Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Liste der Hauptsätze

???: Die Cardanosche Formel

Es sei

${}x^{3}+px+q=0\,$

mit ${}p,q\in {\mathbb {C} }$ eine kubische Gleichung. Wir setzen ${}D=-4p^{3}-27q^{2}$. Es seien

$u={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-q+{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}}}\,\,{\text{ und }}\,\,v={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-q-{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}}},$

wobei diese dritten Wurzeln so gewählt seien, dass ${}uv=-{\frac {p}{3}}$ ist.

Dann sind (mit der dritten Einheitswurzel $\epsilon =-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$) die Elemente

$u+v,\,\,\epsilon u+\epsilon ^{2}v\,{\text{ und }}\,\epsilon ^{2}u+\epsilon v$

die Lösungen dieser kubischen Gleichung.

 

???: Der Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

 

???: Vektorraumstruktur bei einer Körpererweiterung

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.

Dann ist ${}L$ in natürlicher Weise ein ${}K$-Vektorraum.

 

???: Reine Gestalt von quadratischen Körpererweiterungen

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung.

Dann gibt es ein ${}x\in L$ , ${}x\notin K$ und ${}x^{2}\in K$.

 

???: Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen

Seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen.

Dann ist auch ${}K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung und es gilt

${}\operatorname {grad} _{K}M=\operatorname {grad} _{K}L\cdot \operatorname {grad} _{L}M\,.$

 

???: Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Die Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$ über ${}{\mathbb {C} }$ sind

$e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$

In ${}{\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung

${}X^{n}-1=(X-1)(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}){\cdots }(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n})\,.$

 

???: Summe von Einheitswurzeln

Es sei ${}K$ ein Körper.

Dann gilt in ${}K[X]$ die Beziehung

${}X^{n}-1=(X-1)\cdot (X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1)\,.$

Für jede ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta \neq 1$ gilt

${}\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,$

 

???: Prim und irreduzibel in Integritätsbereichen

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

 

???: Zerlegung in irreduzible Polynome

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom.

Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

${}F=aF_{1}\cdots F_{r}\,$

mit ${}a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen ${}F_{i}$, ${}i=1,\ldots ,r$.

 

???: Polynomring in einer Variablen über einem Körper ist ...

Ein Polynomring über einem Körper

ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Lemma von Bezout (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und seien ${}a,b\in R$ teilerfremde Elemente.

Dann kann man die ${}1$ als Linearkombination von ${}a$ und ${}b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$.

 

???: Lemma von Euklid (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

 

???: Prim und irreduzibel (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

 

???: Kernkriterium für Injektivität

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi :G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von ${}\varphi$ trivial ist.

 

???: Der Satz von Lagrange

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe von ${}G$.

Dann ist ihre Kardinalität ${}{\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${}{\#\left(G\right)}$.

 

???: Satz von Lagrange (Ordnung eines Gruppenelements)

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element.

Dann teilt die Ordnung von ${}g$ die Gruppenordnung.

 

???: Kern eines Gruppenhomomorphismus ist ...

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern ${}\ker \varphi$ ein Normalteiler in ${}G$.

 

???: Normalteiler und Restklassengruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei ${}G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und

$q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

 

???: Der Homomorphiesatz (Gruppen)

Seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}G&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&H&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

 

???: Der Isomorphiesatz (Gruppen)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$

 

???: Der Faktorisierungssatz (Gruppen)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$G{\stackrel {q}{\longrightarrow }}G/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}H,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Gruppenisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

 

???: Ringhomomorphismen von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}R$

Es sei ${}R$ ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow R.$

 

???: Satz über den Einsetzungshomomorphismus

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und ${}a\in A$ ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi (X)=a$ und mit ${}\psi \circ i=\varphi$, wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.

 

???: Kern eines Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

 

???: Minimalpolynom und Einsetzungshomomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ eine ${}K$- Algebra und ${}f\in A$ ein Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ über ${}K$.

Dann ist der Kern des kanonischen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f,$

das von ${}P$ erzeugte Hauptideal.

