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Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 1/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.

Ein abstraktes und




Übungsaufgaben

ein konkretes Mengendiagramm.

Es sei die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .



Bestimme für die Mengen

die Mengen

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. .



Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. .

Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?


Es seien und Mengen. Beweise die Identität



Es seien und Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.



Es seien und disjunkte Mengen und . Zeige, dass auch und disjunkt sind und dass

gilt.



  1. Skizziere die Menge und die Menge .
  2. Bestimme den Durchschnitt zeichnerisch und rechnerisch.



Wir betrachten die beiden Mengen

und

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

wie in Beispiel 1.2.



  1. Zeige, dass die Menge

    nicht leer ist.

  2. Zeige, dass die Menge

    leer ist.



Auf der Dating-Plattform „Catch your match“ ist eine Menge von Personen registriert. Es gibt ferner eine Menge von Eigenschaften, über die die Personen verfügen oder nicht (was man dem Profil entnehmen kann). Zu einer Teilmenge an Eigenschaften (Wunscheigenschaften) definieren wir

und zu einer Teilmenge definieren wir

  1. Beschreibe zu einer Eigenschaft die Menge mit einem Satz.
  2. Beschreibe zu einer Person die Menge mit einem Satz.
  3. Warum ist vermutlich ?
  4. Zeige: Zu Teilmengen (in ) ist
  5. Zeige: Für eine beliebige Teilmenge ist
  6. Zeige: Für eine Vereinigung

    ist

  7. Gilt für einen Durchschnitt

    die Beziehung

  8. Gilt für eine beliebige Teilmenge die Beziehung


Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben?

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.

  1. Eine Kreislinie .
  2. Ein Geradenstück .
  3. Eine Gerade .
  4. Eine Parabel .

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?



Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit



Es seien und disjunkte Mengen und eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit



Es seien und disjunkte Mengen. Zeige die Gleichheit



Es sei eine endliche Menge mit Elementen. Zeige, dass die Potenzmenge genau Elemente besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .



  1. Skizziere die Menge und die Menge .
  2. Bestimme den Durchschnitt zeichnerisch und rechnerisch.



Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus auf schließen?



Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen Mengen.

  1. Modus Barbara: Aus und folgt .
  2. Modus Celarent: Aus und folgt .
  3. Modus Darii: Aus und folgt .
  4. Modus Ferio: Aus und folgt .
  5. Modus Baroco: Aus und folgt .



Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit



Es seien und Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. Es gibt eine Menge mit ,
  6. Es gibt eine Menge mit .