Kurs:Körper- und Galoistheorie/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	4	0	2	3	0	3	0	0	0	7	4	4	4	3	2	3	48

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe ${}G$.
3. Eine algebraische Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.
4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Ein vollkommener Körper.
6. Eine auflösbare Gruppe ${}G$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik ${}\neq 2$.
2. Der Satz über die Norm und die Spur im Minimalpolynom zu einem Element einer Körpererweiterung.
3. Die Klassengleichung.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei ${}c\neq 0$ fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung

${}x*y:={\frac {xy}{c}}\,$

ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation ${}*$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}p,q$ verschiedene Primzahlen und

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=:L\,$

die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element ${}a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\in L$ bezüglich der Basis ${}1,{\sqrt {p}},{\sqrt {q}},{\sqrt {pq}}$.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm

$N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}N(fg)=N(f)N(g)$.
2. Für ${}f\in K$ ist ${}N(f)=f^{n}$, wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist ${}N(f)=0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Zeige, das auch ${}M\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

1. Bestimme die Zerlegung von ${}X^{4}-7$ in ${}{\mathbb {C} }$.
2. Bestimme den Zerfällungskörper ${}L$ von ${}X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]$.
3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$.
4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von ${}X^{4}-7$ von der Galoisgruppe herrühren.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper ${}K_{5}$ mit der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}$, wobei ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ ist.

1. Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu ${}\zeta ^{i}$, ${}i=0,1,2,3$, bezüglich dieser Basis.
2. Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )$ bezüglich dieser Basis.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{12}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien zwei verschiedene Punkte ${}M,P$ in der Ebene gegeben. Es bezeichne ${}K$ den Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ durch den Punkt ${}P$. Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis ${}K$ durch ${}P$. Skizziere die Situation.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl

$z^{2}-3z{\sqrt {w}}+{\sqrt {z+w^{2}}}-{\frac {5}{7}}+4{\sqrt {{\sqrt {z}}+w}}+{\sqrt {11}}$

konstruierbar ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den zwei Variablen ${}U$ und ${}V$)

${}P={\frac {-U^{15}}{(1+V)^{7}V^{3}}}\,,$

${}Q={\frac {-U^{10}}{(1+V)^{5}V^{2}}}\,$

und

${}R={\frac {-U^{6}}{(1+V)^{3}V}}\,$

die Relation

${}P^{2}+Q^{3}+R^{5}=0\,$

erfüllen.