Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 8

Norm und Spur bei einer Körpererweiterung

Ein Element ${}f\in L$ einer Körpererweiterung (oder allgemeiner einer ${}K$- Algebra ${}A$) ${}K\subseteq L$ definiert durch Multiplikation eine ${}K$- lineare Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy.$

Dies erlaubt es, Begriffe und Methoden der linearen Algebra anzuwenden. Zu einer ${}K$- Basis von ${}L$ wird die Multiplikationsabbildung durch eine ${}(n\times n)$- Matrix beschrieben, wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichnet. Für ${}f\in K$ liegt bezüglich einer beliebigen Basis die Streckungsmatrix

${\begin{pmatrix}f&0&0&\ldots &0\\0&f&0&\ldots &0\\0&0&f&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&f\end{pmatrix}}$

vor, für beliebige Elemente ${}f\in L$ werden die Matrizen ziemlich kompliziert, was man teilweise durch Wahl einer geeigneten Basis korrigieren kann. Insbesondere sind Konzepte relevant, die nicht von der Wahl einer Basis abhängen.

Beispiel

Es sei ${}F=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom über einem Körper ${}K$ und

${}K\subseteq K[X]/{\left(X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}=:L\,$

die zugehörige endliche Körpererweiterung. Nach Proposition 7.9 bilden die Potenzen ${}x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, (wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichnet) eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zu einem ${}g\in L$ wird die Multiplikationsabbildung

$\mu _{g}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto gy,$

bezüglich der gegebenen Basis durch die ${}(n\times n)$- Matrix beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten ${}g\cdot x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, bezüglich der Basis besteht. Wegen ${}x^{0}=1$ stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von ${}g$ selbst. Zu ${}x$ ist diese Matrix gleich

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&-a_{0}\\1&0&\ldots &0&-a_{1}\\0&1&\ldots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Zu einem beliebigen Element

${}g=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}\,$

wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an

${\begin{pmatrix}b_{0}&-a_{0}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{1}&b_{0}-a_{1}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{2}&b_{1}-a_{2}b_{n-1}&\ldots &*&*\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{n-1}&b_{n-2}-a_{n-1}b_{n-1}&\ldots &*&*\end{pmatrix}}.$

In der folgenden Aussage wird zu einem ${}K$- Vektorraum mit ${}\operatorname {End} _{K}\,(V)$ der (nichtkommutative) Ring bezeichnet, der aus allen ${}K$-linearen Abbildungen besteht und wobei die Multiplikations durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist die Abbildung

$L\longrightarrow \operatorname {End} _{K}\,(L),\,f\longmapsto \mu _{f},$

ein injektiver Ringhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe 8.6.

$\Box$

Über diese Konstruktion bzw. Zuordnung werden Norm und Spur von ${}f$ erklärt.

Bemerkung  

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eines endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraumes ${}V$ in sich wird die Determinante ${}\det(\varphi )$ und die Spur ${}S(\varphi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine ${}K$- Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische ${}n\times n$-Matrix

${\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{n,1}&\cdots &\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}$

mit ${}\lambda _{ij}\in K$ und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

${}S(\varphi )=\lambda _{1,1}+\lambda _{2,2}+\cdots +\lambda _{n,n}\,$

gegeben, und dies ist nach Aufgabe 8.17 ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Determinante der ${}K$- linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Spur der ${}K$- linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Beispiel

Es sei ${}K\subseteq L=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer ${}n$-ten Wurzel aus einem Element ${}a\in K$ entstehe. Es sei ${}x$ die Restklasse von ${}X$. Dann wird ${}\mu _{x}$ bezüglich der ${}K$- Basis ${}1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von ${}L$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&a\\1&0&\ldots &0&0\\0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$

beschrieben. Somit ist die Norm von ${}x$ gleich ${}\pm a$ (das Vorzeichen hängt davon ab, ob ${}n$ gerade oder ungerade ist) und die Spur ist ${}0$.

Lemma

Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

$N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Es ist ${}N(fg)=N(f)N(g)$.
2. Für ${}f\in K$ ist ${}N(f)=f^{n}$, wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist ${}N(f)=0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Lemma 8.2.
2. Zu einer beliebigen Basis von ${}L$ wird die Multiplikation mit einen Element ${}f\in K$ durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ${}f$ ist. Die Determinante ist daher ${}f^{n}$ nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
3. Die eine Richtung ist klar, sei also ${}f\neq 0$. Dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}L$ und daher ist die Multiplikation mit ${}f$ eine bijektive ${}K$-lineare Abbildung ${}L\rightarrow L$, und deren Determinante ist ${}\neq 0$ nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

$\Box$

Lemma

Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat die Spur

$S\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist ${}K$- linear, also ${}S(f+g)=S(f)+S(g)$ und ${}S(\lambda f)=\lambda S(f)$ für ${}\lambda \in K$.
2. Für ${}f\in K$ ist ${}S(f)=nf$.

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$\Box$

Norm und Spur sind Elemente aus ${}K$.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}f\in L$ mit der zugehörigen ${}K$- linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto fx.$

Dann stimmt das Minimalpolynom von ${}f$ mit dem Minimalpolynom von ${}\mu _{f}$ überein.

