Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 30/latex
\setcounter{section}{30}
\zwischenueberschrift{Linear reduktive Gruppen}
In den verbleibenden Vorlesungen möchten wir zeigen, dass die Invariantenringe zu algebraischen Operationen der allgemeinen linearen oder der speziellen linearen Gruppe über ${\mathbb C}$ endlich erzeugt sind. Der Schlüsselbegriff für diese Aussage ist die \stichwort {lineare Reduktivität} {,} der eine Eigenschaft sämtlicher Darstellungen der Gruppe ist. Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist einfach ein Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
} {}
mit einem $K$-Vektorraum $V$. Wenn $G$ eine
\definitionsverweis {affin-algebraische Gruppe}{}{}
über einem fixierten Körper $K$
\zusatzklammer {der häufig als algebraisch abgeschlossen angenommen wird} {} {}
ist, so interessiert man sich vor allem für Darstellungen in Vektorräume über diesem Körper. Ferner soll die Darstellung algebraisch sein. Diese Forderungen kommen in der folgenden Definition zum Ausdruck.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $G$ eine \definitionsverweis {affin-algebraische Gruppe}{}{} über $K$. Unter einer \definitionswortpraemath {K}{ rationalen Darstellung }{} von $G$ versteht man einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} mit einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \zusatzklammer {also eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} von $G$} {} {,} die durch einen $K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebrahomomorphismus}{}{} der \definitionsverweis {Hopf-Algebren}{}{} zu \mathkor {} {G} {bzw.} {\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }} {} induziert wird.
}
Dies ist äquivalent dazu, dass die Operation von $G$ auf $V$, also die Abbildung
\maabbdisp {} {G \times V} {V
} {,}
algebraisch ist, also durch eine
\definitionsverweis {Kooperation}{}{}
der Hopfalgebra $H$
\zusatzklammer {zu $G$} {} {}
auf dem Polynomring
\mathl{K[V]}{} gegeben ist. Man sagt dann auch, dass $G$ auf $V$ $K$-rational operiert.
Für die multiplikative Gruppe
\mathl{K^{\times}}{} ist beispielsweise die Zuordnung
\maabbeledisp {} { K^{\times} = \operatorname{GL}_{ 1 } \! { \left( K \right) } } { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
} {t} {
\begin{pmatrix} t^{a_1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t^{a_2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t^{a_n} \end{pmatrix}
} {,}
mit
\mathl{a_j \in \Z}{} eine $K$-rationale Darstellung, für die additive Gruppe
\mathl{K}{} ist beispielsweise die Zuordnung
\maabbeledisp {} { K } { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( K \right) }
} {t} { \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
} {,}
eine solche.
Zur Formulierung der linearen Reduktivität brauchen wir noch einige weitere Begriffe aus der Darstellungstheorie.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Darstellung}{}{}
\maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
} {}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ heißt
\definitionswort {irreduzibel}{,}
wenn
\mathl{V \neq 0}{} ist und wenn die einzigen
$G$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorräume}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {V} {}
sind.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Darstellung}{}{}
\maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
} {}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ heißt
\definitionswort {vollständig reduzibel}{,}
wenn
\mathl{V}{} die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
aus
$G$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorräumen}{}{}
ist, die jeweils
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sind.
}
Zwei Darstellungen
\maabbdisp {\rho_1} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V_1 \right) }
} {}
und
\maabbdisp {\rho_2} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V_2 \right) }
} {}
heißen \stichwort {äquivalent} {,} wenn es eine bijektive
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V_1} {V_2
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho_2
}
{ = }{\varphi \circ \rho_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt
\zusatzklammer {wobei $\varphi$ als Isomorphismus zwischen den allgemeinen linearen Gruppen aufgefasst wird} {} {.}
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionsverweis {affin-algebraische Gruppe}{}{} $G$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {linear reduktiv}{,} wenn jede $K$-\definitionsverweis {rationale Darstellung}{}{} von $G$ \definitionsverweis {vollständig reduzibel}{}{} ist.
}
Wir werden später sehen, dass die allgemeine lineare Gruppe über ${\mathbb C}$ linear reduktiv ist, was auf maßtheoretischen Methoden beruht. Zunächst wenden wir uns endlichen \zusatzklammer {nichtmodularen} {} {} Gruppen und kommutativen Gruppen zu, die ebenfalls linear reduktiv sind.
