Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 14

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Oma Müller hat $13581$ Kekse gebacken, die ihr Enkel Mustafa an der Haseigelschule unter den insgesamt $187$ Schülern und Schülerinnen gerecht verteilen soll, den Rest bekommt Frau Maier-Sengupta. Wie viele Kekse bekommt jedes Kind und wie viele Kekse bekommt Frau Maier-Sengupta?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den Rest von $123456789$ bei Division durch $7$.

Aufgabe *

Bestimme den Rest von $123456789$ bei Division durch $8$.

Aufgabe

Bringe die Division mit Rest damit in Verbindung, wie man eine Punktmenge in Blöcke konfigurieren kann.

Aufgabe

Es seien $n,d$ natürliche Zahlen mit $d\ge 1$. Zeige, dass $d$ genau dann ein Teiler von $n$ ist, wenn bei der Division mit Rest von $n$ durch $d$ der Rest gleich $0$ ist.

Aufgabe

Es seien  $q,d,s\in \mathbb{N}$  mit  $d\ge 1$  und  $n=qd+s$.  Zeige, dass der Rest von $n$ bei Division durch $d$ gleich dem Rest von $s$ bei Division durch $d$ ist.

Aufgabe

Bestimme den Rest von $100$ bei Division durch $1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Aufgabe

Bestimme den Rest von $3708175$ bei Division durch $1,10,100$,$1000,10000,100000,1000000,100000000$.

Aufgabe

Es sei $d$ eine positive natürliche Zahl. Es seien $a,b$ natürliche Zahlen und es seien $r$ bzw. $s$ die Reste von $a$ bzw. $b$ bei Division durch $d$. Zeige, dass der Rest von $a+b$ bei Division durch $d$ gleich dem Rest von $r+s$ bei Division durch $d$ ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.

Für die folgenden Aufgaben vergleiche man Aufgabe 14.9 und Beispiel 11.4.

Aufgabe

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $3$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

Aufgabe

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $4$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

Aufgabe

Es sei $d\ge 2$ eine natürliche Zahl. In welcher Beziehung stehen die Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $d$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben, zum kleinen Einsundeins und zum kleinen Einmaleins im $d$-System?

Aufgabe

Es seien $a,d\in \mathbb{N}$, $d\ge 1$. Zeige, dass bei Division mit Rest durch $d$ aller Potenzen von $a$ (also $a^0,a^1,a^2,\dots$) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also  $i<j$  derart, dass sich die Reste von $a^i,a^{i+1},a^{i+2},\dots ,a^{j-2},a^{j-1}$ bei den folgenden Potenzen periodisch (oder „zyklisch“) wiederholen (insbesondere besitzen also $a^i$ und $a^j$ den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei  $a^0=1$  anfangen muss.

Aufgabe

Es seien $a$ und $d$ teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz $a^i$ mit  $i\ge 1$  gibt, deren Rest bei Division durch $d$ gleich $1$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl $n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich $0,2,4,6$ oder $8$ ist.

Aufgabe

Begründe die Eindeutigkeit der Ziffernentwicklung im Zehnersystem mithilfe der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest.

Aufgabe

Zeige, dass eine positive natürliche Zahl genau dann von $10^k$ geteilt wird, wenn sie in der Dezimaldarstellung mit mindestens $k$ Nullen endet.

Aufgabe

Ein Land besitzt Geldscheine der Größe $1$ Taler, $10$ Taler, $100$ Taler, $1000$ Taler, $10000$ Taler. Der Kiosk hat heute die folgenden Scheine in der Kasse: $8137$ Einer, $498$ Zehner, $25$ Hunderter und $3$ Tausender. Der Besitzer geht zur Wechselbank, um den Geldbetrag in möglichst wenige Scheine einzutauschen. Wie viele Scheine hat er danach von jeder Sorte?

Aufgabe

Ein Land besitzt Geldscheine der Größe $1$ Taler, $10$ Taler, $100$ Taler, $1000$ Taler, $10000$ Taler, usw. Zeige, dass für jeden Betrag die minimale Darstellung mit diesen Scheinen eindeutig ist.

Aufgabe *

Eine natürliche Zahl heißt palindromisch, wenn es egal ist, ob man ihre Dezimalentwicklung von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne liest. Bestimme die kleinste Potenz

$1001^n,$

die nicht palindromisch ist.

