Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	$\sum$
Punkte	3	3	3	2	8	3	4	2	10	3	3	4	4	2	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine endliche Menge und $\phi :M\to M$ eine Abbildung. Es sei ${\phi }^n$ die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $\phi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen  $m>n\ge 1$  mit  ${\phi }^n={\phi }^m$  gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse die lineare Gleichung

$(2+5\mathrm{i})z=(3-7\mathrm{i})$

über $ℂ$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein Vektorraum und

$v_1,\dots ,v_n$

eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von $V$ bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor $v_i$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\mathrm{\%}$ bei $A$, $10\mathrm{\%}$ wechseln zu $B$, $5\mathrm{\%}$ wechseln zu $C$ und $5\mathrm{\%}$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\mathrm{\%}$ bei $B$, $10\mathrm{\%}$ wechseln zu $A$, $20\mathrm{\%}$ wechseln zu $C$ und $10\mathrm{\%}$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\mathrm{\%}$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10\mathrm{\%}$ wechseln zu $B$ und $20\mathrm{\%}$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\mathrm{\%}$ für ein Abonnement von $A,B$ oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$ der $K$-Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ und es sei  $v\in V$  ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

$F:{\mathrm{Hom}}_K(V,W)⟶W,\phi ⟼F(\phi ):=\phi (v),$

$K$-linear ist.

Aufgabe * (10 (1+2+6+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Für eine $n\times n$-Matrix  $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$  sei

$\delta (M)=\sum _{\pi \in S_n}\mathrm{sgn}(\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}.$

Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit  $\delta (M)=detM$  zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).

a) Es ist  $\delta (E_n)=1$. 

b) $\delta$ ist multilinear in den Zeilen der Matrix.

c) $\delta$ ist alternierend in den Zeilen der Matrix.

d) Man folgere aus a),b),c), dass  $\delta (M)=detM$  ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2$

mit  $a,b,c\in ℝ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,f(1)=0,f(3)=5.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$X^2+(1+4\mathrm{i})X+3+\mathrm{i}$

die Variable $X$ durch die $2\times 2$-Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2-\mathrm{i}& 1+3\mathrm{i}\\ 5& -3+4\mathrm{i}\end{array}\right)$

ersetzt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei  $M\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  eine Matrix mit $n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass  $\lambda \in K$  genau dann ein Eigenwert von $\phi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${\chi }_{\phi }$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ordnung der Matrix

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$

über dem Körper mit $3$ Elementen.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

$7x-4y-2z+3w=5.$