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Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/25/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 10 4 2 1 2 3 3 4 3 10 2 2 3 1 3 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Basis im .
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Eine Folge in einer Menge .
  4. Der Polynomring über einem Körper (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
  5. Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
  6. Ein Laplace-Raum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Restklassenkörper von .
  2. Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
  3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle

beschriebene Relation auf der Menge reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch ist.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei und die kanonischen Abbildungen in die Restklassenringe bzw. . Wir betrachten die Abbildung

  1. Berechne .
  2. Finde ein Urbild von und eines von .
  3. Zeige, dass surjektiv ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper . Es gelte

für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?


Aufgabe * (10 (1+1+5+2+1) Punkte)

Es sei die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge oder besitzt (Periodenlänge bedeutet Dezimalbruch).

  1. Gehört zu ?
  2. Gehört zu ?
  3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch an, ob er zu gehört oder nicht?
  4. Ist mit der Addition eine Untergruppe von ?
  5. Ist mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

derart an, dass eine Nullfolge ist, dass aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die quadratische Gleichung über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei (zumindest) sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien verschiedene Primzahlen und ihr Produkt. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum mit der Laplace-Dichte. Es sei das Ereignis, das eine Zahl aus ein Vielfaches von ist. Zeige, dass die vollständig unabhängig sind.