Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Norm und Spur bei einer Körpererweiterung}
Ein Element
\mathl{f \in L}{} einer Körpererweiterung
\zusatzklammer {oder allgemeiner einer
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$A$} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert durch Multiplikation eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_f} {L} {L
} {y} {fy
} {.}
Dies erlaubt es, Begriffe und Methoden der linearen Algebra anzuwenden. Zu einer
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ wird die Multiplikationsabbildung durch eine
$(n \times n)$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
beschrieben, wobei $n$ den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der Körpererweiterung bezeichnet. Für
\mathl{f \in K}{} liegt bezüglich einer beliebigen Basis die
\definitionsverweis {Streckungsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} f & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & f & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & f & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & f \end{pmatrix}} { }
vor, für beliebige Elemente
\mathl{f \in L}{} werden die Matrizen ziemlich kompliziert, was man teilweise durch Wahl einer geeigneten Basis korrigieren kann. Insbesondere sind Konzepte relevant, die nicht von der Wahl einer Basis abhängen.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ X^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_2X^2+a_1X+a_0
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {K[X]/ { \left( X^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_2X^2+a_1X+a_0 \right) }
}
{ \defeqr} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Nach
Proposition 7.9
bilden die Potenzen
\mathbed {x^i} {}
{0 \leq i \leq n-1} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {wobei $x$ die
\definitionsverweis {Restklasse}{}{}
von $X$ bezeichnet} {} {}
eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$. Zu einem
\mathl{g \in L}{} wird die
\definitionsverweis {Multiplikationsabbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_g} {L} {L
} {y} {gy
} {,}
bezüglich der gegebenen Basis durch die
$(n \times n)$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten
\mathbed {g \cdot x^ {i}} {}
{0 \leq i \leq n-1} {}
{} {} {} {,}
bezüglich der Basis besteht. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von $g$ selbst. Zu $x$ ist diese Matrix gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Zu einem beliebigen Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ =} { b_0 +b_1x +b_2x^2 + \cdots + b_{n-1}x^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an
\mathdisp {\begin{pmatrix} b_0 & -a_0b_{n-1} & \ldots & * & * \\ b_1 & b_0-a_1b_{n-1} & \ldots & * & * \\ b_2 & b_1-a_2b_{n-1} & \ldots & * & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b_{n-1} & b_{n-2}- a_{n-1} b_{n-1} & \ldots & * & * \end{pmatrix}} { . }
}
In der folgenden Aussage wird zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\mathl{\operatorname{End}_{ K } \, (V)}{} der
\zusatzklammer {nichtkommutative} {} {}
Ring bezeichnet, der aus allen $K$-linearen Abbildungen besteht und wobei die Multiplikations durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist.
{Endliche Körpererweiterung/Element/Multiplikationsabbildung/Ringhomomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {L} {\operatorname{End}_{ K } \, (L)
} {f} { \mu_f
} {,}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 8.6. }
Über diese Konstruktion bzw. Zuordnung werden Norm und Spur von $f$ erklärt.
\inputbemerkung
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eines endlichdimensionalen $K$-Vektorraumes $V$ in sich wird die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\mathl{\det (\varphi)}{} und die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
$S(\varphi)$ wie folgt berechnet. Man wählt eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische
\mathl{n \times n}{-}Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda_{1,1} & \cdots & \lambda_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_{n,1} & \cdots & \lambda_{n,n} \end{pmatrix}} { }
mit
\mathl{\lambda_{ij} \in K}{} und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus
dem Determinantenmultiplikationssatz,
dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(\varphi)
}
{ =} { \lambda_{1,1}+ \lambda_{2,2} + \cdots + \lambda_{n,n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben, und dies ist
nach Aufgabe 8.17
ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
$K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_f} {L} {L
} {y} {fy
} {,}
die \definitionswort {Norm}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{N(f)}{} bezeichnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
der
$K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_f} {L} { L
} {y} { fy
} {,}
die \definitionswort {Spur}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{Spur} { \left( f \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{K[X]/(X^n-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
die durch die Hinzunahme einer $n$-ten Wurzel aus einem Element
\mathl{a \in K}{} entstehe. Es sei $x$ die Restklasse von $X$. Dann wird $\mu_x$ bezüglich der
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{1,x,x^2 , \ldots , x^{n-1}}{} von $L$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & a \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Somit ist die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von $x$ gleich $\pm a$
\zusatzklammer {das Vorzeichen hängt davon ab, ob $n$ gerade oder ungerade ist} {} {}
und die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
ist $0$.
