Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/26/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	4	0	2	0	0	1	0	3	0	0	0	0	4	20

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Lösung Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Lösung Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ , das aus den beiden Gleichungen
${}{\frac {3}{7}}x+{\frac {4}{9}}y-{\frac {3}{15}}z={\frac {1}{35}}\,$

und

${}-{\frac {5}{3}}x+{\frac {1}{4}}y-{\frac {6}{7}}z={\frac {11}{10}}\,$

besteht. Bestimme ein lineares Gleichungssystem, das zu diesem System äquivalent ist und zusätzlich die Eigenschaft besitzt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.
Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Lösung

Ein Hauptnenner für alle Brüche, die in dem System vorkommen, ist
${}4\cdot 9\cdot 5\cdot 7=1260\,.$

Wir multiplizieren beide Gleichungen mit ${}1260$ und erhalten das äquivalente System

${}540x+560y-252z=36\,$

und

${}-2100x+315y-1080z=1386\,$

mit ganzzahligen Koeffizienten.
Es seien
${}c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

mit ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$ , ${}b_{i}\neq 0$ , sämtliche Koeffizienten (einschließlich der inhomogenen Seite), die in mindestens einer Gleichung des linearen Gleichungssystems vorkommen. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Es sei ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches all dieser Nenner ${}b_{i}$ . Wir multiplizieren alle Gleichungen des Systems mit ${}b$ . Dadurch entsteht ein äquivalentes Gleichungssystem, wobei alle Koeffizienten ganzzahlig werden.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix von

{\begin{pmatrix}3{\frac {1}{4}}&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2{\frac {2}{7}}&0\\0&0&0&{\frac {3}{11}}\end{pmatrix}},

die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.

Lösung

Die inverse Matrix ist

{\begin{pmatrix}{\frac {4}{13}}&0&0&0\\0&5&0&0\\0&0&{\frac {7}{16}}&0\\0&0&0&3{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Welche Dezimalbruchfolgen der Form ${}0,z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots$ mit ${}z_{i}\in \{0,\ldots ,9\}$ sind Nullfolgen in ${}\mathbb {R}$ ? Welche in ${}\mathbb {Q}$ ?

Lösung

Es handelt sich (sowohl bei ${}\mathbb {Q}$ als auch bei ${}\mathbb {R}$ ) nur dann um eine Nullfolge, wenn alle Folgenglieder (und damit alle Ziffern) gleich ${}0$ sind, da in jedem anderen Fall alle Folgenglieder ab einem ${}n_{0}$ größergleich einer positiven Zahl sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es seien ${}a,b$ positive reelle Zahlen und ${}m,n\in \mathbb {N}$ . Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.

Es ist
${}{\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{mn}]{b}}\,.$
Es ist
${}{\sqrt[{m}]{ab}}={\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\,.$
Es ist
${}{\sqrt[{m}]{b^{-1}}}={\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{-1}\,.$

Lösung

Wegen der Eindeutigkeit der Wurzeln stimmen zwei positive reellen Zahlen überein, sobald eine gewisse Potenz davon übereinstimmt. Damit kann man die Aussagen auf die Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten zurückführen.

Es ist unter Verwendung von Fakt ***** (4)
${}{\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{mn}={\left({\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{m}\right)}^{n}={\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n}=b\,,$

was auch herauskommt, wenn man von der rechten Seite die ${}mn$ -te Potenz nimmt.
Nach Fakt ***** (5) ist
${}{\left({\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}={\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)}^{m}{\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}=ab\,,$

was auch links herauskommt.
Dies folgt aus Teil (2) mit ${}a=b^{-1}$ .