Aufgabe

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen

$11,111,1111,11111,111111.$

Aufgabe *

Betrachte im Zehnersystem die Zahl

$473.$

Wie sieht diese Zahl im Dualsystem aus?

Aufgabe

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl $300$ die Ziffernentwicklung im Dreiersystem.

Aufgabe

Betrachte im $15$er System mit den Ziffern $0,1,\dots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl

$5E6BB.$

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

Aufgabe *

Wir zählen im Einsilbensystem, also mit den Abweichungen

sechs, sie, ben, acht, ... , sechzehn, siezehn, benzehn, achtzehn, ..., sechsundsiezig, sieundsiezig, benundsiezig, achtundsiezig, .. ., sechsundbenzig, sieundbenzig, benundbenzig, achtundbenzig, ...

1. Drücke die übliche Zahl Siebenundachtzig als Einsilbenzahl aus.
2. Drücke die Einsilbenzahl Sieundachtzig in der üblichen Weise aus.
3. Drücke die Einsilbenzahl Bentausendsiehundertbenundbenzig in der üblichen Weise aus.

Aufgabe

Bestimme für die als Strichfolge gegebene natürliche Zahl

$n=\mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid$

für jede mögliche Basis  $g=2,3,\dots$  die Zifferndarstellung. Ab welchem $g$ ist die Zifferndarstellung einstellig?

Aufgabe

Zeige, dass es für jede natürliche Zahl $n$ nur endlich viele Basen $g=2,3,\dots$ gibt, für die die Zifferndarstellung von $n$ nicht einstellig ist.

Aufgabe

Inwiefern kann man das Strichsystem als Einersystem auffassen, inwiefern nicht?

Aufgabe *

Auf der Haseigelschule wird mit der folgenden Tadelwährung gerechnet. $5$ Ermahnungen sind ein Tagebucheintrag, $3$ Tagebucheinträge sind ein Strafnachmittag, $4$ Strafnachmittage sind ein Elterngespräch. Die Tadelwährung wird in absteigender Tadelschwere angegeben.

1. Im dritten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt (im Zehnersystem) $67$ Einzelermahnungen. Wie lautet das Ergebnis in der Tadelwährung?
2. Im vierten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt $2114$ Einheiten in der Tadelwährung. Wie viele Einzelermahnungen stecken da dahinter?
3. Inwiefern ist die Analogie mit einem Münzsystem oder dem Dezimalsystem mathematisch fragwürdig?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $5$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ (also bei Division durch $4$) den Rest $3$ besitzen.

Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Zu einer natürlichen Zahl $n$ sei $\psi (n)$ gleich der Summe aller Reste, die bei der Division von $n$ durch die Zahlen  $d=1,2,\dots ,n$  auftreten.

1. Berechne $\psi (n)$ für die Zahlen  $n=1,2,\dots ,10$. 
2. Zeige, dass für  $n\ge 7$  stets

   $\psi (n)\ge n$

   gilt.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Ein Land besitzt Geldscheine der Größe $1$ Taler, $10$ Taler, $100$ Taler, $1000$ Taler, $10000$ Taler. Der Kiosk hat heute die folgenden Scheine in der Kasse: $7906$ Einer, $623$ Zehner, $39$ Hunderter und $4$ Tausender. Der Besitzer geht mit dem Betrag zur Wechselbank, um ihn umzutauschen.

1. Zuerst tauscht er den Geldbetrag in möglichst wenige Scheine um. Wie viele Scheine hat er danach von jeder Sorte?
2. Jetzt fällt ihm ein, dass er für morgen auch Wechselgeld braucht, und zwar möchte er mindestens $100$ Einer und mindestens zehn Zehner haben. Ansonsten möchte er so wenig Scheine wie möglich haben. Wie viele Scheine hat er von jeder Sorte nach dem Umtausch?
3. Jetzt kommt er auf die Idee, dass er morgen lieber Urlaub auf der Insel Magma machen möchte. Dort ist die Währung der Gulden, der zum Taler im Verhältnis $1:1$ getauscht wird. Auf Magma gibt es Scheine der Größe $1$ Gulden, $5$ Gulden, $25$ Gulden, $125$ Gulden, $625$ Gulden, $3125$ Gulden. Er möchte so wenig Scheine wie möglich mit sich rumtragen. Wie viele Guldenscheine hat er von jeder Sorte nach dem Umtausch?

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl $626$ die Ziffernentwicklung im Fünfersystem.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die im Vierersystem gegebene Zahl $321002$ die Ziffernentwicklung im Zehnersystem.