Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 8

Norm und Spur bei einer Körpererweiterung

Ein Element  $f\in L$  einer Körpererweiterung (oder allgemeiner einer $K$-Algebra $A$)  $K\subseteq L$  definiert durch Multiplikation eine $K$-lineare Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy.$

Dies erlaubt es, Begriffe und Methoden der linearen Algebra anzuwenden. Zu einer $K$-Basis von $L$ wird die Multiplikationsabbildung durch eine $(n\times n)$-Matrix beschrieben, wobei $n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichnet. Für  $f\in K$  liegt bezüglich einer beliebigen Basis die Streckungsmatrix

$\left(\begin{array}{ccccc}f& 0& 0& \dots & 0\\ 0& f& 0& \dots & 0\\ 0& 0& f& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& f\end{array}\right)$

vor, für beliebige Elemente  $f\in L$  werden die Matrizen ziemlich kompliziert, was man teilweise durch Wahl einer geeigneten Basis korrigieren kann. Insbesondere sind Konzepte relevant, die nicht von der Wahl einer Basis abhängen.

Beispiel

Es sei  $F=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0\in K[X]$  ein irreduzibles Polynom über einem Körper $K$ und

$K\subseteq K[X]/(X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0)=:L$

die zugehörige endliche Körpererweiterung. Nach Proposition 7.9 bilden die Potenzen $x^i$, $0\le i\le n-1$, (wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichnet) eine $K$-Basis von $L$. Zu einem  $g\in L$  wird die Multiplikationsabbildung

${\mu }_g:L⟶L,y⟼gy,$

bezüglich der gegebenen Basis durch die $n\times n$-Matrix beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten $g\cdot x^i$, $0\le i\le n-1$, bezüglich der Basis besteht. Wegen  $x^0=1$  stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von $g$ selbst. Zu $x$ ist diese Matrix gleich

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -a_0\\ 1& 0& \dots & 0& -a_1\\ 0& 1& \dots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right)$

beschrieben. Zu einem beliebigen Element

$g=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots +b_{n-1}{x}^{n-1}$

wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an

$\left(\begin{array}{ccccc}{b}_0& -a_0{b}_{n-1}& \dots & \ast & \ast \\ b_1& b_0-a_1{b}_{n-1}& \dots & \ast & \ast \\ b_2& b_1-a_2{b}_{n-1}& \dots & \ast & \ast \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ b_{n-1}& b_{n-2}-a_{n-1}{b}_{n-1}& \dots & \ast & \ast \end{array}\right).$

In der folgenden Aussage wird zu einem $K$-Vektorraum $V$ mit ${\mathrm{End}}_K(V)$ der (nichtkommutative) Ring bezeichnet, der aus allen $K$-linearen Abbildungen besteht und wobei die Multiplikation durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist die Abbildung

$L⟶{\mathrm{End}}_K(L),f⟼{\mu }_f,$

ein injektiver Ringhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe 8.6.

$◻$

Über diese Konstruktion bzw. Zuordnung werden Norm und Spur von $f$ erklärt.

Bemerkung  

Zu einer linearen Abbildung

$\phi :V⟶V$

eines endlichdimensionalen $K$-Vektorraumes $V$ in sich wird die Determinante $det\left(\phi \right)$ und die Spur $S(\phi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine $K$-Basis  $v_1,\dots ,v_n\in V$  und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische $n\times n$-Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_{1,1}& \cdots & {\lambda }_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_{n,1}& \cdots & {\lambda }_{n,n}\end{array}\right)$

mit  ${\lambda }_{ij}\in K$  und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

$S(\phi )={\lambda }_{1,1}+{\lambda }_{2,2}+\cdots +{\lambda }_{n,n}$

gegeben, und dies ist nach Aufgabe 8.17 ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  $f\in L$  nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

die Norm von $f$. Sie wird mit $N(f)$ bezeichnet.

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  $f\in L$  nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

die Spur von $f$. Sie wird mit $\mathrm{Spur}\left(f\right)$ bezeichnet.

