Kurs:Körper- und Galoistheorie/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	$\sum$
Punkte	3	3	0	3	4	0	2	3	0	3	0	0	0	7	4	4	4	3	2	3	48

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
2. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe $G$.
3. Eine algebraische Zahl  $z\in ℂ$. 
4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
5. Ein vollkommener Körper.
6. Eine auflösbare Gruppe $G$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik $\ne 2$.
2. Der Satz über die Norm und die Spur im Minimalpolynom zu einem Element einer Körpererweiterung.
3. Die Klassengleichung.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $(\mathbb{Q},+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei  $c\ne 0$  fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung

$x\ast y:=\frac{xy}{c}$

ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation $\ast$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien $p,q$ verschiedene Primzahlen und

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{p},\sqrt{q}]=:L$

die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element $a+b\sqrt{p}+c\sqrt{q}+d\sqrt{pq}\in L$ bezüglich der Basis $1,\sqrt{p},\sqrt{q},\sqrt{pq}$.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm

$N:L⟶K,f⟼N(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist $N(fg)=N(f)N(g)$.
2. Für $f\in K$ ist $N(f)=f^n$, wobei $n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist $N(f)=0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass auch  $M\subseteq L$  eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

1. Bestimme die Zerlegung von $X^4-7$ in $ℂ$.
2. Bestimme den Zerfällungskörper $L$ von $X^4-7\in \mathbb{Q}[X]$.
3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq L$. 
4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von $X^4-7$ von der Galoisgruppe herrühren.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper $K_5$ mit der $\mathbb{Q}$-Basis $1,\zeta ,{\zeta }^2,{\zeta }^3$, wobei  $\zeta =e^{2\pi \mathrm{i}/5}$  ist.

1. Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu ${\zeta }^i$, $i=0,1,2,3$, bezüglich dieser Basis.
2. Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe $\mathrm{Gal}(K_5/\mathbb{Q})$ bezüglich dieser Basis.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom ${\Phi }_{12}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien zwei verschiedene Punkte $M,P$ in der Ebene gegeben. Es bezeichne $K$ den Kreis mit Mittelpunkt $M$ durch den Punkt $P$. Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis $K$ durch $P$. Skizziere die Situation.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien  $z,w\in ℂ$  konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl

$z^2-3z\sqrt{w}+\sqrt{z+w^2}-\frac{5}{7}+4\sqrt{\sqrt{z}+w}+\sqrt{11}$

konstruierbar ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den beiden Variablen $U$ und $V$)

$P=\frac{-U^{15}}{(1+V{)}^7{V}^3},$

$Q=\frac{-U^{10}}{(1+V{)}^5{V}^2}$

und

$R=\frac{-U^6}{(1+V{)}^{3}V}$

die Relation

$P^2+Q^3+R^5=0$

erfüllen.