Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 21

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Untersuche für jede Filtrierung von ${}S_{3}$ mit Untergruppen, ob eine auflösende Filtrierung vorliegt oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass ${}G$ genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe ${}K(G)$ trivial ist.

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung ${}\varphi (K(G))\subseteq K(H)$.

Die folgende Aussage heißt Satz von Cayley.

Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.

Aufgabe

Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ nicht auflösbar ist.

Wir erwähnen, dass die alternierenden Gruppen ${}A_{n}$, ${}n\geq 5$, einfach sind (das ist eine nichttriviale Aussage). Dies bedeutet, dass die Permutationsgruppen ${}S_{n}$, ${}n\geq 5$, nur die alternierende Gruppe als Normalteiler enthalten.

Aufgabe

Es sei ${}A_{n}$ eine alternierende Gruppe mit ${}n\geq 4$. Zeige, dass ${}A_{n}$ nicht kommutativ ist.

Eine Gruppe ${}G$ heißt perfekt, wenn sie gleich ihrer eigenen Kommutatoruntergruppe ist, also wenn ${}G=K(G)$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ perfekt ist.

Nach Aufgabe 5.12 ist das Zentrum ${}Z_{1}=Z=Z(G)$ einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler in ${}G$. Folglich gibt es eine Restklassengruppe ${}G/Z(G)$, die selbst wiederum ein Zentrum besitzt. Das Urbild dieser Gruppe in ${}G$ wird mit ${}Z_{2}$ bezeichnet; sie ist wieder ein Normalteiler in ${}G$, so dass man eine Filtration

$0\subseteq Z_{1}\subseteq Z_{2}\subseteq Z_{3}\subseteq \cdots$

von Normalteilern in ${}G$ erhält. Diese Filtration nennt man Zentralreihe.

Eine Gruppe ${}G$ heißt nilpotent, wenn ihre Zentralreihe bei ${}G$ endet, d.h. wenn ${}G$ mit einer iterierten Zentrumsgruppe ${}Z_{n}(G)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige, dass eine nilpotente Gruppe auflösbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für ${}n\leq 4$ die Permutationsgruppen ${}S_{n}$ auflösbar sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, für die jede Untergruppe ein Normalteiler sei. Zeige, dass ${}G$ auflösbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede gerade Permutation ${}\sigma \in S_{n}$, ${}n\geq 3$, ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen ${}A_{n}$ besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.

Hinweis: Aufgabe 21.11 hilft.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe mit Zentrum ${}Z(G)$. Zeige:

1. ${}G$ ist genau dann abelsch, wenn ${}G/Z(G)$ zyklisch ist.
2. Der Index von ${}Z(G)$ in ${}G$ ist keine Primzahl.
3. Ist ${}G$ von der Ordnung ${}pq$ für zwei Primzahlen ${}p$ und ${}q$, so ist ${}G$ abelsch oder ${}Z(G)$ trivial.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper mit mindestens ${}4$ Elementen. Zeige, dass ${}\operatorname {SL} _{2}(K)$ perfekt ist.

Tipp: Es gibt ein ${}x\in K$ mit ${}x^{2}-1\neq 0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass ${}\operatorname {SL} _{2}(K)$ von

$\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\,\vert \,b\in K\}\cup \{{\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}}\,\vert \,c\in K\}$

erzeugt wird.