Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	8	3	4	2	10	3	3	4	4	2	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Es sei ${}\varphi ^{n}$ die ${}n$ -fache Hintereinanderschaltung von ${}\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen ${}m>n\geq 1$ mit ${}\varphi ^{n}=\varphi ^{m}$ gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse die lineare Gleichung

{}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein Vektorraum und

v_{1},\ldots ,v_{n}

eine Familie von Vektoren in ${}V$ . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von ${}V$ bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$ , ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ , ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$ , ${}10\%$ wechseln zu ${}A$ , ${}20\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}10\%$ werden Nichtleser.
Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$ , niemand wechselt zu ${}A$ , ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$ , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Es sei ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der ${}K$ - Vektorraum der linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$ und es sei ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\varphi (v),

${}K$ -linear ist.

Aufgabe * (10 (1+2+6+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Für eine ${}n\times n$ - Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}$ sei

{}\delta (M)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.

Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit ${}\delta (M)=\det M$ zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).

a) Es ist ${}\delta (E_{n})=1$ .

b) ${}\delta$ ist multilinear in den Zeilen der Matrix.

c) ${}\delta$ ist alternierend in den Zeilen der Matrix.

d) Man folgere aus a),b),c), dass ${}\delta (M)=\det M$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom

{}f=a+bX+cX^{2}\,

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

X^{2}+(1+4{\mathrm {i} })X+3-{\mathrm {i} }

die Variable ${}X$ durch die ${}2\times 2$ - Matrix

{\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&1+3{\mathrm {i} }\\5&-3+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}

ersetzt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ ist, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.