Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{p-Integrierbarkeit}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl und $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {X} { {\mathbb K}
} {}
heißt
\definitionswortpraemath {p}{ integrierbar }{,}
wenn
\mathl{\int_X \betrag { f }^p d \mu}{} endlich ist.
}
Der Menge aller $p$-integrierbaren Funktionen wird mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathcal{L}^p(X)
}
{ =} { \mathcal {L}^p(X, {\mathcal A } , \mu)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezeichnet, es handelt sich um einen ${\mathbb K}$-Vektorraum.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\N$ als
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Zählmaß}{}{.}
Die Funktionen
\maabbdisp {f} {\N} { {\mathbb K}
} {}
sind einfach die ${\mathbb K}$-wertigen Folgen, diese sind automatisch messbar. Die
$p$-\definitionsverweis {Integierbarkeit}{}{}
ist in diesem Fall einfach die $p$-Summierbarkeit, es geht also um diejenigen Folgen $f$, für die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert_p
}
{ =} { \sum_{n \in \N} \betrag { f_n }^p
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Die $f_n$ sind von daher eher als Reihenglieder denn als Folgenglieder anzusehen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
handelt es sich um die
\definitionsverweis {absolute Konvergenz}{}{}
der Reihe bzw. schlicht um die Summierbarkeit, für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spricht man von quadratsummierbaren Folgen. Die
\definitionsverweis {harmonische Reihe}{}{}
ist nicht summierbar, aber $2$-summierbar und sogar $p$-summierbar für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Vektorraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Menge $\mathcal{L}^p(X)$ der
$p$-\definitionsverweis {integrierbaren Funktionen}{}{}
ein
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.1. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}
Zu einer
$p$-\definitionsverweis {integrierbaren Funktion}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert_p
}
{ \defeq} { { \left( \int_X \betrag { f }^p d \mu \right) }^{1/p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswortpraemath {p}{ Norm }{}
von $f$.
}
\inputbemerkung
{}
{
Häufig möchte man auch für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu
Lemma 16.3
entsprechende Funktionenräume mit einer entsprechenden Halbnorm zur Verfügung haben. Zu einer
\definitionsverweis {messbaren Funktion}{}{}
\maabb {f} {X} {\R
} {}
auf einem
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal A }, \mu)}{} setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert_\infty
}
{ \defeq} { \inf { \left( b, \, \mu (f^{-1}(\R_{>b})) = 0 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Zahl
\zusatzklammer {die eventuell $\infty$ sein kann} {} {}
nennt man auch das \stichwort {wesentliche Supremum} {} von $f$. Die entscheidende Eigenschaft ist, dass $f$ zwar auch Werte oberhalb dieses wesentlichen Supremums annehmen kann, aber nur auf einer Nullmenge. Man nennt $f$ \stichwort {wesentlich beschränkt} {,} wenn ihr wesentliches Supremum eine reelle Zahl ist. Mit ${\mathcal L}^\infty$ bezeichnet man den Vektorraum der wesentlich beschränkten Funktionen auf $X$, auf diesem ist $\Vert {-} \Vert$ eine
\definitionsverweis {Halbnorm}{}{.}
}
{Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}
Dann sind für eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{}
\maabb {f} {X} { {\mathbb K}
} {}
folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fast überall.
