Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Liste der Hauptsätze
Es sei
mit eine kubische Gleichung. Wir setzen . Es seien
wobei diese dritten Wurzeln so gewählt seien, dass ist.
Dann sind (mit der dritten Einheitswurzel ) die Elemente
die Lösungen dieser kubischen Gleichung.
Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen
besitzt eine Nullstelle.
Es sei eine Körpererweiterung.
Dann ist in natürlicher Weise ein - Vektorraum.
Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung.
Dann gibt es ein , und .
Es seien und endliche Körpererweiterungen.
Dann ist auch eine endliche Körpererweiterung und es gilt
Es sei .
Die Nullstellen des Polynoms über sind
In gilt die Faktorisierung
Es sei ein Körper.
Dann gilt in die Beziehung
Für jede -te Einheitswurzel gilt
In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
Es sei ein Körper und sei ein von verschiedenes Polynom.
Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung
mit und irreduziblen normierten Polynomen , .
Ein Polynomring über einem Körper
ist ein Hauptidealbereich.
Es sei ein Hauptidealbereich und seien teilerfremde Elemente.
Dann kann man die als Linearkombination von und darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
Es sei ein Hauptidealbereich und . Es seien und teilerfremd und teile das Produkt .
Dann teilt den Faktor .
Es sei ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.
Es seien und Gruppen.
Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern von trivial ist.
Es sei eine endliche Gruppe und eine Untergruppe von .
Dann ist ihre Kardinalität ein Teiler von .
Es sei eine endliche Gruppe und sei ein Element.
Dann teilt die Ordnung von die Gruppenordnung.
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist der Kern ein Normalteiler in .
Es sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Es sei die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es seien und Gruppen, es sei ein Gruppenhomomorphismus und ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien und Gruppen und sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die kanonische Projektion, ein Gruppenisomorphismus und die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.
Es sei ein Ring.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
Es sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei ein weiterer kommutativer Ring und es sei ein Ringhomomorphismus und ein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit und mit , wobei die kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynom auf .
Es seien und kommutative Ringe und sei
ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern
ein Ideal in .
Es sei ein Körper, eine - Algebra und ein Element. Es sei das Minimalpolynom von über .
Dann ist der Kern des kanonischen - Algebrahomomorphismus
das von erzeugte Hauptideal.
Es seien und kommutative Ringe, es sei ein Ringhomomorphismus und ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien und kommutative Ringe und sei
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen
Es seien und kommutative Ringe und sei
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die kanonische Projektion, ein Ringisomorphismus und die kanonische Inklusion des Bildes ist.
Es sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
- ist ein Primelement.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist ein Körper.
Es sei ein Körper und , , ein Polynom.
Dann ist genau dann irreduzibel, wenn der Restklassenring ein Körper ist.
Es sei eine natürliche Zahl und der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist ein Körper.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist eine Primzahl.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom vom Grad und der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von in mit ).
- Man kann stets als normiert annehmen (also ; das werden wir im Folgenden tun).
- In ist .
- Höhere Potenzen , , kann man mit den Potenzen , , ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
- Die Potenzen bilden eine -Basis von .
- ist ein -Vektorraum der Dimension .
- In werden zwei Elemente und komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element. Es sei das Minimalpolynom von .
Dann gibt es eine kanonische - Algebraisomorphie
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Minimalpolynom von über ist irreduzibel.
- Wenn ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
Es sei eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad .
Dann hat das Minimalpolynom von die Gestalt
Es sei eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers .
Dann ist zyklisch.
Es sei eine Primzahl.
Dann ist die Einheitengruppe zyklisch mit der Ordnung .
Es gibt also Elemente mit der Eigenschaft, dass die Potenzen , , alle Einheiten durchlaufen.
Es sei ein endlicher Körper.
Dann ist die Einheitengruppe eine zyklische Gruppe.
Es sei ein endlicher Körper.
