Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 1

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.

Übungsaufgaben

Es sei ${}LA$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, ${}GA$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und ${}RA$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

${}GA\setminus RA$ .
${}{\left(LA\cap GA\right)}\cup {\left(LA\cap RA\right)}$ .
${}RA\setminus {\left(GA\cup RA\right)}$ .
${}RA\setminus {\left(GA\cup LA\right)}$ .
${}{\left(RA\setminus GA\right)}\cap {\left({\left(LA\cup GA\right)}\setminus {\left(GA\cap RA\right)}\right)}$ .

Aufgabe

Bestimme für die Mengen

M=\{a,b,c,d,e\},\,N=\{a,c,e\},\,P=\{b\},\,R=\{b,d,e,f\}

die Mengen

${}M\cap N$ ,
${}M\cap N\cap P\cap R$ ,
${}M\cup R$ ,
${}{\left(N\cup P\right)}\cap R$ ,
${}N\setminus R$ ,
${}{\left(M\cup P\right)}\setminus {\left(R\setminus N\right)}$ ,
${}{\left({\left(P\cup R\right)}\cap N\right)}\cap R$ ,
${}{\left(R\setminus P\right)}\cap {\left(M\setminus N\right)}$ .

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$ .

${}{\left\{(x,y)\mid x=5\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid x\geq 4{\text{ und }}y=3\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}\geq 2\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =3{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq 2\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid 3x\geq y{\text{ und }}5x\leq 2y\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid xy\geq 1{\text{ und }}y\geq x^{3}\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid 0=0\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid 0=1\right\}}$ .

Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?

Aufgabe *

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

{}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.

Aufgabe

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

${}A\cup \emptyset =A\,,$
${}A\cap \emptyset =\emptyset \,,$
${}A\cap B=B\cap A\,,$
${}A\cup B=B\cup A\,,$
${}A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\,,$
${}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\,,$
${}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\,,$
${}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\,,$
${}A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\,.$

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ disjunkte Mengen und ${}x\in M$ . Zeige, dass auch ${}M\setminus \{x\}$ und ${}N\cup \{x\}$ disjunkt sind und dass

{}M\cup N={\left(M\setminus \{x\}\right)}\cup {\left(N\cup \{x\}\right)}\,

gilt.

Aufgabe

Skizziere die Menge ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x-7y=3\right\}}$ und die Menge ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x+2y=5\right\}}$ .
Bestimme den Durchschnitt ${}M\cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.

Aufgabe

Wir betrachten die beiden Mengen

{}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0\right\}}\,

und

{}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 7x-5y-4z=0\right\}}\,.

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

{}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0{\text{ und }}7x-5y-4z=0\right\}}\,

wie in Beispiel 1.2.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge
${\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 3x+5y=6\right\}}$

nicht leer ist.
Zeige, dass die Menge
${\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 6x+9y=5\right\}}$

leer ist.

Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.

Eine Kreislinie ${}K$ .
Ein Geradenstück ${}I$ .
Eine Gerade ${}G$ .
Eine Parabel ${}P$ .

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Aufgabe *

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

{}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ disjunkte Mengen und ${}C$ eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit

{}C\times (A\uplus B)=(C\times A)\uplus (C\times B)\,.

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ disjunkte Mengen. Zeige die Gleichheit

{}(A\uplus B)\times (A\uplus B)=(A\times A)\uplus (A\times B)\uplus (B\times A)\uplus (B\times B)\,.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$ .

${}{\left\{(x,y)\mid \vert {2x}\vert =5{\text{ und }}\vert {y}\vert \geq 3\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid -3x\geq 2y{\text{ und }}4x\leq -5y\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}-y+1\leq 4\right\}}$ ,
${}{\left\{(x,y)\mid xy=2{\text{ oder }}x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ .

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Skizziere die Menge ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid -5x+2y=6\right\}}$ und die Menge ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 7x-5y=4\right\}}$ .
Bestimme den Durchschnitt ${}M\cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.

Aufgabe (1 Punkt)

Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus ${}A\cup C=B\cup C$ auf ${}A=B$ schließen?

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen ${}A,B,C$ Mengen.

Modus Barbara: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\subseteq A$ .
Modus Celarent: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\cap A=\emptyset$ .
Modus Darii: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\cap A\neq \emptyset$ .
Modus Ferio: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\not \subseteq A$ .
Modus Baroco: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}B\not \subseteq C$ folgt ${}A\not \subseteq C$ .