Kurs:Lineare Algebra/Teil I/48/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	2	4	4	3	4	3	4	0	2	5	0	10	0	0	3	54

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Eine Linearkombination in einem ${}K$- Vektorraum.
3. Die Dualbasis zu einer gegebenen Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Eine Streckung auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
6. Die Dimension eines affinen Raumes ${}E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Basiswechsel.
2. Der Satz über isomorphe Vektorräume.
3. Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.

Aufgabe * (1 Punkt)

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.

Aufgabe (3 Punkte)

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.

Aufgabe * (2 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position ${}(-2,3)\in \mathbb {Z} ^{2}$ (die Koordinaten seien mit ${}x$ und ${}y$ bezeichnet) und schaut in die positive ${}x$-Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um ${}180$ Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um ${}360$ Grad und macht einen Schritt nach links.

Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+7y&\,\,\,\,-z&-3w&=&0\\x&+y&+2z&\,\,\,\,-w&=&1\\&+2y&-3z&+2w&=&3\\&\,\,\,\,-y&-5z&+4w&=&-2\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&2&0\\4&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Dualbasis.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Für eine ${}n\times n$- Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}$ sei

${}\delta (M)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

Zeige die Gleichheit

${}\delta (M)=\delta {\left({M^{\text{tr}}}\right)}\,$

direkt, ohne die Gleichheit ${}\delta (M)=\det M$ zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P\neq 0$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$.
2. Es gibt ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$, ${}Q\neq 0$, mit ${}Q(z)=0$.
3. Es gibt ein normiertes Polynom ${}R\in \mathbb {Q} [X]$ mit ${}R(z)=0$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}1\\7\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$

als Urbild über ${}(1,0)$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.