}{Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X \betrag { f }^p d \mu
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X \betrag { f }^p d \mu
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.2. }
Wir werden zeigen, dass die $p$-Norm eine
\definitionsverweis {Halbnorm}{}{}
auf ${\mathcal L}^p$ ist und daher nach
Lemma 15.11
auf einem geeigneten
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
eine Norm ist. Die folgende Aussage heißt \stichwort {Höldersche Abschätzung} {} oder \stichwort {Höldersche Ungleichung} {.}
\inputfaktbeweis
{Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p,q
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ p } } + { \frac{ 1 }{ q } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}
Es seien
\maabbdisp {f,g} {X} {\R_{\geq 0}
} {}
\definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{,}
die $p$- bzw. $q$-integrierbar seien.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X fg d \mu
}
{ =} { \Vert {fg} \Vert_1
}
{ \leq} { \Vert {f} \Vert_p \cdot \Vert {g} \Vert_q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert_p
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage nach
Lemma 16.6
klar, wir können also von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert_p ,\Vert {g} \Vert_p
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausgehen. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wenden wir auf
\mathkor {} {A = { \frac{ \betrag { f(x) } }{ \Vert {f} \Vert_p } }} {und } {B = { \frac{ \betrag { g(x) } }{ \Vert {g} \Vert_q } }} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ AB
}
{ \leq} {{ \frac{ A^p }{ p } } + { \frac{ B^q }{ q } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 20.25 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))} {} {}
an und erhalten
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \frac{ 1 }{ \Vert {f} \Vert_p \cdot \Vert {g} \Vert_q } } \int_X \betrag { fg } d \mu
}
{ =} { \int_X { \frac{ \betrag { f } }{ \Vert {f} \Vert_p } } \cdot { \frac{ \betrag { g } }{ \Vert {g} \Vert_q } } d \mu
}
{ \leq} { \int_X { \frac{ \betrag { f }^p }{ p \Vert {f} \Vert^p_p } } + { \frac{ \betrag { g }^q }{ q \Vert {g} \Vert^q_q } } d \mu
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ p \Vert {f} \Vert^p_p } } \int_X \betrag { f }^p d \mu + { \frac{ 1 }{ q \Vert {g} \Vert^q_q } } \int_X \betrag { g }^q d \mu
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ p } } + { \frac{ 1 }{ q } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt die Behauptung.
\inputfaktbeweis
{Maßraum/Minkowskische Ungleichung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und es sei $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}
Es seien
\maabbdisp {f,g} {X} {\R
} {}
$p$-\definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f+g} \Vert_p
}
{ \leq} { \Vert {f} \Vert_p + \Vert {g} \Vert_p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ < }{p
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für die anderen Fälle siehe die Aufgaben. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f+g} \Vert_p
}
{ \leq} { \Vert { \betrag { f } + \betrag { g } } \Vert_p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
können wir $f$ und $g$ als reellwertig und nichtnegativ annehmen. Es sei $q$ die durch die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ p } } + { \frac{ 1 }{ q } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bestimmte Zahl, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ =} { { \frac{ p }{ p-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
Lemma 16.7
folgt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert {f+g} \Vert_p^p
}
{ =} { \int_X { \left( f+g \right) }^p d \mu
}
{ =} { \int_X f { \left( f+g \right) }^{p-1} + g { \left( f+g \right) }^{p-1} d \mu
}
{ =} { \Vert {f { \left( f+g \right) }^{p-1} } \Vert_1 + \Vert {g { \left( f+g \right) }^{p-1} } \Vert_1
}
{ \leq} { \Vert {f} \Vert_p \cdot \Vert { { \left( f+g \right) }^{p-1} } \Vert_q + \Vert {g} \Vert_p \cdot \Vert { { \left( f+g \right) }^{p-1} } \Vert_q
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \left( \Vert {f} \Vert_p + \Vert {g} \Vert_p \right) } \Vert { { \left( f+g \right) }^{p-1} } \Vert_q
}
{ =} { { \left( \Vert {f} \Vert_p + \Vert {g} \Vert_p \right) } { \left( \int_X { \left( f+g \right) }^{(p-1)q} d \mu \right) }^{1/q}
}
{ =} { { \left( \Vert {f} \Vert_p + \Vert {g} \Vert_p \right) } { \left( \int_X { \left( f+g \right) }^{p} d \mu \right) }^{(p-1)/p}
}
{ =} { { \left( \Vert {f} \Vert_p + \Vert {g} \Vert_p \right) } \Vert { f+g} \Vert_p^{p-1}
}
}
{}{.}
Wir können nun mit
\mathl{\Vert { f+g} \Vert_p^{p-1}}{} kürzen
\zusatzklammer {wenn diese Zahl gleich $0$ ist, stimmt die Aussage sowieso} {} {.}
\inputfaktbeweis
{Maßraum/p-integrierbar/Halbnorm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein Maßraum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\Vert {-} \Vert_p$ auf dem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$\mathcal{L}^p(X)$ der
$p$-\definitionsverweis {integrierbaren}{}{}
Funktionen eine
\definitionsverweis {Halbnorm}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Dreiecksabschätzung ist Lemma 16.8, die anderen Eigenschaften sind klar.