}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Dann hat die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\maabbeledisp {N} {L} {K
} {f} {N(f)
} {,}
folgende Eigenschaften:
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(fg)
}
{ = }{ N(f) N(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mathl{f \in K}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f)
}
{ = }{f^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $n$ den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der Körpererweiterung bezeichne.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Dies folgt aus
dem Determinantenmultiplikationssatz
und
Lemma 8.2.
}{Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einen Element
\mathl{f \in K}{} durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^n$ nach
Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
}{Die eine Richtung ist klar, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung
\maabb {} {L} {L
} {,}
und deren Determinante ist $\neq 0$ nach
Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{n}{.} Dann hat die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
\maabbeledisp {S} {L} {K
} {f} {S(f)
} {,}
folgende Eigenschaften:
\aufzaehlungzwei {Die Spur ist
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(f+g)
}
{ = }{S(f)+S(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S(\lambda f)
}
{ = }{ \lambda S(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mathl{\lambda \in K}{.}
} {Für
\mathl{f \in K}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(f)
}
{ = }{ nf
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
Dies folgt aus den Definitionen.
Norm und Spur sind Elemente aus $K$.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Minimalpolynom/Element und Multiplikationsabbildung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und
\mathl{f \in L}{} mit der zugehörigen
$K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_f} {L} {L
} {x} {fx
} {.}}
\faktfolgerung {Dann stimmt das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$ mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $\mu_f$ überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}K[X] & \stackrel{ X \mapsto f }{\longrightarrow} & L & \\ & \!\!\! \!\! X \mapsto \mu_f \searrow & \downarrow \mu \!\!\! \!\! & \\ & & \operatorname{End}_{ } \, (L) & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
von Ringhomomorphismen, in dem horizontal die Einsetzungshomomorphismen stehen, und
Lemma 8.2.
Im Minimalpolynom zu
\mathl{f\in L}{} finden sich Norm und Spur in folgender Weise wieder.
\inputfaktbeweis
{Endliche einfache Körpererweiterung/Norm und Spur im Minimalpolynom des Erzeugers/Fakt}
{Satz}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{K[f]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine einfache
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$. Dann hat das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$P$ von $f$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { X^n- S(f)X^{n-1} + \cdots + (-1)^n N(f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Das Minimalpolynom und das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
der durch $f$ definierten $K$-linearen
\definitionsverweis {Multiplikationsabbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_f} { L} { L
} {y} { fy
} {,}
haben beide den Grad $n$. Nach
dem Satz von Cayley-Hamilton
annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, so dass sie übereinstimmen. Es sei bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $L$ diese lineare Abbildung $\mu_f$ durch die Matrix
\mathl{{ \left( \lambda_{ij} \right) }_{ij}}{} gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{\mu_f}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X- \lambda_{1,1} & \cdots & - \lambda_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ - \lambda_{n,1} & \cdots & X- \lambda_{n,n} \end{pmatrix}
}
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1}+ \cdots + a_1X +a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Koeffizienten
\mathl{a_{n-1}}{} leisten
\zusatzklammer {in
der Leibniz-Formel
zur Berechnung der Determinante} {} {}
nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen
\mathl{(n-1)}{-}mal die Variable $X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation
\zusatzklammer {also der Diagonalen} {} {}
der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich
\mathl{X^n- \sum_{i=1}^n \lambda_{i,i}X^{n-1} + \ldots}{,} so dass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{n-1}
}
{ = }{ - S(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Setzt man in der obigen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ergibt sich, dass $a_0$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ = }{(-1)^n N(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
Weitere Beschreibungen des Minimalpolynoms und der Norm und der Spur finden sich in Korollar 13.9 und Korollar 13.10.
