Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 21

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Untersuche für jede Filtrierung von mit Untergruppen, ob eine auflösende Filtrierung vorliegt oder nicht.


Aufgabe

Sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe trivial ist.


Aufgabe

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung .


Die folgende Aussage heißt Satz von Cayley.


Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.


Aufgabe

Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.


Aufgabe

Sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass nicht auflösbar ist.


Wir erwähnen, dass die alternierenden Gruppen , , einfach sind (das ist eine nichttriviale Aussage). Dies bedeutet, dass die Permutationsgruppen , , nur die alternierende Gruppe als Normalteiler enthalten.

Aufgabe

Sei eine alternierende Gruppe mit . Zeige, dass nicht kommutativ ist.


Eine Gruppe heißt perfekt, wenn sie gleich ihrer eigenen Kommutatoruntergruppe ist, also wenn gilt.


Aufgabe

Sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass perfekt ist.


Nach Aufgabe 5.12 ist das Zentrum einer Gruppe ein Normalteiler in . Folglich gibt es eine Restklassengruppe , die selbst wiederum ein Zentrum besitzt. Das Urbild dieser Gruppe in wird mit bezeichnet; sie ist wieder ein Normalteiler in , so dass man eine Filtration

von Normalteilern in erhält. Diese Filtration nennt man Zentralreihe.


Eine Gruppe heißt nilpotent, wenn ihre Zentralreihe bei endet, d.h. wenn mit einer iterierten Zentrumsgruppe übereinstimmt.


Aufgabe

Zeige, dass eine nilpotente Gruppe auflösbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für die Permutationsgruppen auflösbar sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Gruppe, für die jede Untergruppe ein Normalteiler sei. Zeige, dass auflösbar ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede gerade Permutation , , ein Produkt aus Dreierzykeln ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.

Hinweis: Aufgabe 21.11 hilft.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Gruppe mit Zentrum . Zeige:

  1. ist genau dann abelsch, wenn zyklisch ist.
  2. Der Index von in ist keine Primzahl.
  3. Ist von der Ordnung für zwei Primzahlen und , so ist abelsch oder trivial.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper mit mindestens Elementen. Zeige, dass perfekt ist.

Tipp: Es gibt ein mit .

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper. Zeige, dass von

erzeugt wird.



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