Kurs:Lineare Algebra/Teil II/15/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 5 2 3 5 0 0 6 0 3 4 3 0 5 42



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Standardskalarprodukt auf dem .
  2. Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
  3. Eine zyklische Gruppe .
  4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element in einer Menge mit einer Äquivalenzrelation .
  5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  6. Den durch Körperwechsel aus einem -Vektorraum gewonnenen -Vektorraum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
  2. Der Satz des Thales.
  3. Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Der sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des , aber nicht als Teilraum von realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des realisieren kann.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ein Eigenvektor zum Eigenwert und ein Eigenvektor zum Eigenwert von ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des einen Eigenvektor zum Eigenwert besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte den Vektorraum aller (geordneten, auch ausgearteten) Dreiecke im , es geht also um die Menge aller Tupel . Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine Norm?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein normaler Endomorphismus. Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die eigentliche Symmetriegruppe des Achsenkreuzes im .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Formel für die Potenzen