Zu einem
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
$X$ betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathcal{N}
}
{ =} { { \left\{ f:X \rightarrow {\mathbb K} \text{ messbar} \mid f = 0 \text{ fast überall } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
der aus allen messbaren Funktionen besteht, für die die Menge
\mathl{{ \left\{ x \in X \mid f(x) \neq 0 \right\} }}{} eine
\definitionsverweis {Nullmenge}{}{}
ist. Nach
Lemma 16.6
stimmt dieser Raum mit dem Raum aller Funktionen überein, für die die $p$-Norm gleich $0$ ist. Daher liegt für jede reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Unterraumbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal N}
}
{ \subseteq} { {\mathcal L}^p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor, und ${ \mathcal N}$ entspricht für jeden ${\mathcal L}^p$ dem Untervektorraum ${\mathcal Z}$ aus
Lemma 15.11.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
$(X, {\mathcal A }, \mu)$ und einer
\definitionsverweis {reellen Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert man die
\definitionswortpraemath {L^p}{ Räume }{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L^p(X)
}
{ \defeq} { {\mathcal L}^p(X)/{\mathcal N}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\N$ als
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Zählmaß}{}{,}
siehe
Beispiel 16.2.
Dabei ist die Nullfolge die einzige Folge, deren Träger das Maß $0$ besitzt, d.h. es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal N}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es erübrigt sich der Übergang von ${\mathcal L}^p(X)$ nach $L^p(X)$.
}
\inputfaktbeweis
{Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Normierter Vektorraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
$(X, {\mathcal A }, \mu)$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist der
\definitionsverweis {Lebesgueraum}{}{}
$L^p(X, \mu)$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert_p
}
{ \defeq} { { \left( \int_X \betrag { f }^p d \mu \right) }^{1/p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 16.3
ist $\mathcal{L}^p(X)$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
auf dem
\mathl{\Vert {-} \Vert_p}{} nach
Lemma 16.8
eine Halbnorm ist. Nach
Lemma 16.6
besteht ${\mathcal N}$ genau aus den Funktionen, deren Norm gleich $0$ ist. Deshalb folgt die Aussage aus
Lemma 15.11.
Wegen der Identifizierung von Funktionen, die sich nur in einer Nullmenge unterscheiden, kann man bei Funktionsklassen nicht unmittelbar von punktweiser Konvergenz sprechen. Man kann allerdings davon sprechen, dass fast überall punktweise Konvergenz vorliegt. Die folgende Aussage sichert, dass dies auch auf $L^p(X)$ eine wohldefinierte Eigenschaft ist.
{Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien $f,g$ messbare Funktionen und seien $f_n$ und $g_n$ Folgen von messbaren Funktionen auf $X$.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fast überall und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ = }{ g_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fast überall.}
\faktfolgerung {Dann konvergiert $f_n$ fast überall gegen $f$ genau dann, wenn $g_n$ fast überall gegen $g$ konvergiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.9. }
Entsprechend kann man ähnliche Sprechweisen über messbare Funktionen auf $X$ auf Funktionsklassen in $L^p(X)$ übertragen.
\inputfaktbeweis
{Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ eine Folge von
\definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{}
auf $X$, die
\definitionsverweis {fast überall}{}{}
gegen die messbare Funktion $f$ konvergiere.}
\faktvoraussetzung {Es gebe ein reellwertiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ L^p(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das fast überall für alle $\betrag { f_n }$ eine obere Schranke sei.}
\faktfolgerung {Dann konvergiert $f_n$ auch in $L^p(X)$ gegen $f$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f_n }
}
{ \leq }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sichert einerseits, dass die $f_n$ zu $L^p(X)$ gehören, und andererseits, dass auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f }
}
{ \leq }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fast überall gilt, weshalb wiederum $f$ zu $L^p(X)$ gehört. Es konvergiert
\mathl{\betrag { f-f_n }}{} und damit auch
\mathl{\betrag { f-f_n }^p}{} fast überall gegen $0$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f-f_n }^p
}
{ \leq} { (2g)^p
}
{ =} { 2^p g^p
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ L^p(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
können wir auf die Folge $\betrag { f-f_n }^p$
den Satz von der majorisierten Konvergenz
anwenden und erhalten $\Vert {f-f_n} \Vert_p \rightarrow 0$, also konvergiert $f_n$ in der $p$-Norm gegen $f$.