Beweis

Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm

${\begin{matrix}K[X]&{\stackrel {X\mapsto f}{\longrightarrow }}&L&\\&\!\!\!\!\!X\mapsto \mu _{f}\searrow &\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\&&\operatorname {End} _{}\,(L)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Ringhomomorphismen, in dem horizontal die Einsetzungshomomorphismen stehen, und Lemma 8.2.

$\Box$

Im Minimalpolynom zu ${}f\in L$ finden sich Norm und Spur in folgender Weise wieder.

Satz

Sei ${}K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

${}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch ${}f$ definierten ${}K$-linearen Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

haben beide den Grad ${}n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Es sei bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}L$ diese lineare Abbildung ${}\mu _{f}$ durch die Matrix ${}{\left(\lambda _{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

${}\chi _{\mu _{f}}=\det {\begin{pmatrix}X-\lambda _{1,1}&\cdots &-\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-\lambda _{n,1}&\cdots &X-\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$

Zum Koeffizienten ${}a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen ${}(n-1)$-mal die Variable ${}X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich ${}X^{n}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i,i}X^{n-1}+\ldots$, sodass also ${}a_{n-1}=-S(f)$ gilt. Setzt man in der obigen Gleichung ${}X=0$, so ergibt sich, dass ${}a_{0}$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus ${}a_{0}=(-1)^{n}N(f)$ folgt.

$\Box$

Weitere Beschreibungen des Minimalpolynoms und der Norm und der Spur finden sich in Korollar 13.9 und Korollar 13.10.

Diskriminante

Die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung ${}x^{2}+px+q=0$ über einem Körper ${}K$ hängt im Wesentlichen davon ab, ob die „Diskriminante“ ${}p^{2}-4q$ eine Quadratwurzel in ${}K$ besitzt. Für die Lösungen einer kubischen Gleichung ${}x^{3}+px+q=0$ spielt nach Satz 1.2 der Ausdruck ${}-4p^{3}-27q^{2}$ (bzw. das ${}-3$-fache davon) eine wichtige Rolle. Beide Terme fallen unter das allgemeine Konzept einer Diskriminante, das wir kurz vorstellen.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in ${}L$. Dann wird die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$

definiert.

Die Produkte ${}b_{i}b_{j}$, ${}1\leq i,j\leq n$, sind dabei Elemente in ${}L$, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in ${}K$ liegt. Man erhält also eine quadratische ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein.

Beispiel

Wir betrachten eine quadratische Gleichung ${}X^{2}+pX+q=0$ und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige quadratische Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{2}+pX+q\right)}$. Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis ${}1,x$. Wir müssen also die Spuren der Elemente ${}1,x,x^{2}=-px-q$ bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,{\begin{pmatrix}0&-q\\1&-p\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,{\begin{pmatrix}-q&pq\\-p&p^{2}-q\end{pmatrix}}$

und ihre Spuren sind ${}2,\,-p$ und ${}p^{2}-2q$. Somit ist die Diskriminante gleich

${}\triangle (1,x)=\det {\begin{pmatrix}2&-p\\-p&p^{2}-2q\end{pmatrix}}=2{\left(p^{2}-2q\right)}-p^{2}=p^{2}-4q\,.$

Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung

${}x^{3}+px+q=0\,$

und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige kubische Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{3}+pX+q\right)}$. Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis ${}1,x,x^{2}$. Die Matrix zu ${}x$ ist ${}{\begin{pmatrix}0&0&-q\\1&0&-p\\0&1&0\end{pmatrix}}$, die Matrix zu ${}x^{2}$ ist ${}{\begin{pmatrix}0&-q&0\\0&-p&-q\\1&0&-p\end{pmatrix}}$, die Matrix zu ${}x^{3}=-px-q$ ist ${}{\begin{pmatrix}-q&0&pq\\-p&-q&p^{2}\\0&-p&-q\end{pmatrix}}$, die Matrix zu ${}x^{4}=-px^{2}-qx$ ist ${}{\begin{pmatrix}0&pq&q^{2}\\-q&p^{2}&2pq\\-p&-q&p^{2}\end{pmatrix}}$. Die Diskriminante ist daher die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}3&0&-2p\\0&-2p&-3q\\-2p&-3q&2p^{2}\end{pmatrix}},$

also gleich

${}3{\left(-4p^{3}-9q^{2}\right)}-2p(-4p^{2})=-4p^{3}-27q^{2}\,.$

Dies ist die Zahl ${}D$ aus Satz 1.2.

Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}c_{1},\ldots ,c_{n}$ ${}K$- Basen von ${}L$. Der Basiswechsel werde durch ${}c=Tb$ mit der Übergangsmatrix ${}T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$

Beweis

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen ${}c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}$. Damit gilt

${}c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.$

Wir schreiben ${}c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})$ und ${}b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})$. Wegen der ${}K$-Linearität der Spur gilt

${}c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.$

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen ${}C={\left(c_{ik}\right)}$, ${}B={\left(b_{jm}\right)}$ und ${}T={\left(t_{ij}\right)}$ als

${}C=T^{\rm {transp}}BT\,$

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine ${}K$- Basis von ${}L$. Dann ist

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 8.22.

$\Box$

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