Beispiel

Es sei  $K\subseteq L=K[X]/(X^n-a)$  eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer $n$-ten Wurzel aus einem Element $a\in K$ entstehe. Es sei $x$ die Restklasse von $X$. Dann wird ${\mu }_x$ bezüglich der $K$-Basis $1,x,x^2,\dots ,x^{n-1}$ von $L$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& a\\ 1& 0& \dots & 0& 0\\ 0& 1& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& 0\end{array}\right)$

beschrieben. Somit ist die Norm von $x$ gleich $\pm a$ (das Vorzeichen hängt davon ab, ob $n$ gerade oder ungerade ist) und die Spur ist $0$.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

$N:L⟶K,f⟼N(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Es ist  $N(fg)=N(f)N(g)$. 
2. Für  $f\in K$  ist  $N(f)=f^n$,  wobei $n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist  $N(f)=0$  genau dann, wenn  $f=0$  ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Lemma 8.2.
2. Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einem Element  $f\in K$  durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^n$ nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
3. Die eine Richtung ist klar, sei also  $f\ne 0$.  Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung $L\to L$, und deren Determinante ist $\ne 0$ nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

$◻$

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$. Dann hat die Spur

$S:L⟶K,f⟼S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist $K$-linear, also  $S(f+g)=S(f)+S(g)$  und  $S(\lambda f)=\lambda S(f)$  für  $\lambda \in K$. 
2. Für  $f\in K$  ist  $S(f)=nf$. 

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$◻$

Norm und Spur sind Elemente aus $K$.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und $f\in L$ mit der zugehörigen $K$-linearen Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,x⟼fx.$

Dann stimmt das Minimalpolynom von $f$ mit dem Minimalpolynom von ${\mu }_f$ überein.

Beweis

Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm

$\begin{array}{cccc}K[X]& \stackrel{X\mapsto f}{⟶}& L& \\ & X\mapsto {\mu }_f\searrow & \downarrow \mu & \\ & & {\mathrm{End}}_{}(L)& \end{array}$

von Ringhomomorphismen, in dem horizontal die Einsetzungshomomorphismen stehen, und Lemma 8.2.

$◻$

Im Minimalpolynom zu  $f\in L$  finden sich Norm und Spur in folgender Weise wieder.

Satz

Es sei  $K\subseteq L=K[f]$  eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad $n$.

Dann hat das Minimalpolynom $P$ von $f$ die Gestalt

$P=X^n-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1{)}^{n}N(f).$

Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch $f$ definierten $K$-linearen Multiplikationsabbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

haben beide den Grad $n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Diese lineare Abbildung ${\mu }_f$ sei bezüglich einer Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $L$ durch die Matrix ${\left({\lambda }_{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

${\chi }_{{\mu }_f}{\chi }_{{\mu }_f}=det\left(\begin{array}{ccc}X-{\lambda }_{1,1}& \cdots & -{\lambda }_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ -{\lambda }_{n,1}& \cdots & X-{\lambda }_{n,n}\end{array}\right)=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0.$

Zum Koeffizienten $a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen $(n-1)$-mal die Variable $X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich $X^n-\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i,i}{X}^{n-1}+\dots$, sodass also  $a_{n-1}=-S(f)$  gilt. Setzt man in der obigen Gleichung  $X=0$,  so ergibt sich, dass $a_0$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus  $a_0=(-1{)}^{n}N(f)$  folgt.

$◻$

Weitere Beschreibungen des Minimalpolynoms und der Norm und der Spur finden sich in Korollar 13.9 und Korollar 13.10.

Diskriminante

Die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung  $x^2+px+q=0$  über einem Körper $K$ hängt im Wesentlichen davon ab, ob die „Diskriminante“ $p^2-4q$ eine Quadratwurzel in $K$ besitzt. Für die Lösungen einer kubischen Gleichung  $x^3+px+q=0$  spielt nach Satz 1.2 der Ausdruck $-4p^3-27q^2$ (bzw. das $-3$-fache davon) eine wichtige Rolle. Beide Terme fallen unter das allgemeine Konzept einer Diskriminante, das wir kurz vorstellen.

