Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 1/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.

Ein abstraktes und
ein konkretes Mengendiagramm.




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. .

Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Mengen

die Mengen

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und drei Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die beiden Mengen

und

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

wie in Beispiel *****.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.

  1. Eine Kreislinie .
  2. Ein Geradenstück .
  3. Eine Gerade .
  4. Eine Parabel .

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?


Zu einer endlichen Menge bezeichnet man mit die Anzahl der Elemente von .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und zwei disjunkte endliche Mengen. Zeige, dass die Anzahl der (disjunkten) Vereinigung gleich der Summe der beiden Anzahlen der beiden Mengen ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und zwei endliche Teilmengen einer Menge . Zeige, dass die Formel

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und endliche Mengen. Zeige, dass die Produktmenge ebenfalls endlich ist, und dass die Beziehung

gilt.


In den folgenden Aufgaben soll das Beweisprinzip der Induktion geübt werden.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Die Städte seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen Mengen.

  1. Modus Barbara: Aus und folgt .
  2. Modus Celarent: Aus und folgt .
  3. Modus Darii: Aus und folgt .
  4. Modus Ferio: Aus und folgt .
  5. Modus Baroco: Aus und folgt .


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien und zwei Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. Es gibt eine Menge mit ,
  6. Es gibt eine Menge mit .


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine -Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch Längsrillen und Querrillen in () mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer -Schokolade aus genau Teilungsschritten besteht.


Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine Menge und es seien , , endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge sei

Beweise die Anzahlformel



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