Kurs:Körper- und Galoistheorie/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	$\sum$
Punkte	3	3	0	0	6	1	3	3	3	0	7	0	7	0	0	4	2	2	3	47

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine quadratische Körpererweiterung.
2. Ein Integritätsbereich.
3. Die formale Ableitung eines Polynoms $F\in K[X]$.
4. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe $G$.
5. Eine einfache Körpererweiterung  $K\subseteq L$. 
6. Der Fixkörper zu einer Untergruppe $H$ der Automorphismengruppe eines Körpers $L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Zerlegungssatz für Polynome $F\in K[X]$ über einem Körper $K$.
2. Der Satz über die Charakterisierung von separablen Polynomen.
3. Der Satz über die Wohldefiniertheit des Transzendenzgrades.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen $K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei $G$ eine Gruppe und sei $H\subseteq Z$ eine Untergruppe des Zentrums von $G$. Zeige, dass $H$ ein Normalteiler in $G$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in $\mathbb{Q}[X]/(X^3-7)$ das Inverse von $3x+4$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$).

Aufgabe * (3 Punkte)

Das Polynom  $F=X^3-3X+1\in \mathbb{Q}[X]$  ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[X]/(X^3-3X+1)=:L$

vom Grad $3$. Die Restklasse von $X$ in $L$ sei mit $\alpha$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus $L$

$\beta ={\alpha }^2-2$

und

$\gamma =-{\alpha }^2-\alpha +2$

Nullstellen von $F$ sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl,  $q=p^e$  mit  $e\ge 1$  und sei ${𝔽}_q$ der Körper mit $q$ Elementen und  $R={𝔽}_q[X]$  der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/𝔞$ zu einem Ideal  $𝔞\ne 0$  endlich ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (3+1+3) Punkte)

Es sei  $ϵ=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$  die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[ϵ\sqrt[3]{7}]=L\subseteq ℂ.$

a) Bestimme das Minimalpolynom von $ϵ\sqrt[3]{7}$.

b) Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq L$  gleich $3$ ist.

c) Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht $L$ in $L$ überführt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz von Artin über Fixkörper.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein irreduzibles Polynom $F\in \mathbb{Q}[X]$ vom Grad $4$ an, das in $ℂ$ genau zwei reelle Nullstellen hat und dessen Galoisgruppe nicht die $S_4$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$z^2+pz+q=0$

eine quadratische Gleichung mit  $p,q\in ℝ$.  Zeige, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden

$x+y=-p$

und des Kreises

$x^2+y^2=p^2-2q$

die Lösungen der quadratischen Gleichung sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ist die Zahl $\sqrt[1024]{2}$ konstruierbar?

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht möglich ist.