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_1,\dots ,b_n$ Elemente in $L$. Dann wird die Diskriminante von $b_1,\dots ,b_n$ durch

$\Delta (b_1,\dots ,b_n)=det(\mathrm{Spur}{\left(b_i{b}_j\right)}_{i,j})$

definiert.

Die Produkte $b_i{b}_j$, $1\le i,j\le n$, sind dabei Elemente in $L$, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in $K$ liegt. Man erhält also eine quadratische $n\times n$-Matrix über $K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein.

Beispiel

Wir betrachten eine quadratische Gleichung  $X^2+pX+q=0$  und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige quadratische Körpererweiterung  $K\subseteq L=K[X]/(X^2+pX+q)$.  Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis $1,x$. Wir müssen also die Spuren der Elemente $1,x,x^2=-px-q$ bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& -q\\ 1& -p\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{cc}-q& pq\\ -p& p^2-q\end{array}\right)$

und ihre Spuren sind $2,-p$ und $p^2-2q$. Somit ist die Diskriminante gleich

$\mathrm{△}(1,x)=det\left(\begin{array}{cc}2& -p\\ -p& p^2-2q\end{array}\right)=2(p^2-2q)-p^2=p^2-4q.$

Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung

$x^3+px+q=0$

und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige kubische Körpererweiterung  $K\subseteq L=K[X]/(X^3+pX+q)$.  Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis $1,x,x^2$. Die Matrix zu $x$ ist $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -q\\ 1& 0& -p\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$, die Matrix zu $x^2$ ist $\left(\begin{array}{ccc}0& -q& 0\\ 0& -p& -q\\ 1& 0& -p\end{array}\right)$, die Matrix zu  $x^3=-px-q$  ist $\left(\begin{array}{ccc}-q& 0& pq\\ -p& -q& p^2\\ 0& -p& -q\end{array}\right)$, die Matrix zu  $x^4=-p{x}^2-qx$  ist $\left(\begin{array}{ccc}0& pq& q^2\\ -q& p^2& 2pq\\ -p& -q& p^2\end{array}\right)$. Die Diskriminante ist daher die Determinante der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -2p\\ 0& -2p& -3q\\ -2p& -3q& 2p^2\end{array}\right),$

also gleich

$3(-4p^3-9q^2)-2p(-4p^2)=-4p^3-27q^2.$

Dies ist die Zahl $D$ aus Satz 1.2.

Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_1,\dots ,b_n$ und $c_1,\dots ,c_n$ $K$-Basen von $L$. Der Basiswechsel werde durch  $c=Tb$  mit der Übergangsmatrix  $T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$  beschrieben.

Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

$\Delta (c_1,\dots ,c_n)=(det(T){)}^2\Delta (b_1,\dots ,b_n).$

Beweis

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen  $c_i=\sum _{j=1}^n{t}_{ij}{b}_j$  für jedes $i$. Damit gilt

$c_i{c}_k=\left(\sum _{j=1}^n{t}_{ij}{b}_j\right)\left(\sum _{m=1}^n{t}_{km}{b}_m\right)=\sum _{j,m}{t}_{ij}{t}_{km}{b}_j{b}_m.$

Wir schreiben  $c_{ik}:=S(c_i{c}_k)$  und  $b_{jm}:=S(b_j{b}_m)$.  Wegen der $K$-Linearität der Spur gilt

$c_{ik}=S(c_i{c}_k)=S\left(\sum _{j,m}{t}_{ij}{t}_{km}{b}_j{b}_m\right)=\sum _{j,m}{t}_{ij}{t}_{km}S(b_j{b}_m)=\sum _{j,m}{t}_{ij}{t}_{km}{b}_{jm}.$

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen  $C=\left(c_{ik}\right)$,   $B=\left(b_{jm}\right)$  und  $T=\left(t_{ij}\right)$  als

$C=T^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{p}}BT$

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

$◻$

Satz

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und sei $b_1,\dots ,b_n$ eine $K$-Basis von $L$. Dann ist

$\mathrm{△}(b_1,\dots ,b_n)\ne 0.$

Beweis

Siehe Aufgabe 8.22.

$◻$

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