Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/25/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 10 4 2 1 2 3 3 4 3 10 2 2 3 1 3 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Basis im .
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Eine Folge in einer Menge .
  4. Der Polynomring über einem Körper (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
  5. Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
  6. Ein Laplace-Raum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
  2. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  3. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle

beschriebene Relation auf der Menge reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch ist.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei und die kanonischen Abbildungen in die Restklassenringe bzw. . Wir betrachten die Abbildung

  1. Berechne .
  2. Finde ein Urbild von und eines von .
  3. Zeige, dass surjektiv ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper . Es gelte

für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?


Aufgabe * (10 (1+1+5+2+1) Punkte)

Es sei die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge oder besitzt (Periodenlänge bedeutet Dezimalbruch).

  1. Gehört zu ?
  2. Gehört zu ?
  3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch an, ob er zu gehört oder nicht?
  4. Ist mit der Addition eine Untergruppe von ?
  5. Ist mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

derart an, dass eine Nullfolge ist, dass aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die quadratische Gleichung über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei (zumindest) sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien verschiedene Primzahlen und ihr Produkt. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum mit der Laplace-Dichte. Es sei das Ereignis, das eine Zahl aus ein Vielfaches von ist. Zeige, dass die vollständig unabhängig sind.