, bei der Modulsubstitution ist

$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\tau =-{\tau }^{-1}$

und

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\tau =\tau +1.$

Der Fundamentalbereich der Gruppenoperation durch Modulsubstitution ist grau. Im Bild ist nicht erkennbar, inwiefern die Randpunkte dazu gehören oder nicht.

Lemma

Es sei

$\begin{array}{cc}D& =\{z\in ℂ\mid |z|>1\text{ und }|\mathrm{Re}\left(z\right)|<\frac{1}{2}\}\cup \{z\in ℂ\mid |z|\ge 1\text{ und }\mathrm{Re}\left(z\right)=-\frac{1}{2}\}\cup \{z\in ℂ\mid |z|=1\text{ und }-\frac{1}{2}<\mathrm{Re}\left(z\right)\le 0\}\\ \end{array}$

Dann ist $D$ ein Fundamentalbereich für die Modulsubstitution auf der oberen Halbebene.

Beweis

Zu  $g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$  und  $\tau =r+s\mathrm{i}$  ist

$\begin{array}{cc}g\tau & =\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\\ & =\frac{(a\tau +b)(\overline{c\tau +d})}{(c\tau +d)(\overline{c\tau +d})}\\ & =\frac{(a(r+s\mathrm{i})+b)(c(r-s\mathrm{i})+d)}{|c\tau +d{|}^2}\\ & =\frac{(ar+b+as\mathrm{i})(cr+d-cs\mathrm{i})}{|c\tau +d{|}^2}\\ & =\frac{(ar+b)(cr+d)+ac{s}^2+(da-bc)s\mathrm{i}}{|c\tau +d{|}^2}\\ & =\frac{(ar+b)(cr+d)+ac{s}^2+s\mathrm{i}}{|c\tau +d{|}^2}.\end{array}$

Dies bedeutet, dass zwischen den Imaginärteilen von $\tau$ und von $g\tau$ die Beziehung

$\mathrm{Im}\left(g\tau \right)=\frac{\mathrm{Im}\left(\tau \right)}{|c\tau +d{|}^2}$

besteht. Für  $\tau \in H$  folgt daraus ferner, dass die Menge $\mathrm{Im}\left(g\tau \right)$, $g\in {\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$, ein Maximum besitzt. Es sei $g$ entsprechend gewählt. Wir wählen ferner  $n\in \mathbb{Z}$  derart, dass der Realteil von

${\tau }^{\prime }=T^{n}g\tau$

zwischen $-\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ liegt, was nach Bemerkung 9.8 möglich ist. Der Betrag von ${\tau }^{\prime }$ ist $\ge 1$, andernfalls würde sich durch  $S{\tau }^{\prime }=-\frac{1}{{\tau }^{\prime }}$  ein Widerspruch zur Wahl von $g$ ergeben. Somit gelangt man in den Abschluss von $D$. Sei  $\tau \in \bar{D}$.  Wenn der Realteil von $\tau$ gleich $\frac{1}{2}$ ist, so kann man durch Anwendung von $T^{-1}$ erreichen, dass  $T^{-1}\tau \in D$  ist. Die Elemente auf dem rechten Kreisteilbogen kann man durch eine Anwendung von $S$ auf den linken Kreisteilbogen schicken. Daher wird jedes Element von $H$ durch ein Element aus $D$ repräsentiert.