 

???: Homomorphiesatz für Ringe

Es seien ${}R,S$ und ${}T$ kommutative Ringe, es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und ${}\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&T&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

 

???: Restklassenring und surjektiver Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein surjektiver Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen

${\tilde {\varphi }}\colon R/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow S.$

 

???: Faktorisierung für einen Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$R{\stackrel {q}{\longrightarrow }}R/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}S,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Ringisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.

 

???: Restklassenringe von Hauptidealbereichen

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

1. ${}p$ ist ein Primelement.
2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

 

???: Restklassencharakterisierung von irreduziblen Polynomen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, ein Polynom.

Dann ist ${}P$ genau dann irreduzibel, wenn der Restklassenring ${}K[X]/(P)$ ein Körper ist.

 

???: Charakterisierung der Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.
2. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}n$ ist eine Primzahl.

 

???: Rechnen in einer Restklassenalgebra

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}R=K[X]/(P)$ der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von ${}X$ in ${}R$ mit ${}x$).

1. Man kann stets ${}P$ als normiert annehmen (also $a_{n}=1$; das werden wir im Folgenden tun).
2. In ${}R$ ist ${}x^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}x^{i}$.
3. Höhere Potenzen ${}x^{k}$, ${}k\geq n$, kann man mit den Potenzen ${}x^{i}$, ${}i\leq n-1$, ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
4. Die Potenzen ${}x^{0}=1,\,x^{1}$ ${},\ldots ,x^{n-1}$ bilden eine ${}K$-Basis von ${}R$.
5. ${}R$ ist ein ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n$.
6. In ${}R$ werden zwei Elemente ${}P=\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}$ und ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}$ komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.

 

???: Restklassendarstellung zu erzeugter Algebra

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$.

Dann gibt es eine kanonische ${}K$- Algebraisomorphie

$K[X]/(P)\longrightarrow K[f],\,X\longmapsto f.$

 

???: Minimalpolynom und Irreduzibilität

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}K$ ist irreduzibel.
2. Wenn ${}Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ${}Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.

 

???: Norm und Spur im Minimalpolynom

Sei ${}K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

${}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

 

???: Endliche multiplikative Untergruppe in einem Körper

Es sei ${}U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ${}K$.

Dann ist ${}U$ zyklisch.

 

???: Einheitengruppe in Restklassenkörpern von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.

Es gibt also Elemente ${}g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen ${}g^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

 

???: Einheitengruppe eines endlichen Körpers

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann ist die Einheitengruppe ${}K^{\times }$ eine zyklische Gruppe.

 

???: Anzahl eines endlichen Körpers

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann besitzt ${}K$ genau ${}p^{n}$ Elemente, wobei ${}p$ eine Primzahl ist und ${}n\geq 1$.

 

???: Der Satz von Wilson

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist ${}(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$.

 

???: Erzeugte Algebra eines algebraischen Elementes

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element.

Dann ist die von ${}f$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]\subseteq L$ ein Körper.

 

???: Charakterisierung von algebraischen Elementen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist algebraisch über ${}K$.
2. Es gibt ein normiertes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$.
3. Es besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen

   $f^{0}=1,f^{1}=f,f^{2},f^{3},\ldots .$

4. Die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]$ hat endliche ${}K$-Dimension.
5. ${}f$ liegt in einer endlichdimensionalen ${}K$-Algebra ${}M\subseteq L$.

 

???: Algebraischer Abschluss ist ...

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}M$ der algebraische Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Dann ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}L$.

 

???: Minimalpolynom unter Körperautomorphismus

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}x\in L$, ${}F\in K[X]$ ein Polynom mit ${}F(x)=0$ und sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$.

Dann ist auch ${}F(\varphi (x))=0$.

 

???: Endlichkeit der Galoisgruppe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ endlich.

 

???: Konstruktion von Zerfällungskörpern

Es sei ${}K$ein Körper und ${}F$ ein Polynom aus ${}K[X]$.

Dann gibt es einen Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}F$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt.

 

???: Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Es seien ${}K\subseteq L_{1}$ und ${}K\subseteq L_{2}$ zwei Zerfällungskörper von ${}F$.

Dann gibt es einen ${}K$-Algebraisomorphismus

$\varphi \colon L_{1}\longrightarrow L_{2}.$

Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.