Dann besitzt genau Elemente, wobei eine Primzahl ist und .
Es sei eine Primzahl.
Dann ist .
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element.
Dann ist die von erzeugte -Algebra ein Körper.
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist algebraisch über .
- Es gibt ein normiertes Polynom mit .
- Es besteht eine
lineare Abhängigkeit
zwischen den Potenzen
- Die von über erzeugte -Algebra hat endliche -Dimension.
- liegt in einer endlichdimensionalen -Algebra .
Es sei eine Körpererweiterung und sei der algebraische Abschluss von in .
Dann ist ein Unterkörper von .
Es sei eine Körpererweiterung, , ein Polynom mit und sei .
Dann ist auch .
Es sei eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist die Galoisgruppe endlich.
Es sei ein Körper und ein Polynom aus .
Dann gibt es einen Erweiterungskörper derart, dass über in Linearfaktoren zerfällt.
Es sei ein Körper und sei ein Polynom. Es seien und zwei Zerfällungskörper von .
Dann gibt es einen - Algebraisomorphismus
Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.
Es sei eine Primzahl und .
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit Elementen.
Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine - graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften
- Jede homogene Stufe besitzt die - Dimension .
- Es ist .
- Es sei ein Erzeugendensystem von und es sei , , fixiert. Dann ist . Insbesondere wird von homogenen Elementen erzeugt.
- Jedes homogene Element , , besitzt ein Minimalpolynom der Form mit .
- Die Körpererweiterung ist eine Radikalerweiterung.
Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine - graduierte kommutative - Algebra.
Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus
der Charaktergruppe von in die (homogene) - Automorphismengruppe von .
Wenn alle sind, so ist diese Zuordnung injektiv.
Es sei eine endliche kommutative Gruppe und sei , wobei den Exponenten der Gruppe bezeichnet.
Dann ist zyklisch.
Es sei ein Körper und sei ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- ist separabel.
- Es gibt eine Körpererweiterung derart, dass über in einfache Linearfaktoren zerfällt.
- und die Ableitung sind teilerfremd.
- und die Ableitung erzeugen das Einheitsideal.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome der separabel sind.
Dann ist die Erweiterung
separabel.
Es sei eine endliche einfache Körpererweiterung und ein Zwischenkörper. Es sei das Minimalpolynom von über .
Dann ist .
Es sei eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper gibt.
Es sei eine endliche separable Körpererweiterung.
Dann wird von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein mit
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom .
Es sei ein Körper, ein Polynom und der Zerfällungskörper von . Es seien die Nullstellen von in .
Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus
der Galoisgruppe in die Permutationsgruppe der Nullstellen.
Es sei ein Monoid, ein Körper und seien Charaktere.
Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in ).
Es sei eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist
Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine - graduierte Körpererweiterung. Der Körper enthalte eine -te primitive Einheitswurzel, wobei der Exponent von sei.
Dann ist eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe .
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Körpererweiterung ist normal.
- Wenn ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle in besitzt, so zerfällt es in .
- Es gibt ein - Algebraerzeugendensystem , , von und über zerfallende Polynome , , , mit .
- Für jede Körpererweiterung
und jeden
-
Algebrahomomorphismus
ist .
Es sei eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn Zerfällungskörper eines Polynoms ist.
Es sei eine endliche normale Körpererweiterung und es seien .
Dann sind und genau dann konjugiert, wenn es einen - Automorphismus mit gibt.
Es sei ein Körper und sei eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von . Es sei .
Dann ist
Insbesondere ist eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe .
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- Die Körpererweiterung ist eine Galoiserweiterung.
- Es ist .
- Die Körpererweiterung ist normal und separabel.
- ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms .
Es sei eine endliche Galoiserweiterung und , , ein Zwischenkörper.
Dann ist auch eine Galoiserweiterung.
Es sei eine Primzahl und mit .
Dann ist die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung , die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.
Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe .
Dann sind die Zuordnungen
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper , , und der Menge der Untergruppen von .
Bei dieser Korrespondenz werden die Inklusionen umgekehrt.
Es sei eine endliche Galoiserweiterung und , , ein Zwischenkörper. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Körpererweiterung ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn die Untergruppe ein Normalteiler ist.
- Sei
eine Galoiserweiterung. Dann besteht zwischen den Galoisgruppen die natürliche Restklassenbeziehung
Bei dieser Zuordnung wird ein Automorphismus auf eingeschränkt.
Es sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn eine - graduierte Körpererweiterung ist, so ist eine Kummererweiterung zum Exponenten .
- Es sei
eine Kummererweiterung zum Exponenten mit
Galoisgruppe
. Es sei
die
Charaktergruppe
von . Zu
sei
Dann ist eine - graduierte Körpererweiterung.
Es sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine Kummererweiterung zum Exponenten mit Galoisgruppe , zugehöriger Charaktergruppe und zugehöriger Graduierung
Es seien die homogenen Elemente von .
Dann ist die natürliche Inklusion
ein Gruppenisomorphismus.
Es sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine Körpererweiterung.
Dann ist genau dann eine Kummererweiterung zum Exponenten , wenn es eine Beschreibung
mit gibt.
Es sei ein Polynom. Es sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass den Leitkoeffizienten nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass nicht den konstanten Koeffizienten teilt.
Dann ist irreduzibel in .
Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome
liegen in .
Die Kreisteilungspolynome sind irreduzibel über .
Der -te Kreisteilungskörper über hat die Beschreibung
wobei das -te Kreisteilungspolynom bezeichnet.
Der Grad des -ten Kreisteilungskörpers ist .
Es sei der - te Kreisteilungskörper.
Dann ist eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe
Dabei entspricht der Einheit derjenige Automorphismus , der eine -te Einheitswurzel auf abbildet.
Für
sind die Permutationsgruppen nicht auflösbar.
Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine Galoiserweiterung.
Dann ist die Körpererweiterung genau dann auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe auflösbar ist.
Es sei ein Körper der Charakteristik und sei ein Polynom vom Grad .
Dann ist auflösbar.
D.h. es gibt eine Radikalerweiterung derart, dass über in Linearfaktoren zerfällt.
Für
gibt es polynomiale Gleichungen (über ) vom Grad , die nicht auflösbar sind.
In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.
- Zu einer Geraden und zwei Punkten kann man die zu senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen und halbiert.
- Zu einer Geraden und einem Punkt kann man die zu senkrechte Gerade durch zeichnen.
- Zu einer Geraden und einem Punkt kann man die zu senkrechte Gerade durch zeichnen.
- Zu einer gegebenen Geraden und einem gegebenen Punkt kann man die Gerade durch zeichnen, die zu parallel ist.
Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von .
Es sei eine mit zwei Punkten und markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel aus mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.
Eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Zahl
ist algebraisch.
Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
Es sei eine endliche Gruppe und seien die Konjugationsklassen von mit mindestens zwei Elementen.
Dann ist
Es sei ein Unterkörper und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die komplexe Zahl ist aus konstruierbar.
- Es gibt in eine Körperkette aus
quadratischen Körpererweiterungen
mit .
- Das Element ist algebraisch über , und der Grad des Zerfällungskörpers von über ist eine Zweierpotenz.
- Das Element ist algebraisch über , und die Ordnung der Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von über ist eine Zweierpotenz.
- Es gibt eine endliche Galoiserweiterung (in ) mit , deren Grad eine Zweierpotenz ist.
Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.
Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt
hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.
Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung mit endlichen Transzendenzbasen und .
Dann gibt es zu jedem Element der ersten Transzendenzbasis ein Element der zweiten Transzendenzbasis derart, dass ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.
Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis.
Dann besitzt jede Transzendenzbasis von über gleich viele Elemente.
Es sei eine Kette von Körpererweiterungen.
Dann ist