Kurs:Körper- und Galoistheorie/13/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 0 3 4 0 2 3 0 3 0 0 0 7 4 4 4 3 2 3 48



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
  2. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe .
  3. Eine algebraische Zahl .
  4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
  5. Ein vollkommener Körper.
  6. Eine auflösbare Gruppe .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik .
  2. Der Satz über die Norm und die Spur im Minimalpolynom zu einem Element einer Körpererweiterung.
  3. Die Klassengleichung.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei versehen mit der üblichen Addition. Es sei fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung

ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien verschiedene Primzahlen und

die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element bezüglich der Basis .


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist .
  2. Für ist , wobei den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
  3. Es ist genau dann, wenn ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine endliche separable Körpererweiterung und , , ein Zwischenkörper. Zeige, das auch eine separable Körpererweiterung ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Zerlegung von in .
  2. Bestimme den Zerfällungskörper von .
  3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
  4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von von der Galoisgruppe herrühren.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper mit der -Basis , wobei ist.

  1. Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu , , bezüglich dieser Basis.
  2. Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe bezüglich dieser Basis.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien zwei verschiedene Punkte in der Ebene gegeben. Es bezeichne den Kreis mit Mittelpunkt durch den Punkt . Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis durch . Skizziere die Situation.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl

konstruierbar ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den zwei Variablen und )

und

die Relation

erfüllen.