 

???: Hauptsatz für endliche Körper

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen.

 

???: Elementare Eigenschaften einer graduierten Körpererweiterung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. Jede homogene Stufe ${}L_{d}$ besitzt die ${}K$- Dimension ${}1$.
2. Es ist ${}\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(D\right)}$.
3. Es sei ${}D=(d_{1},\ldots ,d_{m})$ ein Erzeugendensystem von ${}D$ und es sei ${}x_{i}\in L_{d_{i}}$, ${}x_{i}\neq 0$, fixiert. Dann ist ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]$. Insbesondere wird ${}L$ von homogenen Elementen erzeugt.
4. Jedes homogene Element ${}x\in L_{d}$, ${}x\neq 0$, besitzt ein Minimalpolynom der Form ${}X^{n}-a$ mit ${}a\in K$.
5. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist eine Radikalerweiterung.

 

???: Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra.

Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus

$D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)\longrightarrow \operatorname {Aut} _{K}^{}{\left(A\right)},\,\chi \longmapsto (a_{d}\mapsto \chi (d)a_{d}),$

der Charaktergruppe von ${}D$ in die (homogene) ${}K$- Automorphismengruppe von ${}A$.

Wenn alle ${}A_{d}\neq 0$ sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

 

???: Kommutative Gruppe mit Ordnung gleich Exponent

Es sei ${}G$ eine endliche kommutative Gruppe und sei ${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$, wobei ${}\operatorname {exp} (G)$ den Exponenten der Gruppe bezeichnet.

Dann ist ${}G$ zyklisch.

 

???: Charakterisierung von separablen Polynomen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}P$ ist separabel.
2. Es gibt eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}P$ über ${}L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
3. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ sind teilerfremd.
4. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ erzeugen das Einheitsideal.

 

???: Separable Körpererweiterung auf Erzeugendensystem

Es sei ${}K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ eine endliche Körpererweiterung. Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome ${}F_{i}$ der ${}x_{i}$ separabel sind.

Dann ist die Erweiterung ${}K\subseteq L$

separabel.

 

???: Koeffizientenbeschreibung eines Zwischenkörpers bei einer einfachen Körpererweiterung

Es sei ${}K\subseteq L=K(x)$ eine endliche einfache Körpererweiterung und ${}K\subseteq M\subseteq L$ ein Zwischenkörper. Es sei ${}G=\sum _{j=0}^{k}b_{j}X^{j}\in M[X]$ das Minimalpolynom von ${}x$ über ${}M$.

Dann ist ${}M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})$.

 

???: Einfache Körpererweiterung und Zwischenkörper

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist ${}K\subseteq L$ genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper ${}K\subseteq M\subseteq L$ gibt.

 

???: Der Satz vom primitiven Element

Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung. Dann wird ${}L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein ${}f\in L$ mit

${}L=K(f)\cong K[X]/(P)\,$

mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom ${}P\in K[X]$.

 

???: Operation der Galoisgruppe auf Nullstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von ${}F$. Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ die Nullstellen von ${}F$ in ${}L$.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow S(\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\})$

der Galoisgruppe in die Permutationsgruppe der Nullstellen.

 

???: Lemma von Dedekind

Es sei ${}G$ ein Monoid, ${}K$ ein Körper und ${}\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\in \operatorname {Char} \,(G,K)$ seien ${}n$ Charaktere.

Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in ${}\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$).

 

???: Abschätzung zwischen Ordnung der Galoisgruppe und Grad einer Körpererweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist

${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\leq \operatorname {grad} _{K}L\,.$

 

???: Graduierte Galoiserweiterungen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Der Körper ${}K$ enthalte eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei.

Dann ist ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)$.

 

???: Charakterisierung normaler Körpererweiterungen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Körpererweiterung ist normal.
2. Wenn ein irreduzibles Polynom ${}P\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}L$ besitzt, so zerfällt es in ${}L[X]$.
3. Es gibt ein ${}K$- Algebraerzeugendensystem ${}x_{i}\in L$, ${}i\in I$, von ${}L$ und über ${}L$ zerfallende Polynome ${}F_{i}\in K[X]$, ${}F_{i}\neq 0$ , ${}i\in I$, mit ${}F_{i}(x_{i})=0$.
4. Für jede Körpererweiterung ${}L\subseteq M$ und jeden ${}K$- Algebrahomomorphismus

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   ist ${}\varphi (L)\subseteq L$.