Es ist noch zeigen, dass dieses Element eindeutig ist. Nach Lemma 9.6 genügt es zu zeigen, dass für  $\tau \in D$  und  $g\ne \pm \mathrm{Id}$  das Element  $g\tau \notin D$  liegt. Es sei also  $\tau =r+s\mathrm{i}\in D$  und

$g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right).$

Wir nehmen an, dass  $g\tau \in D$  gehört und müssen zeigen, dass $g$ die Identität oder das Negative der Identität ist. Da die Rollen von $\tau$ und $g\tau$ vertauscht werden können, können wir annehmen, dass

$\mathrm{Im}\left(g\tau \right)\ge \mathrm{Im}\left(\tau \right)$

gilt. Wie oben gezeigt gilt für den Imaginärteil

$\mathrm{Im}\left(g\tau \right)=\frac{\mathrm{Im}\left(\tau \right)}{|c\tau +d{|}^2}\ge \mathrm{Im}\left(\tau \right),$

also ist

$|c\tau +d{|}^2={(cr+d)}^2+c^2{s}^2\le 1.$

Aus  $s\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$  folgt  $|c|\le 1$.  Es sei zunächst  $c=0$.  Dann ist  $d=a=\pm 1$,  wobei wir direkt $=1$ annehmen können, und es liegt eine Scherung vor, die wegen des Realteiles trivial sein muss. Es sei also  $c=\pm 1$,  wobei wir durch Multiplikation mit $-\mathrm{Id}$ annehmen können, dass  $c=1$  ist. Aus  $|\tau +d|\le 1$  und  $\tau \in D$  folgt  $d=0$.  Die Determinante ergibt  $b=-1$.  Dann ist  $g\tau =\frac{a\tau -1}{\tau }=a-{\tau }^{-1}$.  Der Imaginärteil dieser Zahl ist  $\frac{s}{r^2+s^2}\le s$,  also muss $\tau$ ein Punkt der Sphäre und  $a=0$  sein. Von $\tau$ und $-{\tau }^{-1}$ liegt aber genau ein Element auf dem fixierten Kreissegment.

$◻$

Korollar

Jedes Gitter in $ℂ$

ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ mit einem eindeutig bestimmten  $\tau \in D$,  wobei $D$ den Fundamentalbereich zur Modulsubstitution bezeichnet.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 9.5, Lemma 9.6 und Lemma 9.9.

$◻$

Lemma

Es seien  ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2\subset ℂ$  streckungsäquivalente Gitter.

Dann sind $ℂ/{\Gamma }_1$ und $ℂ/{\Gamma }_2$ als komplexe Lie-Gruppen isomorph.

Beweis

Es seien ${\Gamma }_1$ und ${\Gamma }_2$ streckungsäquivalent mit

${\Gamma }_2=s{\Gamma }_1$

mit  $s\in ℂ$.  Wir betrachten die Multiplikation mit $s$ als lineare Abbildung

$s:ℂ⟶ℂ.$

Dieser Gruppenisomorphismus führt ${\Gamma }_1$ in ${\Gamma }_2$ über. Somit ist ${\Gamma }_1$ der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus

$ℂ\stackrel{s}{⟶}ℂ\stackrel{{\pi }_2}{⟶}ℂ/{\Gamma }_2.$

Nach Korollar 47.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) induziert dies einen Gruppenisomorphismus

$\phi :ℂ/{\Gamma }_1⟶ℂ/{\Gamma }_2.$

Dieser ist stetig und auch (wegen der Kompaktheit oder wegen der Symmetrie der Situation) ein Homöomorphismus. Für einen Punkt  $Q\in ℂ$  und eine hinreichend kleine Ballumgebung  $Q\in U(Q,ϵ)=V$,  die ${\Gamma }_1$ nur einfach trifft, ist

$V⟶{\pi }_1(V)$

eine komplexe Karte für $ℂ/{\Gamma }_1$. Dann kommutiert das Diagramm

$\begin{array}{cccc}V& \stackrel{s}{⟶}& sV& \\ {\pi }_1\downarrow & & \downarrow {\pi }_2& \\ {\pi }_1(V)& \stackrel{\phi }{⟶}& {\pi }_2(sV)& \end{array}$

und $sV$ ist eine komplexe Karte für $ℂ/{\Gamma }_2$. Somit ist $\phi$ mit den komplexen Strukturen verträglich, also holomorph.

$◻$

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