Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Die alternierende Gruppe}
Wir haben gesehen, dass der Invariantenring zur Operation der symmetrischen Gruppe $S_n$ auf dem Polynomring isomorph zum Polynomring in den elementarsymmetrischen Polynomen ist. Eine wichtige Untergruppe der symmetrischen Gruppe ist die alternierende Gruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_n
}
{ \subseteq }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
an deren Definition wir erinnern.
\inputdefinition
{}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_n
}
{ \defeq} {{ \left\{ \sigma \in S_n \mid \operatorname{sgn}(\sigma) = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {geraden Permutationen}{}{}
die \definitionswort {alternierende Gruppe}{.}
}
Die alternierende Gruppe ist der Kern des
\definitionsverweis {Signumshomomorphismus}{}{}
und damit ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
Die $A_n$ operiert wie die $S_n$ auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Wir interessieren uns für den
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]^{A_n}}{.}
Nach Proposition 5.1 (1)
haben wir die Inklusionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[E_1 , \ldots , E_n]
}
{ \cong} { K[X_1 , \ldots , X_n]^{S_n}
}
{ \subseteq} { K[X_1 , \ldots , X_n]^{A_n}
}
{ \subseteq} { K[X_1 , \ldots ,X_n]
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zur Beschreibung des Invariantenringes unter der alternierenden Gruppe ist der Begriff der relativen Invarianten bezüglich eines Charakters sinnvoll.
\zwischenueberschrift{Relative Invarianten}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $R$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
auf der eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ als Gruppe von
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\chi} {G} { K^{\times}
} {}
ein
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
auf $G$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^G_\chi
}
{ \defeq} { { \left\{ f\in R \mid f \sigma = \chi(\sigma) \cdot f \text{ für alle } \sigma \in G \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswortpraemath {\chi}{ relativen Invarianten }{}
oder
\definitionswort {Semiinvarianten}{}
bezüglich $\chi$.
}
Der Invariantenring ist also die Menge der Invarianten relativ zum trivialen Charakter. Die $\chi$-relativen Invarianten sind ein $R^G$-Untermodul von $R$. Wenn nämlich $g$ invariant und $f$ $\chi$-invariant ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (gf) \sigma
}
{ =} { (g) \sigma \cdot (f) \sigma
}
{ =} {g \chi (\sigma) f
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Der Invariantenring zur alternierenden Gruppe}
\inputfaktbeweis
{Permutationsgruppe/Operation auf Polynomring/Ungerade Invarianten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die natürliche Operation der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_n$ auf dem $K^n$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X_1 , \ldots , X_n]^{S_n}_{ \operatorname{sgn} }
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n]^{S_n} \cdot \triangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ = }{ \prod_{j < i}(X_i-X_j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Vandermondesche Determinante}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Das Polynom $\triangle$ hat offenbar die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer
\definitionsverweis {Transposition}{}{} das Vorzeichen um $-1$ ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn
\mathkor {} {i} {und} {i+1} {} miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor
\mathl{X_{i+1}-X_i}{} der Faktor
\mathl{X_i-X_{i+1}}{} und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird $\triangle$ auf $- \triangle$ abgebildet.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom $F$ ein Vielfaches von $\triangle$ ist. Der andere Faktor ist dann automatisch invariant.
Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der
\definitionsverweis {Faktorialität}{}{}
von
\mathl{K[V]}{} zu zeigen, dass
\mathl{X_i-X_j}{} ein Teiler von $F$ ist
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ i
}
{ \neq }{ j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Wir schreiben $F$ in den neuen Variablen
\mathl{X_k, k\neq i,j, X_i+X_j, X_i-X_j}{} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {\sum_{n = 0}^m G_n { \left( X_k, X_i+X_j \right) } { \left( X_i-X_j \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist einerseits
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ F(X_i\mapsto X_j)
}
{ =} { \sum_{n = 0}^m (-1)^nG_n { \left( X_k, X_i+X_j \right) } { \left( X_i-X_j \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und anderseits
\zusatzklammer {da $F$ signumsinvariant ist} {} {}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ F(X_i\mapsto X_j)
}
{ =} { -F
}
{ =} { - \sum_{n = 0}^m G_n { \left( X_k, X_i+X_j \right) } { \left( X_i-X_j \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{char} (K )
}
{ \neq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass für $n$ gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss. Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ H { \left( X_i-X_j \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wie behauptet.}
{}
Noch einmal explizit: Es geht um die Polynome, die relativ zur Signumsabbildung invariant sind, für die also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F\sigma
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\sigma) F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle Permutationen gilt. Für eine gerade Permutation $\sigma$ muss also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F \sigma
}
{ =} {F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein, für eine ungerade Permutation dagegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F \sigma
}
{ =} { -F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere sind solche Polynome invariant unter der alternierenden Gruppe.
\inputfaktbeweis
{Alternierende Gruppe/Polynomring/Invariantenring/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mathl{\operatorname{char} (K ) \neq 2}{.} Die
\definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{}
$A_n$
\definitionsverweis {operiere}{}{}
natürlich auf
\mathl{V=K^n}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[V]^{A_n}
}
{ =} { K[V]^{S_n}\oplus K[V]^{S_n}_{ \operatorname{sgn} }
}
{ =} { K[E_1 , \ldots , E_n] \oplus K[E_1 , \ldots , E_n] \cdot \triangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Gleichheit rechts ergibt sich aus
Satz 1.7
und
Lemma 6.3.
Auf
\mathl{K[V]^{A_n}}{} operiert die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_n/A_n
}
{ = }{ \{1,-1\}
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wie in
Proposition 5.1
beschrieben. Es sei $\tau$ das nichttriviale Element daraus. Dieses wird repräsentiert durch eine beliebige ungerade Permutation, etwa durch eine Transposition. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[V]^{A_n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom, das invariant unter der alternierenden Gruppe ist. Nach
Proposition 5.1 (3) ist $F \tau$ unabhängig von dem gewählten Repräsentanten $\tau$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } (F+ F \tau )+ { \frac{ 1 }{ 2 } } (F-F \tau)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die beiden Summanden symmetrisch bzw. signumsinvariant sind. Dies überprüft man, indem man die
\zusatzklammer {geraden oder ungeraden} {} {}
Permutationen darauf anwendet. Die Summe ist direkt, da der Durchschnitt $0$ ist: Ein Polynom, das sowohl symmetrisch als auch signumsinvariant ist, muss $0$ sein.
\inputbeispiel{}
{
Die natürliche Operation der
\definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_3
}
{ \cong }{ \Z/(3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem $K^3$ wird durch den Zykel
\mathdisp {e_1\longmapsto e_2,\, e_2\longmapsto e_3,\, e_3\longmapsto e_1} { }
erzeugt. Besitzt $K$ dritte
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzeln}{}{,}
so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis mit den Eigenvektoren
\mathdisp {e_1+e_2+e_3,\, e_1+\zeta e_2+\zeta^2e_3,\, e_1+\zeta^2 e_2+\zeta e_3} { . }
Wir führen die neuen Variablen
\mathdisp {U=X+Y+Z,\, V=X+\zeta Y+\zeta^2 Z,\, W=X+\zeta^2 Y+\zeta Z} { }
ein. In dieser Basis ist der erzeugende Automorphismus durch
\mathdisp {U\longmapsto U,\, V\longmapsto \zeta V,\, W\longmapsto\zeta^2W} { }
gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich
\mathdisp {K[U,V^3,VW,W^3]} { . }
Die einzige Relation ist durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^3W^3
}
{ = }{ (VW)^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben.
Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition
\mathl{Y \leftrightarrow Z}{} lässt $U$ unverändert und vertauscht $V$ und $W$. Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass $V^3$ und $W^3$ vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher
\mathdisp {K[U, VW, V^3+W^3]} { . }
Dabei sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{VW
}
{ =} { X^2+Y^2+Z^2+\zeta XY+\zeta^2XY+\zeta XZ+\zeta^2XZ+\zeta YZ+\zeta^2YZ
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V^3
}
{ =} { X^3+Y^3+Z^3+6XYZ+ 3\xi^2 XY^2+ 3\xi X^2Y + 3\xi XZ^2 + 3\xi^2 X^2Z + 3\xi^2 YZ^2 + 3\xi Y^2Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W^3
}
{ =} { X^3+Y^3+Z^3+6XYZ+ 3\xi XY^2+ 3\xi^2 X^2Y + 3\xi^2 XZ^2 + 3\xi X^2Z + 3\xi YZ^2 + 3\xi^2 Y^2Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die
\definitionsverweis {Vandermondesche Determinante}{}{}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\triangle
}
{ =} { (Y-X)(Z-X)(Z-Y)
}
{ =} { XY^2 -X^2Y + X^2Z-XZ^2 +YZ^2- Y^2 Z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 { \left( \xi^2- \xi \right) } } } { \left( V^3-W^3 \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Reynolds-Operator}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$S$. Man sagt, dass $R$ ein
\definitionswort {direkter Summand}{}
von $S$ ist, wenn es einen
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \cong }{R \oplus M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {es liegt also ein
$R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{} vor} {} {.}
}
Diese Eigenschaft ist äquivalent dazu, dass es einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\psi} { S} {R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ \iota
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ R }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Eine stärkere Eigenschaft ist die Existenz eines
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\psi} {S} {R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ \iota
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ R }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $A$ eine von $0$ verschiedene
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Dann ist $K$ ein
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{}
von $A$. Dies beruht darauf, dass man die $1$ zu einer
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $A$ ergänzen kann. Mit dem von den anderen Basiselementen
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{V \subset A}{} ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \cong }{ K \cdot 1 \oplus V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im Allgemeinen muss es aber keinen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {} {A} {K
} {}
geben. Bei einer
\zusatzklammer {nichttrivialen} {} {}
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subset L}{} gibt es keinen Ringhomomorphismus von $L$ nach $K$.
}
Für einen Invariantenring
\mathl{R^G \subseteq R}{} nennt man einen
$R^G$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\rho} {R} {R^G
} {}
mit
\mathl{\rho \circ \iota =
\operatorname{Id}_{ R^G }}{} auch einen \stichwort {Reynolds-Operator} {.} Ein Reynolds-Operator muss im Allgemeinen nicht existieren, er existiert aber unter der folgenden Bedingung.
