Kurs:Lineare Algebra/Teil I/50/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	2	5	7	5	5	5	1	2	3	2	6	6	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}13$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}12$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}8,6$ Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$

für  ${}n\in \mathbb {N}$  und beliebige Elemente  ${}a,b\in K$  in einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}m,n,p\in \mathbb {N} _{+}$.  Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times p}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times p}(K),\,(A,B)\longmapsto A\circ B,$

die einem Paar, bestehend aus einer ${}m\times n$-Matrix ${}A$ und einer ${}n\times p$-Matrix ${}B$ ihr Matrixprodukt ${}A\circ B$ zuordnet.

a) Gibt es Situationen, wo ${}\Psi$ injektiv ist?

b) Zeige, dass ${}\Psi$ bei  ${}p=1$  surjektiv ist.

c) Zeige, dass ${}\Psi$ bei  ${}m=n=p$  surjektiv ist.

d) Beschreibe eine Situation, wo ${}\Psi$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}5\\0\\3\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}0\\-1\\4\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (5 Punkte)Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/50/Klausur/kontrolle (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ändern

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige

${}\det M=\det A\cdot \det D\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]_{\leq d}$ der ${}K$- Vektorraum aller Polynome vom Grad ${}\leq d$. Zu  ${}z\in K$  bezeichne ${}\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an ${}z$, also die Abbildung

$\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$

Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise, dass der Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ selbst kein Körper ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ reelle Zahlen mit  ${}\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$  und mit  ${}\gamma ^{2}+\delta ^{2}=1$. 

a) Berechne

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\beta &-\alpha \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\gamma &\delta \\\delta &-\gamma \end{pmatrix}}.$

b) Erfüllen die Einträge der ersten Spalte der Produktmatrix die gleiche Bedingung?

c) Ist diese Produktmatrix wieder von der gleichen Bauart?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}\pi &0&0\\0&3,14&0\\0&0&3,14\end{pmatrix}}\,$

die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten.

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ von ${}M$.

b) Berechne die Potenzen ${}M^{2},M^{3},M^{4}$.

c) Überprüfe den Satz von Cayley-Hamilton für ${}M$.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{4}$ der Ausdruck

${\frac {3}{4}}{\begin{pmatrix}2\\17\\-17\\6\end{pmatrix}}-{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}9\\9\\0\\9\end{pmatrix}}+{\frac {3}{11}}{\begin{pmatrix}1\\3\\2\\-3\end{pmatrix}}+{\frac {81}{308}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$

eine baryzentrische Kombination ist.