Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 32/latex
\setcounter{section}{32}
\zwischenueberschrift{Orthogonalität}
Mit dem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen, ausdrücken.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Man nennt zwei Vektoren
\mathl{v,w \in V}{} \definitionswort {orthogonal}{} zueinander
\zusatzklammer {oder \definitionswort {senkrecht}{}} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputbemerkung
{}
{
Dass die über das
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
definierte Orthogonalität der anschaulichen Orthogonalität entspricht, kann man sich folgendermaßen klar machen
\zusatzfussnote {Wenn man akzeptiert, dass die über das Skalarprodukt definierte Länge der anschaulichen Länge entspricht, was auf dem elementar-geometrischen Satz des Pythagoras beruht} {.} {.}
Zu
\definitionsverweis {orthogonalen Vektoren}{}{}
\mathl{u,v \in V}{} gilt, dass $v$ zu den beiden Punkten
\mathkor {} {u} {und} {-u} {}
den gleichen Abstand besitzt. Es ist ja
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {v-u} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle v-u , v-u \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle + \left\langle u , u \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v+u , v+u \right\rangle
}
{ =} { \Vert {v+u} \Vert^2
}
}
{}
{}{.}
Die Umkehrung gilt ebenfalls, siehe
Aufgabe 32.1.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Kapitolinischer Pythagoras.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Pythagoras von Samos lebte im sechsten vorchristlichen Jahrhundert. \anfuehrung{Sein}{} Satz war aber schon tausend Jahre früher in Babylon bekannt.} }
\bildlizenz { Kapitolinischer Pythagoras.jpg } {} {Galilea} {de Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
Wir rufen uns den Satz des Pythagoras in Erinnerung.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pythagoras large font.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Pythagoras large font.svg } {} {KaiMartin} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Der folgende Satz ist der \stichwort {Satz des Pythagoras} {,} genauer die Skalarproduktversion davon, die trivial ist. Die Beziehung zum klassischen, elementar-geometrischen Satz des Pythagoras ist diffizil, da es nicht selbstverständlich ist, dass unser über das Skalarprodukt eingeführter Orthogonalitätsbegriff und unser ebenso eingeführter Längenbegriff mit dem entsprechenden intuitiven Begriff übereinstimmt. Dass unser Normbegriff der wahre Längenbegriff ist, beruht wiederum auf dem Satz des Pythagoras in einem cartesischen Koordinatensystem, was den klassischen Satz voraussetzt.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum mit Skalarprodukt/Satz des Pythagoras/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es seien
\mathl{u,v \in V}{} Vektoren, die aufeinander
\definitionsverweis {senkrecht}{}{}
stehen.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {u+v} \Vert^2
}
{ =} { \Vert {u} \Vert^2 + \Vert {v} \Vert^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {u+v} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle u+v , u+v \right\rangle
}
{ =} { \left\langle u , u \right\rangle + 2 \left\langle u , v \right\rangle + \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} { \Vert {u} \Vert^2 + \Vert {v} \Vert^2
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \left\langle v , u \right\rangle=0 \text{ für alle } u \in U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {orthogonale Komplement}{} von $U$.
}
Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum ist selbst wieder ein Untervektorraum, siehe
Aufgabe 32.6.
Wenn ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $U$ gegeben ist, so gehört ein Vektor
\mathl{v\in V}{} bereits dann zum orthogonalen Komplement von $U$, wenn er auf allen Vektoren des Erzeugendensystems senkrecht steht, siehe
Aufgabe 32.7.
\inputbeispiel{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum
\mathl{\R e_i}{} zum Standardvektor $e_i$ besteht das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
aus allen Vektoren
\mathl{\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_{i-1}\\0\\ x_{i+1}\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}}{,} deren $i$-ter Eintrag $0$ ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum
\mathl{\R v}{} zu einem Vektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\ \vdots\\a_n \end{pmatrix}
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der
\definitionsverweis {linearen Gleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x_1 + \cdots + a_nx_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bestimmt. Der Orthogonalraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { (\R v)^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots \\ x_n \end{pmatrix} \mid a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt die Dimension $n-1$, es handelt sich also um eine sogenannte
\definitionsverweis {Hyperebene}{}{.}
Man nennt dann $v$ einen \stichwort {Normalenvektor} {} für die Hyperebene $U$.
Zu einem Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der durch eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\zusatzklammer {oder ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}} {} {}
\mathbed {v_i = \begin{pmatrix} a_{i1} \\\vdots\\ a_{in} \end{pmatrix}} {}
{i=1 , \ldots , k} {}
{} {} {} {,}
gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{i j } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die aus den $v_i$ gebildete Matrix ist.
