Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 21/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Untersuche für jede Filtrierung von mit Untergruppen, ob eine auflösende Filtrierung vorliegt oder nicht.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe trivial ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die folgende Aussage heißt Satz von Cayley.
Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass nicht auflösbar ist.
Wir erwähnen, dass die alternierenden Gruppen
, ,
einfach sind
(das ist eine nichttriviale Aussage).
Dies bedeutet, dass die Permutationsgruppen
, ,
nur die alternierende Gruppe als Normalteiler enthalten.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine alternierende Gruppe mit . Zeige, dass nicht kommutativ ist.
Eine Gruppe heißt perfekt, wenn sie gleich ihrer eigenen Kommutatoruntergruppe ist, also wenn gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass perfekt ist.
Nach
Aufgabe 5.12
ist das Zentrum einer Gruppe ein Normalteiler in . Folglich gibt es eine Restklassengruppe , die selbst wiederum ein Zentrum besitzt. Das Urbild dieser Gruppe in wird mit bezeichnet; sie ist wieder ein Normalteiler in , so dass man eine Filtration
von Normalteilern in erhält. Diese Filtration nennt man Zentralreihe.
Eine Gruppe heißt nilpotent, wenn ihre Zentralreihe bei endet, d.h. wenn mit einer iterierten Zentrumsgruppe übereinstimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine nilpotente Gruppe auflösbar ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 21.9 ändern
Zeige, dass für die Permutationsgruppen auflösbar sind.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Gruppe, für die jede Untergruppe ein Normalteiler sei. Zeige, dass auflösbar ist.
Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 21.11 ändern
Zeige, dass jede gerade Permutation , , ein Produkt aus Dreierzykeln ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige: Keine der alternierenden Gruppen besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.
Hinweis: Aufgabe 21.11 hilft.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Tipp: Es gibt ein mit .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper. Zeige, dass von
erzeugt wird.