 

???: Normale Körpererweiterung und Zerfällungskörper

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist ${}K\subseteq L$ genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn ${}L$ Zerfällungskörper eines Polynoms ${}F\in K[X]$ ist.

 

???: Konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und es seien ${}\alpha ,\beta \in L$.

Dann sind ${}\alpha$ und ${}\beta$ genau dann konjugiert, wenn es einen ${}K$- Automorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$ gibt.

 

???: Satz von Artin

Es sei ${}L$ ein Körper und sei ${}H\subseteq \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von ${}L$. Es sei ${}K=\operatorname {Fix} \,(H)$.

Dann ist

${}\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(H\right)}\,.$

Insbesondere ist ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}H$.

 

???: Charakterisierung von Galoiserweiterungen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist eine Galoiserweiterung.
2. Es ist ${}\operatorname {Fix} \,(G)=K$.
3. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist normal und separabel.
4. ${}L$ ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms ${}F\in K[X]$.

 

???: Galoiserweiterung über Zwischenkörper

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.

Dann ist auch ${}M\subseteq L$ eine Galoiserweiterung.

 

???: Galoisgruppe zu endlichen Körpern

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}m\in \mathbb {N}$, ${}q=p^{m}$.

Dann ist die Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung ${}m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

 

???: Satz über die Galoiskorrespondenz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$.

Dann sind die Zuordnungen

$M\longmapsto \operatorname {Gal} \,(L{|}M){\text{ und }}H\longmapsto \operatorname {Fix} \,(H)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, und der Menge der Untergruppen von ${}G$.

Bei dieser Korrespondenz werden die Inklusionen umgekehrt.

 

???: Satz über Normalteiler in der Galoisgruppe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn die Untergruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ein Normalteiler ist.
2. Sei ${}K\subseteq M$ eine Galoiserweiterung. Dann besteht zwischen den Galoisgruppen die natürliche Restklassenbeziehung

   ${}\operatorname {Gal} \,(M{|}K)=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)/\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\,.$

   Bei dieser Zuordnung wird ein Automorphismus ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf ${}M$ eingeschränkt.

 

???: Kummererweiterung und graduierte Körpererweiterung

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung ist, so ist ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$.
2. Sei ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$ mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ die Charaktergruppe von ${}G$. Zu ${}\delta \in D$ sei

   ${}L_{\delta }={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\delta (\varphi )\cdot x{\text{ für alle }}\varphi \in G\right\}}\,.$

   Dann ist ${}L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung.

 

???: Homogene Einheiten und m-Wurzeln in Kummererweiterung

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$ mit Galoisgruppe ${}G$, zugehöriger Charaktergruppe ${}D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ und zugehöriger Graduierung

${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}\,.$

Es seien ${}H^{\times }$ die homogenen Elemente ${}\neq 0$ von ${}L$.

Dann ist die natürliche Inklusion

$H^{\times }\longrightarrow {\left\{a\in L^{\times }\mid a^{m}\in K\right\}}$

ein Gruppenisomorphismus.

 

???: Kummererweiterung und reine Radikalerweiterung

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.

Dann ist ${}K\subseteq L$ genau dann eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$, wenn es eine Beschreibung

${}L=K{\left({\sqrt[{m}]{a_{1}}},\ldots ,{\sqrt[{m}]{a_{r}}}\right)}\,$

mit ${}a_{i}\in K$ gibt.

 

???: Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein (${}\mathbb {Z}$)

Es sei ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass ${}p$ den Leitkoeffizienten ${}c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass ${}p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten ${}c_{0}$ teilt.

Dann ist ${}F$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.

 

???: Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in ${}\mathbb {Z}$.

 

???: Satz über die Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome

Die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ sind irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$.

 

???: Grad der Kreisteilungskörper

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ über ${}\mathbb {Q}$ hat die Beschreibung

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des ${}n$-ten Kreisteilungskörpers ist ${}{\varphi (n)}$.