}
\zwischenueberschrift{Orthonormalbasen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von $V$ heißt \definitionswort {Orthogonalbasis}{,} wenn
\mathdisp {\left\langle v_i , v_j \right\rangle = 0 \text{ für } i \neq j} { }
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von $V$ heißt \definitionswort {Orthonormalbasis}{,} wenn
\mathdisp {\left\langle v_i , v_i \right\rangle= 1 \text{ für alle } i \in I \text{ und } \left\langle v_i , v_j \right\rangle= 0 \text{ für } i \neq j} { }
gilt.
}
Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm $1$ und sie stehen senkrecht aufeinander. Eine Orthonormalbasis ist also eine \stichwort {Orthogonalbasis} {,} bei der zusätzlich die Normbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v_i} \Vert
}
{ =} { \sqrt{ \left\langle v_i , v_i \right\rangle }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt ist. Man kann problemlos von einer Orthogonalbasis zu einer Orthonormalbasis übergehen, indem man jedes $v_i$ durch die Normierung
\mathl{{ \frac{ v_i }{ \Vert {v_i} \Vert } }}{} ersetzt
\zusatzklammer {da $v_i$ Teil einer Basis ist, ist die Norm von $0$ verschieden} {} {.}
Eine Familie von Vektoren, die jeweils die Norm $1$ haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, aber nicht unbedingt eine Basis bilden, nennt man ein \stichwort {Orthonormalsystem} {.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Koeffizienten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$.}
\faktfolgerung {Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors $v$ bezüglich dieser Basis durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i \in I} \left\langle v , u_i \right\rangle u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{j \in I } a_j u_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wobei alle $a_j$ bis auf endlich viele gleich $0$ sind} {} {.}
Die Behauptung ergibt sich somit aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , u_i \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{j \in I} a_j u_j , u_i \right\rangle
}
{ =} { \sum_{j \in I} a_j \left\langle u_j , u_i \right\rangle
}
{ =} { a_i
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir werden Orthonormalbasen hauptsächlich im endlichdimensionalen Fall betrachten. Im $\R^n$ ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. In der Ebene $\R^2$ ist eine Orthonormalbasis von der Form
\mathl{\begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -b \\a \end{pmatrix}}{} oder
\mathl{\begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b \\-a \end{pmatrix}}{,} wobei jeweils
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2 +b^2
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt sein muss. Beispielsweise ist
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 5 } } \\ { \frac{ 4 }{ 5 } } \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} - { \frac{ 4 }{ 5 } } \\ { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix}}{} eine Orthonormalbasis. Das folgende \stichwort {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren} {} erlaubt es, ausgehend von einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes eine Orthonormalbasis zu konstruieren, die die gleiche
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
von Untervektorräumen bestimmt.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und es sei
\mathl{v_1 ,v_2 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{u_1,u_2 , \ldots , u_n}{} von $V$ mit\zusatzfussnote {Hier bezeichnet
\mathl{\langle - \rangle}{} den von den Vektoren
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{,}
nicht das Skalarprodukt} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_1,v_2 , \ldots , v_i \rangle
}
{ =} { \langle u_1,u_2 , \ldots , u_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{i=1 , \ldots , n}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss man lediglich $v_1$ normieren, also durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ = }{ { \frac{ v_1 }{ \Vert {v_1} \Vert } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren
\mathl{u_1 , \ldots , u_i}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \langle u_1 , \ldots , u_i \rangle
}
{ = }{ \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bereits konstruiert. Wir setzen
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ w_{i+1}
}
{ =} { v_{i+1} - \left\langle v_{i+1} , u_1 \right\rangle u_1 - \cdots - \left\langle v_{i+1} , u_i \right\rangle u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser Vektor steht wegen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \left\langle w_{i+1} , u_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_{i+1} - \left\langle v_{i+1} , u_1 \right\rangle u_1 - \cdots - \left\langle v_{i+1} , u_i \right\rangle u_i , u_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_{i+1} , u_j \right\rangle - \sum_{k \leq i, k \neq j} \left\langle v_{i+1} , u_k \right\rangle \left\langle u_k , u_j \right\rangle - \left\langle v_{i+1} , u_j \right\rangle \left\langle u_j , u_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_{i+1} , u_j \right\rangle - \left\langle v_{i+1} , u_j \right\rangle
}
{ =} { 0
}
}
{}
{}{}
senkrecht auf allen
\mathl{u_1 , \ldots , u_i}{} und offenbar ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle u_1 , \ldots , u_i ,w_{i+1} \rangle
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_i ,v_{i+1} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Normieren von
\mathl{w_{i+1}}{} erhält man
\mathl{u_{i+1}}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {2x+3y-z
} {.}
Als Unterraum des $\R^3$ trägt $V$ ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von $V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 2 \end{pmatrix} \text{ und } v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix}} { . }
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v_1} \Vert
}
{ = }{ \sqrt{5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ =} { { \frac{ v_1 }{ \Vert {v_1} \Vert } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \\0\\ { \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem\zusatzfussnote {Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe
