Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 8

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Norm und Spur bei einer Körpererweiterung

Ein Element einer Körpererweiterung (oder allgemeiner einer -Algebra ) definiert durch Multiplikation eine -lineare Abbildung

Dies erlaubt es, Begriffe und Methoden der linearen Algebra anzuwenden. Zu einer -Basis von wird die Multiplikationsabbildung durch eine -Matrix beschrieben, wobei den Grad der Körpererweiterung bezeichnet. Für liegt bezüglich einer beliebigen Basis die Streckungsmatrix

vor, für beliebige Elemente werden die Matrizen ziemlich kompliziert, was man teilweise durch Wahl einer geeigneten Basis korrigieren kann. Insbesondere sind Konzepte relevant, die nicht von der Wahl einer Basis abhängen.


Beispiel  

Es sei ein irreduzibles Polynom über einem Körper und

die zugehörige endliche Körpererweiterung. Nach Proposition 7.9 bilden die Potenzen , , (wobei die Restklasse von bezeichnet) eine -Basis von . Zu einem wird die Multiplikationsabbildung

bezüglich der gegebenen Basis durch die -Matrix beschrieben, deren Spalten aus den Koordinanten zu den Produkten , , bezüglich der Basis besteht. Wegen stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von selbst. Zu ist diese Matrix gleich

beschrieben. Zu einem beliebigen Element

wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an


In der folgenden Aussage wird zu einem -Vektorraum mit der (nichtkommutative) Ring bezeichnet, der aus allen -linearen Abbildungen besteht und wobei die Multiplikations durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist.


Lemma

Sei eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist die Abbildung

ein injektiver Ringhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe 8.6.


Über diese Konstruktion bzw. Zuordnung werden Norm und Spur von erklärt.

Bemerkung  

Zu einer linearen Abbildung

eines endlichdimensionalen -Vektorraumes in sich wird die Determinante und die Spur wie folgt berechnet. Man wählt eine -Basis und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische -Matrix

mit und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

gegeben, und dies ist nach Aufgabe 8.17 ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.



Definition  

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Determinante der -linearen Abbildung

die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.


Definition  

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Spur der -linearen Abbildung

die Spur von . Sie wird mit bezeichnet.


Beispiel  

Es sei eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer -ten Wurzel aus einem Element entstehe. Es sei die Restklasse von . Dann wird bezüglich der -Basis von durch die Matrix

beschrieben. Somit ist die Norm von gleich (das Vorzeichen hängt davon ab, ob gerade oder ungerade ist) und die Spur ist .




Lemma  

Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

folgende Eigenschaften:

  1. Es ist .
  2. Für ist , wobei den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
  3. Es ist genau dann, wenn ist.

Beweis  

  1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Lemma 8.2.
  2. Zu einer beliebigen Basis von wird die Multiplikation mit einen Element durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ist. Die Determinante ist daher nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
  3. Die eine Richtung ist klar, sei also . Dann ist eine Einheit in und daher ist die Multiplikation mit eine bijektive -lineare Abbildung , und deren Determinante ist nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).




Lemma  

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Dann hat die Spur

folgende Eigenschaften:

  1. Die Spur ist -linear, also und für .
  2. Für ist .

Beweis  

Dies folgt aus den Definitionen.


Norm und Spur sind Elemente aus .



Lemma  

Es sei eine endliche Körpererweiterung und mit der zugehörigen -linearen Abbildung

Dann stimmt das Minimalpolynom von mit dem Minimalpolynom von überein.

Beweis  

Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm

von Ringhomomorphismen, in dem horizontal die Einsetzungshomomorphismen stehen, und Lemma 8.2.


Im Minimalpolynom zu finden sich Norm und Spur in folgender Weise wieder.



Satz  

Sei eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad . Dann hat das Minimalpolynom von die Gestalt

Beweis  

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch definierten -linearen Multiplikationsabbildung

haben beide den Grad . Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, so dass sie übereinstimmen. Sei bezüglich einer Basis von diese lineare Abbildung durch die Matrix gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

Zum Koeffizienten leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen -mal die Variable vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich , so dass also gilt. Setzt man in der obigen Gleichung , so ergibt sich, dass die Determinante der negierten Matrix ist, woraus folgt.

Weitere Beschreibungen des Minimalpolynoms und der Norm und der Spur finden sich in Korollar 13.9 und Korollar 13.10.



Diskriminante

Die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung über einem Körper hängt im Wesentlichen davon ab, ob die „Diskriminante“ eine Quadratwurzel in besitzt. Für die Lösungen einer kubischen Gleichung spielt nach Satz 1.2 der Ausdruck (bzw. das -fache davon) eine wichtige Rolle. Beide Terme fallen unter das allgemeine Konzept einer Diskriminante, das wir kurz vorstellen.


Definition  

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch

definiert.

Die Produkte , , sind dabei Elemente in , von denen man jeweils die Spur nimmt, die in liegt. Man erhält also eine quadratische -Matrix über . Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein.


Beispiel  

Wir betrachten eine quadratische Gleichung und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige quadratische Körpererweiterung . Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis . Wir müssen also die Spuren der Elemente bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind

und ihre Spuren sind und . Somit ist die Diskriminante gleich



Beispiel  

Wir betrachten die kubische Gleichung

und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige kubische Körpererweiterung . Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis . Die Matrix zu ist , die Matrix zu ist , die Matrix zu ist , die Matrix zu ist . Die Diskriminante ist daher die Determinante der Matrix

also gleich

Dies ist die Zahl aus Satz 1.2.


Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.



Lemma  

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien und zwei -Basen von . Der Basiswechsel werde durch mit der Übergangsmatrix beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

Beweis  

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen . Damit gilt

Wir schreiben und . Wegen der -Linearität der Spur gilt

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen , und als

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).



Satz

Sei ein Körper der Charakteristik und sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine -Basis von . Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe 8.22.



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