Kurs:Lineare Algebra/Teil I/38/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	7	2	4	3	5	3	4	2	2	4	3	1	2	2	4	2	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Durchschnitt von Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
3. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Die Permutationsgruppe zu einer Menge ${}M$.
5. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.
6. Eine affin unabhängige Familie von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum ${}E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
2. Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.
3. Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.

Aufgabe * weiter

Es sei ${}M$ die Menge der Mäuse und ${}L$ die Menge der Löcher auf einem Feld. Es wird beobachtet, dass jede Maus gewisse Löcher benutzt, andere dagegen vermeidet. Zu einer Teilmenge an Löchern  ${}S\subseteq L$  definieren wir

${}S^{\perp }={\left\{m\in M\mid m{\text{ benutzt alle Löcher aus }}S\right\}}\,,$

und zu einer Teilmenge an Mäusen  ${}T\subseteq M$  definieren wir

${}T^{\perp }={\left\{\ell \in L\mid \ell {\text{ wird von jeder Maus aus }}T{\text{ benutzt}}\right\}}\,.$

1. Beschreibe zu einem Loch  ${}\ell \in L$  die Menge ${}\{\ell \}^{\perp }$ mit einem Satz.
2. Beschreibe die Menge ${}L^{\perp }$ mit einem Satz.
3. Beschreibe die Menge ${}M^{\perp }$ mit einem Satz.
4. Zeige: Zu Teilmengen  ${}S_{1}\subseteq S_{2}$  (in ${}L$) ist

   ${}{\left(S_{1}\right)}^{\perp }\supseteq {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$

5. Zeige: Für eine beliebige Teilmenge  ${}S\subseteq L$  ist

   ${}S\subseteq {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

6. Zeige: Für eine Vereinigung

   ${}S=S_{1}\cup S_{2}\subseteq L\,$

   ist

   ${}{\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }={\left(S_{1}\right)}^{\perp }\cap {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$

7. Gilt für einen Durchschnitt

   ${}S=S_{1}\cap S_{2}\subseteq L\,.$

   die Beziehung

   ${}{\left(S_{1}\cap S_{2}\right)}^{\perp }={\left(S_{1}\right)}^{\perp }\cup {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,?$

8. Gilt für eine beliebige Teilmenge  ${}S\subseteq L$  die Beziehung

   ${}S^{\perp }={\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,?$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Gibt es eine Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {Q}$ für das lineare Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}15\\11\\106\\31\end{pmatrix}}\,?$

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{3}}&1\end{pmatrix}}$

gegeben ist.

a) Skizziere das Bild des Einheitswürfels unter dieser Abbildung.

b) Welche Bildkanten sind zueinander parallel?

c) Wie realistisch ist diese Art der Projektion?

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, wir betrachten die duch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{3}.$

a) Bestimme den Kern von ${}\varphi$.

b) Finde eine Faktorisierung von ${}\varphi$ über ${}K^{2}$, also lineare Abbildungen

$K^{3}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}K^{2}{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}K^{3}$

mit

${}\varphi =\theta \circ \psi \,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Determinante, aufgefasst als Abbildung

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=K^{n^{2}}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

nicht multilinear ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Permutation  ${}\tau \in S_{6}$,  die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}\tau (x)$	${}2$	${}4$	${}3$	${}6$	${}1$	${}5$

gegeben ist.

a) Man gebe die Zyklendarstellung von ${}\tau$ an und bestimme den Wirkungsbereich.

b) Berechne die Ordnung von ${}\tau$.

c) Bestimme die Fehlstände von ${}\tau$ und das Vorzeichen (Signum) von ${}\tau$.

d) Schreibe ${}\tau$ als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von ${}\tau$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom  ${}P\in \mathbb {Q} [X]$  an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt:  ${}P(n)\in \mathbb {Z}$. 

Aufgabe * (1 Punkt)

Man finde ein Polynom ${}f\in \mathbb {R} [X]$ mit  ${}f(0)=0$,   ${}f(1)=1$,   ${}f(-1)=1$  und  ${}f(3)=9$. 

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}$ eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{4}-20X^{2}+16$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte der Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Von einer ${}3\times 3$- Matrix ${}M$ sei das charakteristische Polynom bekannt, nämlich

${}\chi _{M}=(X-5)^{3}\,.$

Kann man ${}M$ auf jordansche Normalform bringen? Wenn ja, auf welche?

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung einer affinen Abbildung mit baryzentrischen Kombinationen.