\inputfaktbeweis
{Endliche Gruppe/Operation auf K-Algebra/Teilerfremd/Reynolds-Operator/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,} die auf einer kommutativen
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$ als Gruppe von
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{} operiere.}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Gruppenordnung}{}{}
sei kein Vielfaches der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} von $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {\rho} {R} {R^G
} {f} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{\sigma \in G} f \sigma
} {,}
ein
\definitionsverweis {Reynolds-Operator}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist
\mathl{R^G \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik ist
\mathl{{ \# \left( G \right) }}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{} in $K$ und damit in $R$, also ist die angegebene Abbildung wohldefiniert. Die Abbildung ist offenbar ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Für
\mathl{g \in R^G}{} und
\mathl{f \in R}{} ist ferner
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \rho ( gf)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{\sigma \in G} (g f) \sigma
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{\sigma \in G} (g \sigma ) ( f \sigma )
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{\sigma \in G} g ( f \sigma )
}
{ =} { g { \left( { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{\sigma \in G} f \sigma \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {g \rho(f)
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
daher liegt ein
$R^G$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} vor. Für
\mathl{g \in \R^G}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho(g)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{\sigma \in G} g \sigma
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{\sigma \in G} g
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } { \left( { \# \left( G \right) } g \right) }
}
{ =} { g
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho \circ \iota
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ R^G }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung, dass die Gruppenordnung zur Charakteristik teilerfremd ist, ist für viele Resultate der Invariantentheorie eine wesentliche Voraussetzung. Der andere Fall, dass die Gruppenordnung ein Vielfaches der Charakteristik ist, bildet ein eigenes Kapitel der Invariantentheorie, und besitzt sogar einen eigenen Namen. Man spricht von \stichwort {modularer Invariantentheorie} {.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und
\mathl{A=K[X,Y]}{.} Auf der
$A$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ =} {A[S,T]/(XS+YT+1)
}
{ =} {K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
operiert die
\definitionsverweis {additive Gruppe}{}{}
\mathl{(K,+)}{,} indem ein
\mathl{\lambda \in K}{} durch
\mathdisp {X \mapsto X,\, Y \mapsto Y,\, S \mapsto S+ \lambda Y,\, T \mapsto T- \lambda X} { }
wirkt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X( S+ \lambda Y) + Y(T- \lambda X)
}
{ =} { XS+YT
}
{ =} { - 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind diese zunächst auf
\mathl{K[X,Y,S,T]}{} definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra Automorphismen. Der Invariantenring ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq} {B^G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
\maabb {} {A} {A_X
} {}
und
\maabb {} {B} {B_X
} {.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B_X
}
{ =} { { \left( K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1) \right) }_X
}
{ \cong} { { \left( A_X [S,T] \right) }/(XS+YT+1)
}
{ \cong} { A_X[T]
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei beim letzten Isomorphismus $S$ auf
\mathl{{ \frac{ -1-YT }{ X } }}{} abgebildet wird. Ebenso ist
\mathl{B_Y \cong A_Y[S]}{.} Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf
\mathl{B_X=A_X[T]}{} ist $A_X$ der Invariantenring. Zu einem
\mathbed {\lambda \in K} {}
{\lambda \neq 0} {}
{} {} {} {,}
wird ein Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {a_0 + a_1 T + \cdots + a_{n-1} T^{n-1} + a_n T^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathdisp {a_0 + a_1( T- \lambda X ) + \cdots + a_{n-1}( T- \lambda X )^{n-1} + a_n ( T- \lambda X )^n} { }
abgebildet. Bei
\mathl{n \geq 1}{} ist der Koeffizient zu
\mathl{T^{n-1}}{}
\mathdisp {a_{n-1} - n \lambda X a_n} { }
und dies ist bei
\mathl{\lambda \neq 0}{} nicht gleich
\mathl{a_{n-1}}{.} Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für
\mathl{A_Y \subseteq A_Y[S] = B_Y}{.}
Es sei nun
\mathl{F \in B}{} invariant. Dann ist $F$ auch als Element in
\mathkor {} {B_X} {bzw. in} {B_Y} {}
invariant und daher ist sowohl
\mathl{F \in A_Y}{} als auch
\mathl{F \in A_X}{.} Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { { \frac{ G }{ X^n } }
}
{ =} { { \frac{ H }{ Y^m } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{GY^m
}
{ =} {HX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aus der
\definitionsverweis {Faktorialität}{}{}
von
\mathl{K[X,Y]}{} ergibt sich, dass $G$ ein Vielfaches von $X^n$ sein muss. Somit gehört $F$ zu $A$. Der Invariantenring ist also $A$. Dieser ist aber kein
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{}
in $B$. Es ist
\mathl{1 \not \in (X,Y)}{} in $A$, aber
\mathl{1 \in (X,Y)}{} in $B$, was unmittelbar aus der definierenden Gleichung
\mathl{XS+YT=-1}{} folgt. Nach
Aufgabe 6.10
kann daher kein direkter Summand vorliegen.
}
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