Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 7/latex
\setcounter{section}{7}
Wir haben schon vereinzelt die Standardgraduierung auf dem Polynomring verwendet. In dieser Vorlesung führen wir graduierte Ringe allgemein ein und erläutern den engen Zusammenhang zwischen Graduierungen und Gruppenoperationen von kommutativen Gruppen.
\zwischenueberschrift{Graduierungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$ heißt
\definitionswortpraemath {D}{ graduiert }{,}
wenn es eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \bigoplus_{d \in D} A_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
$R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{}
$A_d$ gibt derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ A_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_d \cdot A_e
}
{ \subseteq} {A_{d+e}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Eine einfache Überlegung zeigt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \in }{A_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und dass somit $A_0$ eine
$R$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
von $A$ ist. Häufig spricht man einfach von einem $D$-graduierten Ring $A$. Statt $R$ kann man stets $\Z$ oder $A_0$ als Grundring wählen.
\inputbemerkung
{}
{
In einer
$D$-\definitionsverweis {graduierten}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
besitzt jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine eindeutige Darstellung
\mathdisp {a = \sum_{d \in D} a_d \text{ mit } a_d \in A_d} { , }
wobei nur endlich viele der $a_d$ ungleich $0$ sein können. Die $a_d$ heißen dabei die \stichwort {homogenen Komponenten} {} von $a$, die $A_d$ heißen ebenfalls die \stichwort {homogenen Komponenten} {} von $A$
\zusatzklammer {oder $d$-ten Stufen} {} {}
und Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ A_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \stichwort {homogen} {} vom \stichwort {Grad} {} $d$. Die Gruppe $D$ heißt die \stichwort {graduierende Gruppe} {.} Der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist erlaubt.
Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente
\mathkor {} {a \in A_d} {und} {b \in A_e} {}
die Produkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ab
}
{ \in }{ A_{d+e}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{R[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} in $n$ Variablen über $R$. Dieser ist in naheliegender Weise
$\Z$-\definitionsverweis {graduiert}{}{.} Man definiert für ein
\definitionsverweis {Monom}{}{}
\mathl{X_1^{k_1}X_2^{k_2} \cdots X_n^{k_n}}{} den Grad durch
\mathl{k_1+k_2 + \cdots + k_n}{} und setzt $A_d$ als den
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} aller Polynome an, die
$R$-\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{} von Monomen von Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, so dass dadurch eine graduierte $R$-Algebra entsteht. Es ist
\mathl{A_0=R}{} und
\mathl{A_n=0}{} für negativen Grad $n$. Diese Graduierung heißt auch die \stichwort {Standardgraduierung} {} auf dem Polynomring.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{R[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} in $n$ Variablen über $R$. Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach
\mathdisp {\bigoplus_{\nu \in \N^n} R \cdot X^\nu} { . }
Daher ist der Polynomring
$\Z^n$-\definitionsverweis {graduiert}{}{,} wobei die
\mathl{\nu=(\nu_1 , \ldots , \nu_n)}{-}te Stufe einfach aus allen $R$-Vielfachen des Monoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^\nu
}
{ =} {X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} besteht. Die Stufen zu
\mathl{\nu \in \N^n}{} sind also isomorph zu $R$, die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind $0$. Diese Graduierung nennt man die \stichwort {feine Graduierung} {} des Polynomringes.
} Durch einen \zusatzklammer {surjektiven} {} {} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\Z^n} {D } {} kann man aus der feinen Graduierung des Polynomrings wiederum \anfuehrung{gröbere Graduierungen}{} gewinnen. In Beispiel 7.13 wird diese Konstruktion eingesetzt.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{a \in K}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Dann besitzt die
\definitionsverweis {Restklassenalgebra}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{K[X]/(X^n-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
mit der graduierenden Gruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und zwar setzt man
\zusatzklammer {wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_d
}
{ =} { { \left\{ \lambda x^d \mid \lambda \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Jedes Element
\mathl{f \in A}{} kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{n-1}{} besitzt. Daher besitzt jedes $f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den $A_d$. Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^n
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda x^d \cdot \mu x^e
}
{ = }{ \lambda \mu x^{d+e}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und dies ist gleich
\mathl{\lambda \mu a x^{d+e - n}}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d+e
}
{ \geq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und andernfalls gleich
\mathl{\lambda \mu x^{d+e}}{.} So oder so ist es ein Element aus
\mathl{A_{d+e}}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Beliebige Gruppe/Grad 0 Ring/Direkter Summand/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ ein kommutativer
$D$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{A_0 \subseteq A}{} ein
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Stufen $A_d$ sind
$A_0$-\definitionsverweis {Moduln}{}{,}
daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { A_0 \oplus { \left( \bigoplus_{d \in D,\, d \neq 0} A_d \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine direkte Summenzerlegung.
