Kurs:Lineare Algebra/Teil I/15/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 6 1 4 2 4 3 4 4 4 4 1 3 3 2 12 63



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Ring .
  2. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.
  3. Die Dualbasis zu einer gegebenen Basis in einem -Vektorraum .
  4. Eine rationale Funktion über einem Körper .
  5. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .
  6. Eine baryzentrische Kombination in einem affinen Raum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .
  2. Der Satz über die Dimension eines Untervektorraum .
  3. Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.


Aufgabe * (6 (2+1+3) Punkte)

Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.

  1. Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
  2. Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
  3. Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
  4. Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.

a) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

b) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .


Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Untervektorraum gibt, für den die Familie eine Basis bildet.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper . Es sei

für jede -Matrix vom Rang . Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei der Körper mit zwei Elementen. Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

  1. Überführe die Matrixgleichung

    in ein lineares Gleichungssystem.

  2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Dualbasis.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien und quadratische Matrizen über einem Körper . Zeige


Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte die beiden Permutationen

und

Berechne und . Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von . Man gebe die Zyklendarstellung von und von an. Was ist die Ordnung von ?


Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die -Matrizen über einem Körper der Form

mit


Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.