Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Lineare Gruppen und Operationen}
Wir besprechen einige Beispiele von typischen Operationen von unendlichen algebraischen Gruppen wie der allgemeinen linearen Gruppe oder der speziellen linearen Gruppe. Ein solches Beispiel \zusatzgs {die Operation auf der Menge der Dreiecke} {} haben wir schon in Beispiel 1.1 und in der fünften Vorlesung besprochen.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Die natürliche Operation der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{}
\mathl{G = \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} besitzt nur zwei
\definitionsverweis {Bahnen}{}{,}
nämlich den Nullpunkt $0$ und
\mathl{V \setminus \{0\}}{.} Je zwei von $0$ verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten.
Ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {einen Vektor} {} {,}
sondern beliebige Teilmengen
\mathl{T \subseteq V}{.} Die Frage, ob zwei Teilmengen
\mathl{T_1,T_2 \subseteq V}{} mittels einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert
\zusatzklammer {die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein} {} {.}
Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl
\mathl{n \in \N}{} und betrachten Punkttupel
\mathdisp {(P_1 , \ldots , P_n) \in V^n} { , }
die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in $V$ vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass
\mathl{P_i=P_j}{} ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus,
und zwar ist die Operation durch
\maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } \times V^n } {V^n
} {(g,v_1,v_2 , \ldots , v_n) } {(g(v_1),g(v_2) , \ldots , g(v_n))
} {,}
gegeben.
Im einfachsten Fall, bei
\mathl{V=K}{,} geht es um die Operation der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$K^{\times}$ auf $K^n$ durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf
\mathl{K^n \setminus \{0\}}{} eingeschränkte Operation besitzt den $n-1$-dimensionalen
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
als Quotienten.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.}
Es sei
\mathl{r \in \N}{}
\zusatzklammer {man denke an \mathlk{r \leq n}{}} {} {}
und wir betrachten die Wirkungsweise von
\mathl{\operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} auf dem $r$-fachen Produkt von $V$ mit sich selbst, bei der ein $r$-Tupel
\mathl{v_1 , \ldots , v_r}{} von $r$ Vektoren aus $V$ auf ein anderes, durch die Matrix
\mathl{g \in \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} bestimmtes $r$-Tupel abgebildet wird. Mit
\mathl{g = \begin{pmatrix} a_{1 1 } & \ldots & a_{1 r } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ r 1 } & \ldots & a_{ r r } \end{pmatrix}}{} interessieren wir uns also für die Abbildung
\maabbeledisp {} {\operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) } \times V^r } { V^r
} {( \begin{pmatrix} a_{1 1 } & \ldots & a_{1 r } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ r 1 } & \ldots & a_{ r r } \end{pmatrix}, v_1,v_2 , \ldots , v_r)} { \left( \sum_{i = 1}^r a_{1i} v_i , \, \sum_{i = 1}^r a_{2i} v_i , \, \ldots , \, \sum_{i = 1}^r a_{ri} v_i \right)
} {.}
Ein Tupel wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen der Einträge abgebildet. Daher ist der von
\mathl{v_1 , \ldots , v_r}{} erzeugte
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
gleich dem vom Bildtupel
\mathl{g(v_1 , \ldots , v_r)}{} erzeugten Untervektorraum. Wenn die
\mathl{v_1 , \ldots , v_r}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen $r$-dimensionalen Untervektorraum
\mathl{U \subseteq V}{} und zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $U$ gibt es stets einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
von $U$, der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von
\mathl{\operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} auf die
\zusatzklammer {offene und dichte} {} {}
Teilmenge
\mathl{T \subseteq V^r}{} einschränkt, die aus allen linear unabhängigen $r$-Tupeln besteht, so entsprechen die
\definitionsverweis {Bahnen der Operation}{}{}
den $r$-dimensionalen Untervektorräumen von $V$, und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Raumes. Die Bahnen der Operation auf ganz $V^r$ sind schwieriger zu charakterisieren.
Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum
\mathl{W=V^r}{} sind die Linearformen
\mathl{f=(f_1 , \ldots , f_r)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(v_1 , \ldots , v_r)
}
{ =} { f_1(v_1) + \cdots + f_r (v_r)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei sind die $f_i$ Linearformen auf $V$, die wir direkt als Linearformen auf $V^r$ über die $i$-te Projektion auffassen. Zu
\mathl{g \in \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} und
\mathl{f= \left( f_1 , \, \ldots , \, f_r \right)}{} ist die verknüpfte Abbildung gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (f g) \left( v_1 , \, \ldots , \, v_r \right)
}
{ =} { f \left( \sum_{i = 1}^r a_{1i} v_i , \, \sum_{i = 1}^r a_{2i} v_i , \, \ldots , \, \sum_{i = 1}^r a_{ri} v_i \right)
}
{ =} { f_1 { \left( \sum_{i = 1}^r a_{1i} v_i \right) } + f_2 { \left( \sum_{i = 1}^r a_{2i} v_i \right) } + \cdots + f_r { \left( \sum_{i = 1}^r a_{ri} v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^r a_{1i} f_1 { \left( v_i \right) } + \sum_{i = 1}^r a_{2i} f_2 { \left( v_i \right) } + \cdots + \sum_{i = 1}^r a_{ri} f_r { \left( v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i,j} a_{ji} f_j { \left( v_i \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sum_{j = 1}^r a_{j1} f_j { \left( v_1 \right) } + \sum_{j = 1}^r a_{j2} f_j { \left( v_2 \right) } + \cdots + \sum_{j = 1}^r a_{jr} f_j { \left( v_r \right) }
}
{ =} { \left( \sum_{j = 1}^r a_{j1} f_j , \, \sum_{j = 1}^r a_{j2} f_j , \, \ldots , \, \sum_{j = 1}^r a_{jr} f_j \right) \left( v_1 , \, \ldots , \, v_r \right)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{fg
}
{ =} { \left( f_1 , \, \ldots , \, f_r \right) g
}
{ =} { \left( \sum_{j = 1}^r a_{j1} f_j , \, \sum_{j = 1}^r a_{j2} f_j , \, \ldots , \, \sum_{j = 1}^r a_{jr} f_j \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es sei nun
\mathl{V=K^n}{,} so dass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum $V^r$ gehört der Polynomring
\mathdisp {K[ X_{ij}\, ,1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq r ]} { . }
Dabei repräsentieren die
\mathbed {X_{ij}} {}
{1 \leq i \leq n} {}
{} {} {} {,}
die Koordinatenfunktionen der $j$-ten Kopie des Vektorraums $K^n$. Die Variable
\mathl{X_{ij}}{} ist die $j$-te Projektion von $V^r$ auf
\mathl{V=K^n}{} gefolgt von der $i$-ten Projektion $p_i$ von $K^n$ auf $K$. Somit ist
\zusatzklammer {es steht $p_i$ an der $j$-ten Stelle} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X_{ij} g
}
{ =} { \left( 0 , \, \ldots , \, p_i , \, 0 , \, \ldots , \, 0 \right) g
}
{ =} { \left( a_{j1} p_i , \, \ldots , \, a_{jr} p_i \right)
}
{ =} { \sum_{k = 1}^r a_{jk} X_{ik}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wenn eine Linearform
\zusatzklammer {also eine Linearkombination aller $X_{ij}$} {} {}
in Matrixform als
\mathdisp {\begin{pmatrix} c_{11 } & c_{1 2} & \ldots & c_{1 r } \\
c_{21 } & c_{2 2} & \ldots & c_{2 r } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{ n 1 } & c_{ n 2 } & \ldots & c_{ n r } \end{pmatrix}} { }
gegeben ist, wobei die
\mathl{c_{ij}}{} die Koeffizienten zu
\mathl{X_{ij}}{} bezeichnen, so erhält man die durch $g$ transformierte Linearform, indem man die Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu $g$ multipliziert, also
\mathdisp {\begin{pmatrix} c'_{11 } & c'_{1 2} & \ldots & c'_{1 r } \\
c'_{21 } & c'_{2 2} & \ldots & c'_{2 r } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c'_{ n 1 } & c'_{ n 2 } & \ldots & c'_{ n r } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11 } & c_{1 2} & \ldots & c_{1 r } \\
c_{21 } & c_{2 2} & \ldots & c_{2 r } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{ n 1 } & c_{ n 2 } & \ldots & c_{ n r } \end{pmatrix} \circ { \begin{pmatrix} a_{1 1 } & \ldots & a_{1 r } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ r 1 } & \ldots & a_{ r r } \end{pmatrix} ^{ \text{tr} } }} { . }