\zwischenueberschrift{Diskriminante}
Die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2+px+q
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$ hängt im Wesentlichen davon ab, ob die \anfuehrung{Diskriminante}{}
\mathl{p^2 - 4q}{} eine Quadratwurzel in $K$ besitzt. Für die Lösungen einer kubischen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^3+px+q
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spielt nach
Satz 1.2
der Ausdruck
\mathl{-4p^3-27q^2}{}
\zusatzklammer {bzw. das $-3$-fache davon} {} {}
eine wichtige Rolle. Beide Terme fallen unter das allgemeine Konzept einer Diskriminante, das wir kurz vorstellen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und seien
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} Elemente in $L$. Dann wird die \definitionswort {Diskriminante}{} von
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ =} { \det \left( \operatorname{Spur} { \left( b_ib_j \right) }_{i,j} \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}
Die Produkte
\mathbed {b_ib_j} {}
{1 \leq i,j \leq n} {}
{} {} {} {,}
sind dabei Elemente in $L$, von denen man jeweils die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
nimmt, die in $K$ liegt. Man erhält also eine quadratische
\mathl{n \times n}{-}Matrix über $K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten eine quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^2+pX+q
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\zusatzklammer {unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist} {} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L = K[X]/ { \left( X^2+pX+q \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir bestimmen die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
dieser Erweiterung zur Basis
\mathl{1,x}{.} Wir müssen also die
\definitionsverweis {Spuren}{}{}
der Elemente $1,x,x^2= -px-q$ bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind
\mathlistdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} {} {\begin{pmatrix} 0 & -q \\ 1 & -p \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} -q & pq \\ -p & p^2-q \end{pmatrix}} {}
und ihre Spuren sind
$2,\, -p$ und $p^ 2-2q$.
Somit ist die Diskriminante gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (1 ,x)
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} 2 & -p \\ -p & p^2-2q \end{pmatrix}
}
{ =} { 2 { \left( p^2-2q \right) } - p^2
}
{ =} { p^2-4q
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die kubische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^3 +px+q
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\zusatzklammer {unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist} {} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {kubische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L = K[X]/ { \left( X^3+pX+q \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir bestimmen die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
dieser Erweiterung zur Basis
\mathl{1,x,x^2}{.} Die Matrix zu $x$ ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & 0 & -q \\ 1 & 0 & -p \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}{,} die Matrix zu $x^2$ ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & -q & 0 \\ 0 & -p & -q \\1 & 0 & -p \end{pmatrix}}{,} die Matrix zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^3
}
{ = }{-px-q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\begin{pmatrix} -q & 0 & pq \\ -p & -q & p^2 \\0 & -p & -q \end{pmatrix}}{,} die Matrix zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^4
}
{ = }{ -px^2-qx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & pq & q^2 \\ -q & p^2 & 2pq \\-p & -q & p^2 \end{pmatrix}}{.} Die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
ist daher die Determinante der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 0 & -2p \\ 0 & -2p & -3q \\-2p & -3q & 2p^2 \end{pmatrix}} { , }
also gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3 { \left( -4p^3-9q^2 \right) } -2p(-4p^2)
}
{ =} { -4p^3 -27q^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist die Zahl $D$ aus
Satz 1.2.
}
Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und seien
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} und
\mathl{c_1 , \ldots , c_n}{}
$K$-\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $L$. Der Basiswechsel werde durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{Tb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ { \left( t_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Dann gilt für die
\definitionsverweis {Diskriminanten}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (c_1 , \ldots , c_n)
}
{ =} { (\det( T))^2 \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ = }{\sum_{j = 1}^n t_{ij} b_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_ic_k
}
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n t_{ij} b_j \right) } { \left( \sum_{m = 1}^n t_{km} b_m \right) }
}
{ =} { \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} b_jb_m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ \defeq }{S(c_ic_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{jm}
}
{ \defeq }{S(b_jb_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
der $K$-Linearität der Spur
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} {S(c_ic_k)
}
{ =} {S { \left( \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} b_jb_m \right) }
}
{ =} { \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} S(b_jb_m )
}
{ =} { \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} b_{jm}
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ { \left( c_{ik} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ { \left( b_{jm} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ { \left( t_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {T^{\rm transp} B T
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Behauptung folgt dann aus
dem Determinantenmultiplikationssatz
und
Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
{Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Basis/Charakteristik 0/Nicht 0/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
{ Siehe Aufgabe 8.22. }