Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 1

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.

Ein abstraktes und

Übungsaufgaben

Aufgabe

ein konkretes Mengendiagramm.

Es sei ${}LA$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, ${}GA$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und ${}RA$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

1. ${}GA\setminus RA$.
2. ${}{\left(LA\cap GA\right)}\cup {\left(LA\cap RA\right)}$.
3. ${}RA\setminus {\left(GA\cup RA\right)}$.
4. ${}RA\setminus {\left(GA\cup LA\right)}$.
5. ${}{\left(RA\setminus GA\right)}\cap {\left({\left(LA\cup GA\right)}\setminus {\left(GA\cap RA\right)}\right)}$.

Aufgabe

Bestimme für die Mengen

$M=\{a,b,c,d,e\},\,N=\{a,c,e\},\,P=\{b\},\,R=\{b,d,e,f\}$

die Mengen

1. ${}M\cap N$,
2. ${}M\cap N\cap P\cap R$,
3. ${}M\cup R$,
4. ${}{\left(N\cup P\right)}\cap R$,
5. ${}N\setminus R$,
6. ${}{\left(M\cup P\right)}\setminus {\left(R\setminus N\right)}$,
7. ${}{\left({\left(P\cup R\right)}\cap N\right)}\cap R$,
8. ${}{\left(R\setminus P\right)}\cap {\left(M\setminus N\right)}$.

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid x=5\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid x\geq 4{\text{ und }}y=3\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}\geq 2\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =3{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq 2\right\}}$,
5. ${}{\left\{(x,y)\mid 3x\geq y{\text{ und }}5x\leq 2y\right\}}$,
6. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}$,
7. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}$,
8. ${}{\left\{(x,y)\mid xy\geq 1{\text{ und }}y\geq x^{3}\right\}}$,
9. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=0\right\}}$,
10. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=1\right\}}$.

Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?

Aufgabe *

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

1. ${}A\cup \emptyset =A\,,$

2. ${}A\cap \emptyset =\emptyset \,,$

3. ${}A\cap B=B\cap A\,,$

4. ${}A\cup B=B\cup A\,,$

5. ${}A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\,,$

6. ${}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\,,$

7. ${}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\,,$

8. ${}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\,,$

9. ${}A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\,.$

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ disjunkte Mengen und ${}x\in M$. Zeige, dass auch ${}M\setminus \{x\}$ und ${}N\cup \{x\}$ disjunkt sind und dass

${}M\cup N={\left(M\setminus \{x\}\right)}\cup {\left(N\cup \{x\}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

1. Skizziere die Menge ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x-7y=3\right\}}$ und die Menge ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x+2y=5\right\}}$.
2. Bestimme den Durchschnitt ${}M\cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.

Aufgabe

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0\right\}}\,$

und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 7x-5y-4z=0\right\}}\,.$

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0{\text{ und }}7x-5y-4z=0\right\}}\,$

wie in Beispiel 1.2.

Aufgabe

1. Zeige, dass die Menge

   ${\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 3x+5y=1\right\}}$

   nicht leer ist.

2. Zeige, dass die Menge

   ${\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 6x+9y=5\right\}}$

   leer ist.

Aufgabe *

Auf der Dating-Plattform „Catch your match“ ist eine Menge ${}M$ von Personen registriert. Es gibt ferner eine Menge ${}E$ von Eigenschaften, über die die Personen verfügen oder nicht (was man dem Profil entnehmen kann). Zu einer Teilmenge an Eigenschaften ${}W\subseteq E$ (Wunscheigenschaften) definieren wir

${}W^{\perp }={\left\{m\in M\mid m{\text{ besitzt alle Eigenschaften aus }}W\right\}}\,$

und zu einer Teilmenge ${}S\subseteq M$ definieren wir

${}S^{\perp }={\left\{e\in E\mid {\text{ jeder Mensch aus }}S{\text{ besitzt die Eigenschaft }}e\right\}}\,.$

1. Beschreibe zu einer Eigenschaft ${}e\in E$ die Menge ${}\{e\}^{\perp }$ mit einem Satz.
2. Beschreibe zu einer Person ${}m\in M$ die Menge ${}\{m\}^{\perp }$ mit einem Satz.
3. Warum ist vermutlich ${}E^{\perp }=\emptyset$?
4. Zeige: Zu Teilmengen ${}W_{1}\subseteq W_{2}$ (in ${}E$) ist

   ${}{\left(W_{1}\right)}^{\perp }\supseteq {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$

5. Zeige: Für eine beliebige Teilmenge ${}W\subseteq E$ ist

   ${}W\subseteq {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

6. Zeige: Für eine Vereinigung

   ${}W=W_{1}\cup W_{2}\subseteq E\,$

   ist

   ${}{\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cap {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$

7. Gilt für einen Durchschnitt

   ${}W=W_{1}\cap W_{2}\subseteq E\,.$

   die Beziehung

   ${}{\left(W_{1}\cap W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cup {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,?$

8. Gilt für eine beliebige Teilmenge ${}W\subseteq E$ die Beziehung

   ${}W^{\perp }={\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,?$

Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben?

Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.

1. Eine Kreislinie ${}K$.
2. Ein Geradenstück ${}I$.
3. Eine Gerade ${}G$.
4. Eine Parabel ${}P$.

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Aufgabe *

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ disjunkte Mengen und ${}C$ eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit

${}C\times (A\uplus B)=(C\times A)\uplus (C\times B)\,.$

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ disjunkte Mengen. Zeige die Gleichheit

${}(A\uplus B)\times (A\uplus B)=(A\times A)\uplus (A\times B)\uplus (B\times A)\uplus (B\times B)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen. Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ genau ${}2^{n}$ Elemente besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {2x}\vert =5{\text{ und }}\vert {y}\vert \geq 3\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid -3x\geq 2y{\text{ und }}4x\leq -5y\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}-y+1\leq 4\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=2{\text{ oder }}x^{2}+y^{2}=1\right\}}$.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

1. Skizziere die Menge ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid -5x+2y=6\right\}}$ und die Menge ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 7x-5y=4\right\}}$.
2. Bestimme den Durchschnitt ${}M\cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.

Aufgabe (1 Punkt)

Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus ${}A\cup C=B\cup C$ auf ${}A=B$ schließen?

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen ${}A,B,C$ Mengen.

1. Modus Barbara: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\subseteq A$.
2. Modus Celarent: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\cap A=\emptyset$.
3. Modus Darii: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\cap A\neq \emptyset$.
4. Modus Ferio: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\not \subseteq A$.
5. Modus Baroco: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}B\not \subseteq C$ folgt ${}A\not \subseteq C$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A_{1},A_{2}\subseteq M$ und ${}B_{1},B_{2}\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A_{1}\times B_{1}\right)}\cap {\left(A_{2}\times B_{2}\right)}={\left(A_{1}\cap A_{2}\right)}\times {\left(B_{1}\cap B_{2}\right)}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}A$ und ${}B$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B$,
2. ${}A\cap B=A$,
3. ${}A\cup B=B$,
4. ${}A\setminus B=\emptyset$,
5. Es gibt eine Menge ${}C$ mit ${}B=A\cup C$,
6. Es gibt eine Menge ${}D$ mit ${}A=B\cap D$.

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