Damit liegt eine Operation der
\mathl{\operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} auf dem Polynomring in $nr$ Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ r } \! { \left( K \right) } \subseteq \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} ein. Dann sind sämtliche
$r$-\definitionsverweis {Minoren}{}{}
der Variablenmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} X_{11 } & X_{1 2} & \ldots & X_{1 r } \\
X_{21 } & X_{2 2} & \ldots & X_{2 r } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ X_{ n 1 } & X_{ n 2 } & \ldots & X_{ n r } \end{pmatrix}} { }
invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die
\definitionsverweis {universelle alternierende Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {V^r} { \bigwedge^r V
} {(v_1 , \ldots , v_r)} { v_1 \wedge \ldots \wedge v_r
} {.}
Diese Abbildung ist nach einer geeigneten Verallgemeinerung von
Korollar 80.7 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011))
invariant unter der Gruppenoperation
\zusatzklammer {dafür braucht man, dass die Determinanten von $g$ gleich $1$ sind} {} {.}
Die $r$-Minoren sind Linearformen auf dem $r$-ten Dachprodukt.
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und einer natürlichen Zahl $r$ nennt man die Menge der
$r$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} die $r$-te
\definitionswort {Graßmann-Varietät}{.}
Sie wird mit
\mathl{G(r,V)}{} und bei
\mathl{V=K^n}{} mit
\mathl{G(r,n)}{} bezeichnet.
}
Nach
Beispiel 29.2
ist
\mathl{G(r,V)}{} der Bahnenraum zur dort beschriebenen Operation der
\mathl{\operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} auf
\mathl{T \subseteq V^r}{,} wobei $T$ aus den linear unabhängigen $r$-Tupeln besteht. Dieses $T$ ist in der Zariski-Topologie eine offene Teilmenge und bei
\mathl{K=\R}{} oder ${\mathbb C}$ auch in der metrischen Topologie offen. Man kann
\mathl{G(r,V)}{} mit der
\definitionsverweis {Quotiententopologie}{}{}
unter der Quotientenabbildung versehen. Im metrischen Fall erhält man sogar eine Mannigfaltigkeitsstruktur auf
\mathl{G(r,V)}{,} man spricht dann von der
\definitionsverweis {Graßmann-Mannigfaltigkeit}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen
\mathdisp {(B,C)} { , }
wobei $B$ eine
\mathl{m \times n}{-}Matrix und $C$ eine
\mathl{n \times k}{-}Matrix ist. Es gibt also insgesamt
\mathl{n (k+m)}{} Koordinaten. Die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{G= \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu
\mathl{A \in \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \cdot (B,C)
}
{ \defeq} { (BA^{-1}, A C)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dass eine Operation vorliegt, folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{A_1 \cdot { \left( A_2 \cdot (B,C) \right) }
}
{ =} { A_1 \cdot { \left( BA_2^{-1},A_2 C \right) }
}
{ =} {((B A_2^{-1}) A_1^{-1}, A_1 (A_2 C))
}
{ =} { (B (A_2^{-1}) A_1^{-1} ) ,(A_1 A_2) C)
}
{ =} { (B (A_1A_2)^{-1},(A_1 A_2) C)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {(A_1 A_2) \cdot (B,C)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen
\mathdisp {X= \begin{pmatrix} X_{11 } & X_{1 2} & \ldots & X_{1 n } \\
X_{21 } & X_{2 2} & \ldots & X_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ X_{ m 1 } & X_{ m 2 } & \ldots & X_{ m n } \end{pmatrix} \text{ und } Y= \begin{pmatrix} Y_{11 } & Y_{1 2} & \ldots & Y_{1 k } \\
Y_{21 } & Y_{2 2} & \ldots & Y_{2 k } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Y_{ n 1 } & Y_{ n 2 } & \ldots & Y_{ n k } \end{pmatrix}} { }
kann man einfach invariante Polynome aus
\mathl{R=K[X,Y]}{} angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix $XY$, also die Ausdrücke der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{ij}
}
{ \defeq} { X_{i1}Y_{1j} + X_{i2}Y_{2j} + \cdots + X_{in}Y_{nj}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung
\maabbeledisp {\psi} {\operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) \times \operatorname{Mat}_{ n \times k } (K) } { \operatorname{Mat}_{ m \times k } (K)
} {(B,C)} { BC
} {,}
welche sich direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi (A \cdot (B,C))
}
{ =} { \psi ( BA^{-1},AC )
}
{ =} { BA^{-1} AC
}
{ =} { BC
}
{ =} { \psi (B,C)
}
}
{}{}{}
ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den
\mathl{F_{ij}}{} erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring
\mathl{K[W] = K[W_{i j},\, 1 \leq i \leq m ,\, 1 \leq j \leq k]}{} heranzieht und die surjektive Abbildung
\maabbeledisp {\pi} {K[W] } { R^G
} {W_{ij}} {F_{ij}
} {,}
betrachtet, so wird der Kern von $\pi$ durch sämtliche
$n+1$-\definitionsverweis {Minoren}{}{}
der Variablenmatrix $W$ erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter \stichwort {Minorenring} {}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Determinantenring} {}} {} {,}
und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.
Wenn beispielsweise
\mathl{n=1}{} ist, so gibt es die Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_m}{} und
\mathl{Y_1 , \ldots , Y_k}{} und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_{ij}
}
{ =} {X_iY_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zwischen den
\mathl{F_{ij}}{} bestehen die Relationen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_{ij} F_{rs}
}
{ =} { X_iY_j X_rY_s
}
{ =} { X_iY_s X_rY_j
}
{ =} { F_{is} F_{rj}
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{ij} F_{rs} - F_{is} F_{rj}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Relationen sind die $2$-Minoren der Matrix
\mathl{(W_{ij})_{ij}}{.} In diesem Fall ist der Invariantenring sogar ein
\definitionsverweis {Monoidring}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Affin-algebraische Gruppen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionswort {affin-algebraische Gruppe}{}
\zusatzklammer {über $K$} {} {}
ist eine Gruppe $G$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left( \operatorname{Spek} { \left( H \right) } \right) } (K)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $H$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{} \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
ist.
}
Eine affin-algebraische Gruppe ist also die Menge der $K$-Punkte eines affinen Gruppenschemas von endlichem Typ. Dazu gehören die endlichen Gruppen, die additive Gruppe
\mathl{(K,+,0)}{,} die multiplikative Gruppe
\mathl{( K^{\times},\cdot,1)}{,} die allgemeine lineare Gruppe, die spezielle lineare Gruppe.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die Gruppe der invertierbaren
\mathl{n\times n}{-}Matrizen. Eine
\definitionsverweis {Zariski-abgeschlossene}{}{}
Untergruppe
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} nennt man eine \definitionswort {lineare Gruppe}{}
\zusatzklammer {oder eine
\definitionswort {linear-algebraische Gruppe}{}} {} {.}
}
Man kann zeigen, dass affin-algebraische Gruppen und lineare Gruppen äquivalente Konzepte sind. Das erste Konzept ist begrifflich stärker, während das zweite Konzept die typischen Beispiele abdeckt. Der Zusammenhang beruht im Wesentlichen auf der Hopf-Interpretation der allgemeinen linearen Gruppe, siehe Beispiel 18.6.
Wir reformulieren
Definition 18.9
für eine affin-algebraische Gruppe.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Gruppe}{}{} $G$ über einem Körper $K$, die durch die kommutative $K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{} $H$ gegeben sei, nennt man eine \definitionsverweis {Operation}{}{} von $G$ auf einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$ \definitionswort {algebraisch}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {regulär}{}} {} {,} wenn sie durch eine \definitionsverweis {Kooperation}{}{} von $H$ auf $R$ gegeben ist.
}
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