Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 7

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Partnerarbeit: Denken Sie sich ein (kreatives, fieses, kontraintuitives, verrücktes) Modell für die Dedekind-Peano-Axiome aus und lassen Sie Ihren Partner darin zählen. Sie dürfen eine Startzahl vorgeben. Dann umgekehrt.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Um Frau Maier-Sengupta und die gesamte Klasse verrückt zu machen, und um ihren persönlichen Charakter zu unterstreichen, entscheiden sich Gabi, Heinz, Lucy und Mustafa, in jeweils eigenen Zählsystemen zu zählen und Mengenangaben grundsätzlich in ihren individuellen Systemen anzugeben. Alle belassen es bei der als Startsymbol, ansonsten zählen sie folgendermaßen:

Gabi zählt mit den Primzahlen, also .

Heinz zählt ohne Schnappszahlen, überspringt also alle mehrstelligen Zahlen, in denen nur eine Ziffer vorkommt.

Lucy zählt einfach negativ, also .

Mustafa zählt mit den Zehnerpotenzen, also .

Frau Maier-Sengupta fragt die Kinder, wie viele Muscheln sie jeweils vom Schullandheim auf Juist mitgebracht haben. Die Kinder antworten wahrheitsgemäß, allerdings in ihren jeweiligen Systemen,


Ist die Abbildung injektiv?

Wie sieht diese Wertetabelle aus, wenn sie vollständig in den jeweiligen Systemen (einschließlich des Systems der Lehrerin) ausgedrückt wird? Welche Umrechnungsstrategie ist dabei geschickt?


Aufgabe

Man gebe Beispiele für Mengen mit einem ausgezeichneten Element und einer Abbildung an, die je zwei der Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, aber nicht das dritte.


Aufgabe

Sei die Menge der natürlichen Zahlen und . Zeige, dass die Menge

ebenfalls die Dedekind-Peano-Axiome (mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung?) erfüllt.


Aufgabe

Es sei eine unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass ebenfalls die Dedekind-Peano-Axiome (mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung?) erfüllt.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge

mit als Startsymbol und wobei die übliche Nachfolgerabbildung durch

ergänzt wird. Welche der Dedekind-Peano-Axiome erfüllt diese Menge, welche nicht?


Aufgabe

NachfolgermitSchleife.png

Es sei und es sei die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung. An welcher Stelle bricht der Beweis von Satz 7.2 in dieser Situation zusammen?


Aufgabe

Es sei die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung und . An welcher Stelle bricht der Beweis von Satz 7.2 in dieser Situation zusammen?


Aufgabe

Es sei ein Modell für die natürlichen Zahlen und es sei die Menge der Wochentage mit dem Montag als Starttag und dem Nachfolgetag als Nachfolgerabbildung.

  1. Zeige, dass der Beweis zu Satz 7.2 eine wohldefinierte Abbildung

    festlegt, die auf Montag abbildet und die Nachfolgerabbildung respektiert. Ist diese Abbildung surjektiv, ist sie injektiv? Wenn nicht, an welcher Stelle bricht der Beweis zusammen?

  2. Zeige, dass der Beweis zu Satz 7.2 keine wohldefinierte Abbildung

    festlegt, die die Nachfolgerabbildung respektiert und den Montag auf abbildet. An welcher Stelle bricht der Beweis zusammen?


Aufgabe *

Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element , , einen Vorgänger besitzt.


Aufgabe *

Begründe aus den Dedekind-Peano-Axiomen die folgenden Eigenschaften.

  1. Für die Nachfolgerabbildung gilt

    für alle .

  2. Sei fixiert und sei

    die -fache Hintereinanderschaltung der Nachfolgerabbildung. Zeige

    für alle .


Aufgabe

Für sei

Berechne


Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgenden Formeln.


Aufgabe

TriNumbers.svg

Man bringe den Ausdruck aus Aufgabe 7.13 mit den sogenannten Dreieckszahlen in Verbindung.


Aufgabe *

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel


Aufgabe *

Beweise durch Induktion für alle die Formel


Aufgabe *

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.


Aufgabe *

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch teilbar ist.

  1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
  2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.


Aufgabe

Analysiere den Beweis zu Satz 6.10 als Induktionsbeweis.


Die beiden folgenden Aufgaben sind intuitiv klar. Es geht darum, die Endlichkeit durch Angabe einer bijektiven Abbildung zwischen der Menge und einer Menge der Form zu begründen. Für die folgende Aufgabe ist Lemma 6.9 hilfreich.

Aufgabe

Zeige durch Induktion nach , dass jede Teilmenge von endlich ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge und eine Teilmenge. Zeige, dass ebenfalls endlich ist.


Sandklaffmuschel in Hand.JPG

Aufgabe

Die Schüler und Schülerinnen der Klasse 4c machen auf der Insel Juist eine Wattwanderung mit Wattführer Heino. Heino sagt, dass die Sandklaffmuschel, die eingegraben im Sand lebt, besonders schwer zu finden ist und er deshalb an der Stelle immer einen Pfeil in den Sand zeichnet, um sie das nächste Mal wiederzufinden. Die aufmerksamen Schüler und Schülerinnen fallen da natürlich nicht drauf rein und sagen, dass das nicht sein kann, da ja dann immer die Flut kommt und den Pfeil wegwischt. Gabi Hochster hingegen kommt mit dem Einwand, wie er denn dann zum ersten Mal überhaupt die Muschel gefunden hat.

Bringe die Einwände der Klasse mit dem Begriff der vollständigen Induktion in Zusammenhang.


Aufgabe

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei die Aussage, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese Pferde überhaupt die gleiche Farbe.“


Aufgabe

Eine natürliche Zahl heißt besonders, wenn sie eine für sie spezifische, benennbare Eigenschaft erfüllt. Die ist als neutrales Element der Addition und die ist als neutrales Element der Multiplikation besonders. Die ist die erste Primzahl, die ist die kleinste ungerade Primzahl, die ist die erste echte Quadratzahl, die ist die Anzahl der Finger einer Hand, die ist die kleinste aus verschiedenen Faktoren zusammengesetzte Zahl, die ist die Anzahl der Zwerge im Märchen, u.s.w., diese Zahlen sind also alle besonders. Gibt es eine Zahl, die nicht besonders ist?


Aufgabe *

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

  1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
  2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
  3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Für sei

Berechne


Aufgabe (2 Punkte)

Für jedes sei

Berechne


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine reelle Zahl, . Beweise für durch Induktion die Beziehung


Aufgabe (3 Punkte)

Die Städte seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Eine -Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch Längsrillen und Querrillen in () mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer -Schokolade aus genau Teilungsschritten besteht.



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