\zwischenueberschrift{Lineare Reduktivität von endlichen Gruppen}
Wir brauchen zunächst das folgende einfache Lemma.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Gruppenoperation/Kern und Bild/Invariant/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf den beiden
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {linear operiere}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eine
$G$-\definitionsverweis {verträgliche}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist sowohl
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} als auch
\mathl{\operatorname{bild} \varphi}{}
$G$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Verträglichkeit von $\varphi$ mit den Gruppenoperationen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (gv)
}
{ =} { g( \varphi(v))
}
{ =} { g(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gv
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Kern ist invariant. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{\varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist wiederum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (gv)
}
{ =} { g( \varphi(v))
}
{ =} { g(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gv
}
{ \in }{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das Bild ist ebenfalls invariant.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Heinrich Maschke.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Heinrich Maschke (1853-1908)} }
\bildlizenz { Heinrich Maschke.jpg } {} {Hermannthomas} {Commons} {PD} {}
Die folgenden Aussagen heißen \stichwort {Lemma von Maschke} {} bzw. \stichwort {Satz von Maschke} {.}
\inputfaktbeweis
{Endliche Gruppe/Darstellung/Lemma von Maschke/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
kein Vielfaches der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
von $K$ sei. Es sei
\maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
} {}
eine
\definitionsverweis {Darstellung}{}{}
in einen
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und
\mathl{U \subseteq V}{} ein
$G$-\definitionsverweis {invarianter Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen $G$-invarianten Untervektorraum
\mathl{W \subseteq V}{} mit
\mathl{V=U \oplus W}{}\zusatzfussnote {Einen solchen Unterraum nennt man ein $G$-\stichwort {invariantes Komplement} {} von $U$} {.} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund des Basisergänzungssatzes
kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U \oplus W'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
$W'$ schreiben, und man hat eine Projektion
\zusatzklammer {längs $W'$} {} {}
\maabbdisp {\pi} {V} {U
} {}
mit
\mathl{\pi \circ \iota =
\operatorname{Id}_{ U }}{,} wobei $\iota$ die Einbettung
\mathl{U \subseteq W}{} bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung
\zusatzklammer {mit
\mathl{n= \operatorname {ord} { { \left( G \right) } }}{;} dies ist eine Einheit in $K$} {} {}
\maabbeledisp {\psi} {V} {V
} {v} {{ \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} g^{-1}( \pi ( g(v)))
} {.}
Für
\mathl{u \in U}{} ist
\zusatzklammer {wegen \mathlk{g(u) \in U}{} und da $\pi$ auf $U$ die Identität ist} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\psi(u)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} g^{-1}( \pi ( g(u)))
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} g^{-1}( g(u))
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} u
}
{ =} {u
}
}
{}
{}{}
und das Bild von $\psi$ ist gleich $U$, d.h. $\psi$ ist ebenfalls eine Projektion auf $U$. Allerdings ist diese Projektion zusätzlich
$G$-\definitionsverweis {verträglich}{}{.}
Für
\mathl{h \in G}{} ist nämlich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \psi (hv)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} g^{-1}( \pi ( g(hv )))
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{f \in G} (hf^{-1}) ( \pi ( f(v )))
}
{ =} {h { \left( { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{f \in G} f^{-1} ( \pi ( f(v ))) \right) }
}
{ =} { h { \left( \psi (v) \right) }
}
}
{}
{}{.}
Wir setzen nun
\mathl{W \defeq \operatorname{kern} \psi}{.} Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist $W$
nach Lemma 30.5
ebenfalls $G$-invariant, und es ist offenbar
\mathl{V= U \oplus W}{.}
\inputfaktbeweis
{Endliche Gruppe/Darstellung/Satz von Maschke/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{} kein Vielfaches der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} von $K$ sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $G$
\definitionsverweis {linear reduktiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
} {}
eine
\definitionsverweis {Darstellung}{}{}
von $G$. Wir müssen zeigen, dass die Darstellung
\definitionsverweis {vollständig reduzibel}{}{}
ist, also eine direkte Summe aus
\definitionsverweis {irreduziblen Darstellungen}{}{}
ist.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$. Bei
\mathl{\dim_{ K } { \left( V \right) }=0,1}{} ist nichts zu zeigen. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, so sind wir ebenfalls fertig. Andernfalls gibt es einen echten
$G$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subset V}{.} Dieser hat
nach Lemma 30.6
ein $G$-invariantes Komplement
\mathl{W \subseteq V}{.} Nach Induktionsvoraussetzung besitzen
\mathkor {} {U} {und} {W} {}
eine direkte Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Dies überträgt sich auf $V$.