 

???: Kreisteilungskörper und Galoiserweiterung

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$- te Kreisteilungskörper.

Dann ist ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe

${}\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,.$

Dabei entspricht der Einheit ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus ${}\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{a}$ abbildet.

 

???: Permutationsgruppe und Auflösbarkeit

Für ${}n\geq 5$

sind die Permutationsgruppen ${}S_{n}$ nicht auflösbar.

 

???: Galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung.

Dann ist die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ genau dann auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auflösbar ist.

 

???: Auflösbarkeit der Gleichung bis zum vierten Grad

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}\leq 4$.

Dann ist ${}F$ auflösbar.

D.h. es gibt eine Radikalerweiterung ${}K\subseteq M$, so dass ${}F$ über ${}M$ in Linearfaktoren zerfällt.

 

???: Satz von Abel-Ruffini

Für ${}n\geq 5$

gibt es polynomiale Gleichungen (über ${}\mathbb {Q}$) vom Grad ${}n$, die nicht auflösbar sind.

 

???: Wichtige Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.

1. Zu einer Geraden ${}G$ und zwei Punkten ${}Q_{1},Q_{2}\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ halbiert.
2. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
3. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
4. Zu einer gegebenen Geraden ${}G$ und einem gegebenen Punkt ${}P$ kann man die Gerade ${}G'$ durch ${}P$ zeichnen, die zu ${}G$ parallel ist.

 

???: Konstruierbare Zahlen bilden ...

Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$.

 

???: Konstruktion der Quadratwurzel

Es sei ${}G$ eine mit zwei Punkten ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei ${}a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ aus ${}0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.

 

???: Konstruierbare Zahlen sind ...

Eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Zahl

ist algebraisch.

 

???: Das Delische Problem

Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.

 

???: Satz über die Quadratur des Kreises

Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.

 

???: Klassengleichung (Konjugation)

Sei ${}G$ eine endliche Gruppe und seien ${}K_{1},\ldots ,K_{r}$ die Konjugationsklassen von ${}G$ mit mindestens zwei Elementen.

Dann ist

${}\operatorname {ord} _{}^{}{\left(G\right)}=\operatorname {ord} _{}^{}{\left(Z(G)\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\#\left(K_{i}\right)}\,.$

 

???: Galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen

Es sei ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper und ${}z\in {\mathbb {C} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die komplexe Zahl ${}z$ ist aus ${}K$ konstruierbar.
2. Es gibt in ${}{\mathbb {C} }$ eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen

   ${}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L\,$

   mit ${}z\in L$.

3. Das Element ${}z$ ist algebraisch über ${}K$, und der Grad des Zerfällungskörpers von ${}z$ über ${}K$ ist eine Zweierpotenz.
4. Das Element ${}z$ ist algebraisch über ${}K$, und die Ordnung der Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von ${}z$ über ${}K$ ist eine Zweierpotenz.
5. Es gibt eine endliche Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$ (in ${}{\mathbb {C} }$) mit ${}z\in M$, deren Grad eine Zweierpotenz ist.

 

???: Winkeldreiteilung

Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.

 

???: Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken

Ein reguläres ${}n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von ${}n$ die Gestalt

${}n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$

hat, wobei die ${}p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

 

???: Das Austauschlemma für Transzendenzbasen

Es sei ${}K$ ein Grundkörper und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit endlichen Transzendenzbasen ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ und ${}g_{1},\ldots ,g_{n}$.

Dann gibt es zu jedem Element ${}f_{i}$ der ersten Transzendenzbasis ein Element ${}g_{j}$ der zweiten Transzendenzbasis derart, dass ${}f_{1},\ldots ,f_{i-1},g_{j},f_{i+1},\ldots ,f_{m}$ ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.

 

???: Satz über die Wohlbestimmtheit des Transzendenzgrades

Es sei ${}K$ ein Grundkörper und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis.

Dann besitzt jede Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$ gleich viele Elemente.

 

???: Transzendenzgradformel

Es sei ${}K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen.

Dann ist

${}\operatorname {trdeg} {\left(M/K\right)}=\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}+\operatorname {trdeg} {\left(M/L\right)}\,.$