Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T3/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	${}\sum$
Punkte	3	3	5	1	2	2	3	4	3	3	2	3	5	3	4	3	3	2	2	3	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür ${}1,30$ €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür ${}1,60$ €. Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro.

Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind?
Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind?

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix von

{\begin{pmatrix}3{\frac {1}{4}}&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2{\frac {2}{7}}&0\\0&0&0&{\frac {3}{11}}\end{pmatrix}},

die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$ - Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$ -Matrix und es seien

K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

Aufgabe * (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil ${}x\rightarrow y$ bedeutet, dass ${}x$ von ${}y$ gefressen wird.

Was frisst ein Polarbear?
Von wem wird ein Capelin gefressen?
Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette?
Ist die Relation transitiv?
Ist die Relation antisymmetrisch?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M=\{a,b\}$ eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ , die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

{}x\sim y\,,

wenn

{}f(x)=f(y)\,,

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die auf ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ durch

(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {55}}$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$ .

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Vergleiche

{\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\,\,{\text{  und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$ .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die ${}17.$ Nachkommastelle in der (kanonischen) Dezimalentwicklung eine ${}0$ ist. Welche Eigenschaften eines Ideals erfüllt diese Menge, welche nicht?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Setze in das Polynom ${}-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ein.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Division mit Rest „ ${}P$ durch ${}T$ “ für die beiden Polynome ${}P=X^{3}+4X^{2}+3X+4$ und ${}T=3X^{2}+2X+1$ durch.