\zwischenueberschrift{Darstellungstheorie kommutativer Gruppen}
Kommutative besitzen eine einfachere Darstellungstheorie, da nur eindimensionale Darstellungen irreduzibel sind. Dies ergibt sich aus dem sogenannten \stichwort {Lemma von Schur} {} \zusatzklammer {der nächsten Aussage} {} {.} Die Konsequenzen für die kommutativen affin-algebraischen Gruppen \zusatzklammer {beispielsweise die multiplikative und die additive Gruppe} {} {} sind aber unterschiedlich.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Schur.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Issai Schur (1875-1941)} }
\bildlizenz { Schur.jpg } {} {Sodin} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}
\inputfaktbeweis
{Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Lemma von Schur/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und seien $V_1,V_2$ zwei
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
mit zwei gegebenen
\definitionsverweis {irreduziblen Darstellungen}{}{}
\maabb {\rho_1} { G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V_1 \right) }
} {}
und \maabb {\rho_2} { G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V_2 \right) }
} {.}
Es sei
\maabb {\varphi} {V_1} {V_2
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma_2 \circ \varphi
}
{ =} { \varphi \circ \sigma_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{\sigma \in G}{,} wobei
\mathl{\sigma_i}{} den zu $\sigma$ gehörenden Automorphismus auf $V_i$ bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{\varphi=0}{} oder aber $\varphi$ definiert eine
\definitionsverweis {Äquivalenz}{}{}
der beiden Darstellungen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass $\varphi$ ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 30.5
ist $U$
$G$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}
Wegen der Irreduzibilität von $\rho_1$ ist
\mathkor {} {U=0} {oder} {U=V_1} {,} wobei die zweite Möglichkeit wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} ausscheidet. Also ist der Kern trivial und damit ist
nach Lemma 11.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016))
$\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
Es sei jetzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \defeq }{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 30.5
ist $W$ ebenfalls $G$-invariant. Der Fall
\mathl{W=0}{} ist wegen
\mathl{\varphi\neq 0}{} ausgeschlossen, also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wegen der Irreduzibilität von $\rho_2$ und somit ist $\varphi$ auch
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Gleicher Raum/Lemma von Schur/Homothetie/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,}
$G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabb {\rho} { G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
} {}
eine
\definitionsverweis {irreduzible Darstellung}{}{}
und es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma \circ \varphi
}
{ =} { \varphi \circ \sigma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{\sigma \in G}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ eine
\definitionsverweis {Streckung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der Voraussetzung an $K$ besitzt $\varphi$
einen
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$\lambda$. Wir betrachten
\mathl{\varphi-\lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{.} Da eine Streckung mit jedem Endomorphismus vertauscht, gilt für
\mathl{\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{} ebenfalls die Voraussetzung. Nach
Lemma 30.8
ist also
\mathl{\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{} ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
oder gleich $0$. Da es einen nichttrivialen Kern
\zusatzklammer {nämlich den
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zu $\lambda$} {} {}
besitzt, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, also ist $\varphi$ ein skalares Vielfaches der Identität.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Gruppe/Irreduzible Darstellung/Eindimensional/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und $G$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist jede
\definitionsverweis {irreduzible Darstellung}{}{}
von $G$ in einen
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
eindimensional.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
} {}
eine
\definitionsverweis {irreduzible Darstellung}{}{.}
Wegen der Kommutativität von $G$ gilt für die zu
\mathl{\sigma, \tau \in G}{} gehörenden linearen Abbildungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sigma \circ \tau
}
{ =} { \tau \circ \sigma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
Korollar 30.9,
angewandt für festes $\tau$ und alle $\sigma$, folgt, dass $\tau$ eine
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum
\definitionsverweis {invariant}{}{,}
sodass in diesem Fall jeder Untervektorraum
$G$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität $V$ eindimensional sein.
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