Beispiel 32.10} {.} {}
Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren
setzen wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ w_2
}
{ =} {v_2 - \left\langle v_2 , u_1 \right\rangle u_1
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix} - \left\langle \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \\0\\ { \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } \end{pmatrix} \right\rangle \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \\0\\ { \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \\0\\ { \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} { \frac{ 6 }{ 5 } } \\0\\ { \frac{ 12 }{ 5 } } \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ 5 } } \\1\\ { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {w_2} \Vert
}
{ =} { \Vert {\begin{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ 5 } } \\1\\ { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix} } \Vert
}
{ =} { \sqrt{ { \frac{ 36 }{ 25 } } + 1 + { \frac{ 9 }{ 25 } } }
}
{ =} { \sqrt{ { \frac{ 70 }{ 25 } } }
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{14} }{ \sqrt{5} } }
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_2
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{14 } }} \begin{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ 5 } } \\1\\ { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ \sqrt{70} } } \\{ \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{14} } }\\ { \frac{ 3 }{ \sqrt{70} } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zweite Vektor der Orthonormalbasis.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalbasis/Existenz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
in $V$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 32.9.
Man kann auch stets in einem endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt ein vorgegebenes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen, siehe
Aufgabe 32.22.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum mit Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Direkte Summe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein endlichdimensionaler
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { U \oplus U^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
d.h. $V$ ist die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
aus $U$ und seinem
\definitionsverweis {orthogonalen Komplement}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aus
\mathl{u \in U \cap U^{ { \perp } }}{} folgt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle u , u \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist die Summe direkt. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_k}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $U$, die wir zu einer Orthonormalbasis
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$ ergänzen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { \langle u_{k+1} , \ldots , u_n \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist $V$ die Summe aus den Unterräumen.
Zur folgenden Aussage vergleiche auch
Lemma 15.6
und
Aufgabe 32.26.
{Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Zu
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{U'
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ \supseteq} { U'^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0^{ { \perp } }
}
{ = }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^{ { \perp } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U^{ { \perp } } \right) } ^{ { \perp } }
}
{ =} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( U^{ { \perp } } \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) } - \operatorname{dim}_{ } { \left( U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 32.24. }
\zwischenueberschrift{Orthogonale Projektionen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Orthogonal_Decomposition_qtl1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Orthogonal_Decomposition_qtl1.svg } {} {Quartl} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Zu einem endlichdimensionalen
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\definitionsverweis {orthogonales Komplement}{}{}
$U^{ { \perp } }$ und der Raum hat die
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { U \oplus U^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Projektion}{}{}
\maabbdisp {p_U} {V} {U
} {}
längs $U^{ { \perp } }$ heißt die \stichwort {orthogonale Projektion} {} auf $U$. Diese hängt allein von $U$ ab, da ja das orthogonale Komplement eindeutig bestimmt ist. Häufig bezeichnet man auch die Abbildung
\mathl{V \rightarrow U \rightarrow V}{} als orthogonale Projektion auf $U$. Bei einer orthogonalen Projektion wird ein Punkt auf seinen \stichwort {Lotfußpunkt} {} auf $U$ abgebildet.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Unterraum/Orthogonale Projektion/Orthonormalbasis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_m}{} von $U$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
auf $U$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_U(v)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m \left\langle v , u_i \right\rangle u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir ergänzen die Basis zu einer Orthonormalbasis
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$. Das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
zu $U$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { \langle u_{m+1} , \ldots , u_n \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 32.8
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \left\langle v , u_i \right\rangle u_i
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^m \left\langle v , u_i \right\rangle u_i \right) } + { \left( \sum_{i = m+1}^n \left\langle v , u_i \right\rangle u_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathl{\sum_{i = 1}^m \left\langle v , u_i \right\rangle u_i}{} die Projektion auf $U$ längs $U^{ { \perp } }$.