Kurs:Körper- und Galoistheorie/9/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 0 0 6 1 3 3 3 0 7 0 7 0 0 4 1 0 3 44



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine quadratische Körpererweiterung.
  2. Ein Integritätsbereich.
  3. Die formale Ableitung eines Polynoms .
  4. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe .
  5. Eine einfache Körpererweiterung .
  6. Der Fixkörper zu einer Untergruppe der Automorphismengruppe eines Körpers .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Zerlegungssatz für Polynome über einem Körper .
  2. Der Satz über die Charakterisierung von separablen Polynomen.
  3. Der Satz über die Wohldefiniertheit des Transzendenzgrades.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .


Aufgabe * (1 Punkt)

Sei eine Gruppe und sei eine Untergruppe des Zentrums von . Zeige, dass ein Normalteiler in ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe * (3 Punkte)

Das Polynom ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung

vom Grad . Die Restklasse von in sei mit bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus

und

Nullstellen von sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine Primzahl, mit und sei der Körper mit Elementen und der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring zu einem Ideal endlich ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (7 (3+1+3) Punkte)

Es sei die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

  1. Bestimme das Minimalpolynom von .
  2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung gleich ist.
  3. Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht in überführt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz von Artin über Fixkörper.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein irreduzibles Polynom vom Grad an, das in genau zwei reelle Nullstellen hat und dessen Galoisgruppe nicht die ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

eine quadratische Gleichung mit . Zeige, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden

und des Kreises

die Lösungen der quadratischen Gleichung sind.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht möglich ist.