Kurs:Lineare Algebra/Teil I/46/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	4	2	4	4	4	8	3	3	3	5	7	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Disjunktheit von Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
3. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum ist.
6. Eine affin-lineare Abbildung

   $\psi \colon E\longrightarrow F$

   zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über den ${}K$- Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.
2. Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.
3. Der Satz über die Charakterisierung einer diagonalisierbaren Abbildung.

Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe Beispiele für mathematische Symbole, die

1. immer in der gleichen Bedeutung,
2. in variierender Bedeutung,

eingesetzt werden.

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

1.  ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$,   ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, 

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}b$	${}e$	${}f$	${}h$	${}e$	${}g$	${}c$	${}d$

2.  ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$,   ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, 

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}\,$	${}d$	${}e$	${}a$	${}b$	${}a$

3.  ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$,   ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, 

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}f$	${}d$	${}e$	${}h$	${}b$	${}a$

4.  ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$,   ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, 

   ${}x$	${}3$	${}7$	${}1$	${}4$	${}6$	${}8$	${}5$	${}2$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}d$	${}f$	${}a$	${}e$	${}h$	${}b$	${}g$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über ${}\mathbb {Q}$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&-2\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum  ${}U\subseteq V$. 

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$.

a) Zeige, dass die Addition

$V\times V\longrightarrow V,\,(v,w)\longmapsto v+w,$

${}K$- linear ist.

b) Es sei nun ${}V$ endlichdimensional mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Bestimme die beschreibende Matrix der Addition bezüglich der Basen ${}(v_{1},0),\ldots ,(v_{n},0),(0,v_{1}),\ldots ,(0,v_{n})$ vorne und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ hinten.

Aufgabe * (8 (4+2+2) Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum.

a) Zeige, dass es Linearformen ${}L_{1},\ldots ,L_{r}$ auf ${}V$ mit

${}U=\bigcap _{i=1}^{r}\operatorname {kern} L_{i}\,$

gibt.

b) Zeige, dass jeder Untervektorraum  ${}U\subseteq V$  der Kern einer linearen Abbildung auf ${}V$ (in einen ${}K^{r}$) ist.

c) Zeige, dass jeder Untervektorraum des ${}K^{n}$ der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  ${}z\in {\mathbb {C} }$  und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto zw,$

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung ${}\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auffasst.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es ist  ${}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$.  Gibt es neben der ${}1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${}x$, die die Gleichung

${}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$

erfüllen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$-X^{3}+4X^{2}+2X-5$

die Variable ${}X$ durch die ${}2\times 2$- Matrix

${\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

$M={\begin{pmatrix}4&0&3\\0&-1&0\\2&0&3\end{pmatrix}}$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}9&5&1\\0&9&3\\0&0&9\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}9&1&0\\0&9&1\\0&0&9\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$. Für  ${}j=1,\ldots ,k$  sei durch

${}Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}P_{i}\,,$

mit  ${}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1$  für jedes ${}j$, eine Familie von baryzentrischen Kombinationen der ${}P_{i}$ gegeben. Es seien  ${}b_{1},\ldots ,b_{k}\in K$  mit  ${}\sum _{j=1}^{k}b_{j}=1$.  Zeige, dass man

$\sum _{j=1}^{k}b_{j}Q_{j}$

als baryzentrische Kombination der ${}P_{i}$ schreiben kann.