Wir nennen die Stufe $A_0$ auch die \stichwort {neutrale Stufe} {} des graduierten Ringes.
\zwischenueberschrift{Homogene Ideale}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \bigoplus_{d\in D} A_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq A}{} heißt
\definitionswort {homogen}{,}
wenn zu
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} auch die
\definitionsverweis {homogenen Komponenten}{}{}
\mathl{f_d \in {\mathfrak a}}{} sind.
}
Für ein homogenes Ideal liegt die Summenzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { \bigoplus_{d \in D} {\mathfrak a}_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_d
}
{ =} { {\mathfrak a} \cap A_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor.
{Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} $D$-graduiert.}
\faktzusatz {Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }_d
}
{ =} { R_d/ {\mathfrak a}_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 7.9. }
\zwischenueberschrift{Graduierungen und Gruppenoperationen}
Wir kommen nun zu der Beziehung zwischen $D$-Graduierungen und Operationen der Charaktergruppe
\mathl{D^{ \vee }}{.}
\inputfaktbeweis
{Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {D^{ \vee } = \operatorname{Char} \, (D, K ) } { \operatorname{ Aut}_{ K } ^{ } { \left( A \right) }
} {\chi} { (a_d \mapsto \chi(d) a_d )
} {,}
der
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
von $D$ in die
\zusatzklammer {\definitionsverweis {homogene}{}{}} {} {}
$K$-\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von $A$.}
\faktzusatz {Wenn alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind, so ist diese Zuordnung
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Zu jedem Charakter
\maabbdisp {\chi} {D} {K^\times
} {} ist die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_{\chi} { \left( \sum _{d \in D} a_d \right) }
}
{ = }{\sum _{d \in D} \chi(d) \cdot a_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} definierte Abbildung $\varphi_{\chi}$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente
\mathkor {} {a_d \in A_d} {und} {a_e \in A_e} {} aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{\chi} (a_d \cdot a_e)
}
{ =} { \chi(d+e) a_d \cdot a_e
}
{ =} { \chi(d) \cdot \chi(e) a_d \cdot a_e
}
{ =} { \varphi_{\chi} (a_d) \cdot \varphi_{\chi} (a_e)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für
\mathl{a \in A_0}{}
\zusatzklammer {und insbesondere für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist ferner
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_{\chi} (a)
}
{ = }{ \chi(0) a
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
vorliegt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Der triviale
\zusatzklammer {konstante} {} {}
Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere
\mathl{\chi_1, \chi_2 \in \operatorname{Char} \, (D, K )}{} gegeben. Für ein homogenes Element
\mathl{a_d \in A_d}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi_{\chi_1 \cdot \chi_2} (a_d)
}
{ =} { { \left( \chi_1 \cdot \chi_2 \right) } (d) \cdot a_d
}
{ =} { \chi_1 (d) \cdot \chi_2 (d) \cdot a_d
}
{ =} { \chi_1 (d) \cdot \varphi_{\chi_2} ( a_d)
}
{ =} { \varphi_{\chi_1} { \left( \varphi_{\chi_2} ( a_d) \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( \varphi_{\chi_1} \circ \varphi_{\chi_2} \right) } (a_d)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
so dass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_\chi \circ \varphi_{\chi ^{-1} }
}
{ =} {\varphi_{\chi \circ \chi^{-1} }
}
{ =} { \varphi_{1}
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ A }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass jedes $\varphi_\chi$ ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{} und die Gesamtzuordnung ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
ergibt sich unter Verwendung von
Lemma 4.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011))
folgendermaßen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi (d)
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Voraussetzung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_d
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sei also
\mathbed {a \in A_d} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_\chi (a)
}
{ = }{ \chi(d) a
}
{ \neq }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da
\mathl{\chi(d)-1}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_\chi
}
{ \neq }{
\operatorname{Id}_{ A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
Aufgrund dieses Lemmas operiert also die Charaktergruppe zur graduierenden Gruppe auf $A$ als Gruppe von
\zusatzklammer {homogenen} {} {}
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{.}
Der zugehörige Invariantenring zu dieser Operation fällt unter schwachen Bedingungen mit dem Ring der neutralen Stufe der Graduierung zusammen.