\inputfaktbeweis
{Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenreihe/Normabschätzung/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $g_n$ eine Folge von Funktionen in ${\mathcal L}^p(X)$ derart, dass die reelle Reihe
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty \Vert {g_n} \Vert_p}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann konvergiert die Funktionenreihe
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty g_n}{} fast überall und auch bezüglich der $p$-Norm gegen eine Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ {\mathcal L}^p(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{ \sum_{n = 0}^\infty \Vert {g_n} \Vert_p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Partialsummen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h_m
}
{ =} { \sum_{n = 0 }^m \betrag { g_n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Grenzfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h
}
{ =} { \lim_{m \rightarrow \infty} h_m
}
{ =} { \sum_{n = 0 }^\infty \betrag { g_n }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die auch den Wert $\infty$ annehmen kann. Daher ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^p
}
{ =} { \lim_{m \rightarrow \infty} h^p_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
dem Satz von der monotonen Konvergenz
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X h^p d \mu
}
{ =} { \lim_{m \rightarrow \infty} \int_X h^p_m d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für Potenzieren mit dem Exponenten $1/p$ und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {h} \Vert_p
}
{ =} { \lim_{m \rightarrow \infty} \Vert {h_m} \Vert_p
}
{ =} { \lim_{m \rightarrow \infty} \Vert { \sum_{n = 0 }^m \betrag { g_n } } \Vert_p
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\sum_{n = 0}^m \betrag { g_n }} \Vert_p
}
{ \leq} { \sum_{n = 0}^m \Vert {g_n } \Vert_p
}
{ \leq} { b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $m$ ist dies beschränkt. Es folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ {\mathcal L}^p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und insbesondere ist $h^p$ integrierbar. Dies bedeutet, dass $h$ allenfalls auf einer Nullmenge den Wert $\infty$ annimmt. Die Funktionenreihe
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty \betrag { g_n }}{} ist also außerhalb einer Nullmenge punktweise konvergent und daher ist nach
Lemma 16.14
auch die Funktionenreihe
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty g_n}{} außerhalb einer Nullmenge punktweise konvergent gegen eine Funktion $g$. Mit
Lemma 16.14
folgt, dass auch Konvergenz bezüglich der $p$-Norm vorliegt.
Die folgende Aussage heißt Vollständigkeitssatz von Fischer-Riesz.
\inputfaktbeweis
{Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Vollständig/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Lebesgueraum $L^p(X)$ der
$p$-\definitionsverweis {integrierbaren}{}{}
Funktionen
\definitionsverweis {vollständig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge von
\zusatzklammer {Äquivalenzklassen von} {} {}
$p$-integrierbaren Funktionen auf $X$, die bezüglich der $p$-Norm $\Vert {-} \Vert_p$ eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
bilden. Da wir zu einer Teilfolge übergehen können, können wir
\zusatzklammer {nach neuer Indizierung} {} {}
annehmen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f_{n+1} -f_n} \Vert_p
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_n
}
{ = }{ f_{n+1} -f_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^\infty \Vert {g_n} \Vert_p
}
{ \leq} { \sum_{n = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ 2^n } }
}
{ \leq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 16.15
konvergiert die Reihe $\sum_{n = 0}^\infty g_n$ fast überall und bezüglich der $p$-Norm gegen eine Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ {\mathcal L}^p(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher konvergiert die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ =} { f_0 + \sum_{i = 0}^{n-1} (f_{i+1}- f_i)
}
{ =} { f_0 +\sum_{i = 0}^{n-1} g_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $f_0+g$ in den beiden beschriebenen Sinnen.
Diese Aussage besagt also, dass ein Lebesgueraum ein
\definitionsverweis {Banachraum}{}{}
ist.