\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Invariantenring/Gruppe/Körper/Nichttriviale Charaktere/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Zu jedem
\mathbed {d \in D} {}
{d \neq 0} {}
{} {} {} {,} gebe es einen
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\chi(d)
}
{ \neq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $A_0$ der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
unter der natürlichen Operation der
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ D^{ \vee }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $A$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für ein Element
\mathl{f \in A_0}{} und einen beliebigen
\definitionsverweis {Charakter}{}{} $\chi$ ist offenbar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi_\chi (f)
}
{ =} { \chi(0) f
}
{ =} { f
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
so dass
\mathl{A_0 \subseteq A^G}{} ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements
\mathl{f \in A^G}{} ebenfalls invariant. Es sei
\mathl{f \in A_d \cap A^G}{} und
\mathl{d \neq 0}{.} Aufgrund der Voraussetzung gibt es einen Charakter
\maabbdisp {\chi} {D} {K^\times
} {} mit
\mathl{\chi(d) \neq 1}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi_\chi(f)
}
{ =} { \chi(d) f
}
{ \neq} { f
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
also sind solche Elemente nicht invariant.
{Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine endliche
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, so dass die Charaktergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ D^{ \vee }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $D$ isomorph zu $D$ sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $A_0$ der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
unter der natürlichen Operation der
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
$G$ auf $A$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{Dies folgt direkt aus
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
$p$ und der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} sei durch
\mathl{D= \Z/(p)}{} über
\maabb {} {\Z} { \Z/(p)
} {}
\definitionsverweis {graduiert}{}{.}
Die
\definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{}
ist offenbar
\mathl{K[X^p]}{.} Die
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
zu
\mathl{\Z/(p)}{} ist aber trivial, da es wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-1)^p
}
{ =} {x^p-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
neben der $1$ keine weiteren $p$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in $K$ gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte
\definitionsverweis {Operation}{}{}
trivial und der Invariantenring ist
\mathl{K[X]}{.}
}
Wir besprechen abschließend zwei wichtige Beispiele für Invariantenringe, die die sogenannten $A$- bzw. die $D$-Singularitäten repräsentieren.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
der eine primitive $n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
$\xi$ enthalte. Wir betrachten die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix} \mid \zeta^n=1 \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die zugehörige Operation auf $K^2$ bzw. auf
\mathl{K[U,V]}{.} Es handelt sich um eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
der Ordnung $n$, die von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} { \begin{pmatrix} \xi & 0 \\ 0 & \xi^{-1} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erzeugt wird. Die Operation von $g$ auf
\mathl{K[U,V]}{} ist durch
\mathkor {} {U \mapsto \xi U} {und} {V \mapsto \xi^{-1} V} {}
gegeben. Offenbar sind
\mathdisp {X=U^n,\, Y=V^n,\, Z=UV} { }
\definitionsverweis {invariante Polynome}{}{} unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ XY
}
{ =} {Z^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring
$\Z \times \Z$-\definitionsverweis {graduiert}{}{,}
wobei $U$ den Grad
\mathl{(1,0)}{} und $V$ den Grad
\mathl{(0,1)}{} besitze. Wir betrachten den
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\delta} {\Z^2} { \Z/(n) \defeqr D
} {(a,b)} { a-b
} {,}
und die zugehörige $D$-Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mathl{D^{ \vee }}{} mit der obigen Gruppe $G$, indem wir
\maabbdisp {\chi} {D} {K^\times
} {}
mit
\mathl{\begin{pmatrix} \chi(1) & 0 \\ 0 & \chi(-1) \end{pmatrix}}{} identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von $G$ auf
\mathl{K[U,V]}{} der natürlichen Operation der Charaktergruppe
gemäß Lemma 7.9.
Nach Korollar 7.11
ist der Invariantenring unter der $G$-Operation gleich der neutralen Stufe unter der
$D$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{.}
Der Kern von $\delta$ wird durch
\mathl{(n,0),(0,n),(1,1)}{} erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also
\mathl{K[U^n,V^n,UV]}{.}
}
Im vorstehenden Beispiel haben wir einen surjektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} {K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)} {K[U^n,V^n,UV] = K[U,V]^G
} {.}
Dies ist in der Tat ein Isomorphismus, d.h.
\mathl{XY=Z^n}{} ist die einzige relevante Gleichung. Dies liegt daran, dass das Polynom
\mathl{XY-Z^n}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist und dadurch der Restklassenring
\mathl{K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)}{} ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist. Die Übereinstimmung mit dem Invariantenring folgt nun aus der Dimensionstheorie, die wir aber nicht systematisch entwickeln werden. Jedenfalls ist dieser Restklassenring und der gesuchte Invariantenring zweidimensional, so dass sie übereinstimmen müssen.
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