Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Kompaktheit}
Bisher haben wir den Kompaktheitsbegriff nur für abgeschlossene und beschränkte Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verwendet.
Teilmengen eines
\definitionsverweis {euklidischen Raumes}{}{,}
die sowohl
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
sind, nennt man kompakt. Auf
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{,}
die nicht durch eine Metrik gegeben sind, kann man nicht von beschränkt sprechen, aber auch bei einem metrischen Raum, der keine Teilmenge eines $\R^n$ ist, führen die beiden Eigenschaften abgeschlossen und beschränkt nicht sehr weit. Jeder metrische Raum ist in sich selbst abgeschlossen und jede Metrik kann man so abändern, dass sie beschränkt wird, ohne dass die Topologie sich ändert. Schlagkräftiger ist das folgende rein topologische Konzept.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
$X$ heißt \definitionswort {kompakt}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {überdeckungskompakt}{}} {} {,}
wenn es zu jeder offenen Überdeckung
\mathdisp {X= \bigcup_{i \in I} U_i \, \, \, \text{ mit } U_i \text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }I} { }
eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{i \in J} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
Diese Eigenschaft nennt man manchmal auch \stichwort {überdeckungskompakt} {.} Häufig nimmt man zu kompakt noch die Eigenschaft Hausdorffsch mit hinzu. Es sei betont, dass diese Eigenschaft
\betonung{nicht}{} besagt, dass es eine endliche Überdeckung aus offenen Mengen gibt
\zusatzklammer {es gibt immer die triviale offene Überdeckung mit dem Gesamtraum} {} {,}
sondern dass man, wenn irgendeine irgendwie indizierte offene Überdeckung vorliegt, dann nur eine endliche Teilmenge aus der Indexmenge für die Überdeckung nötig ist.
{Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Es sei $Y$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $Y$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $X$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 17.21. }
{Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter Raum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{,}
die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage.}
\faktfolgerung {Dann ist $Y$ ebenfalls kompakt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 17.3. }
Eine Variante des Kompaktheitsbegriffes ist die sogenannte \stichwort {Folgenkomapktheit} {,} die besagt, dass jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Nach
Aufgabe 2.9
ist dies im Fall einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{}
\zusatzklammer {es genügt eine abzählbare Umgebungsbasis für jeden Punkt} {} {}
äquivalent dazu, dass jede Folge einen Häufungspunkt besitzt. Wir werden hier hauptsächlich Situationen besprechen, in denen überdeckungskompakt und folgenkompakt übereinstimmen.
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $X$ genau dann
\definitionsverweis {kompakt}{}{,}
wenn jede Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $X$ einen
\definitionsverweis {Häu\-fungspunkt}{}{}
\zusatzklammer {in $X$} {} {}
besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei $X$ kompakt und sei eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegeben.
Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ U_y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{y \in X} U_y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^n U_{y_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.} Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da $X$ eine
\definitionsverweis {abzählbare Basis}{}{}
besitzt, gibt es nach
Aufgabe 2.8
eine abzählbare Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{i \in J} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ = }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Nehmen wir an, dass die Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in \N} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigcup_{i = 0}^n U_i
}
{ \neq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mathbed {x_n \in X} {mit}
{x_n \not\in \bigcup_{i =0}^n U_i} {}
{} {} {} {.}
Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt $x$. Da eine Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in \N} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorliegt, gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $x$ ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in $U_k$. Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Folgenglieder $x_n$ nicht zu $U_k$ gehören.}
{}
Der folgende Satz heißt \stichwort {Satz von Heine-Borel} {.}
\inputfaktbeweis
{Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$T$ ist
\definitionsverweis {überdeckungskompakt}{}{.}
}{Jede
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $T$ besitzt einen
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
in $T$.
}{Jede
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $T$ besitzt eine in $T$
\definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{.}
}{$T$ ist
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
und
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz von (1) und (2) wurde allgemeiner in
Lemma 17.4
bewiesen, für die Existenz einer abzählbaren Basis siehe
Aufgabe 2.23.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz von (3) und (4) wurde in
Satz 36.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gezeigt.}
{}
\zwischenueberschrift{Stetige Abbildungen auf kompakten Räumen}
{Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei $X$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(X)
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls kompakt ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 17.22. }
Die folgende Aussage ist eine wesentliche Verallgemeinerung von
Satz 13.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und von
Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputfaktbeweis
{Kompaktheit/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein nichtleerer
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {X} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text { für alle } x' \in X} { . }
}
\faktzusatz {D.h., dass die Funktion ihr
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
\zusatzklammer {und ihr Minimum} {} {}
annimmt.}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Lemma 17.6
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(X)
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kompakt, also nach
Satz 17.5
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
und
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}
Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(X)
}
{ \leq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für eine reelle Zahl $M$. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt $f(X)$ wegen
Satz 7.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ein
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
$s$ in $\R$, das wegen der Abgeschlossenheit
nach Korollar 33.18 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
zu $f(X)$ gehört, also das Maximum von $f(X)$ ist. Daher gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Aufgrund von
Lemma 17.7
ist jede
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {X} {\R
} {}
beschränkt, und damit stimmt der Vektorraum $C(X,\R)$ aller stetigen Funktionen mit dem Vektorraum $C^b(X,\R)$ aller stetigen und beschränkten Funktionen überein. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es auf $C^b(X,\R)$ stets die
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{,}
die im kompakten Fall wieder wegen
Lemma 17.7
zur Maximumsnorm wird, da das Supremum angenommen wird.
}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Satz von Dini} {.}
\inputfaktbeweis
{Kompakter Raum/Stetige Funktionen/Satz von Dini/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ eine Folge in
\mathl{C(X,\R)}{,} die
\definitionsverweis {punktweise}{}{}
und
\definitionsverweis {monoton}{}{}
gegen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ C(X,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert.}
\faktfolgerung {Dann ist die Konvergenz
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Funktionenfolge sei wachsend und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wir betrachten die offenen Mengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_n
}
{ =} { { \left\{ x \in X \mid f(x)- f_n(x) < \epsilon \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Monotonie ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)- f_{n+1}(x)
}
{ \leq} { f(x)- f_n(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_n
}
{ \subseteq }{ U_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der punktweisen Konvergenz ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{n \in \N} U_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Kompaktheit gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { U_{n_0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was die Behauptung bedeutet.
\zwischenueberschrift{Kompakte metrische Räume}
\inputfaktbeweis
{Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
$X$}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {
vollständig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in $X$. Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach
Aufgabe 36.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ U_y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. Aufgrund der Kompaktheit gibt es zur Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{y \in X} U_y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine endliche Teilüberdeckung, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{ i = 1}^m U_{y_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann wären ab einem $N$ alle Folgenglieder außerhalb dieser Menge, was absurd ist.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
$M$ heißt
\definitionswort {total beschränkt}{,}
wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich viele Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^n U { \left( x_i,\epsilon \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$X$ ist
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
}{$X$ ist
\definitionsverweis {folgenkompakt}{}{.}
}{$X$ ist
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
und
\definitionsverweis {total beschränkt}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Folgenkompaktheit ist äquivalent dazu, dass jede Folge einen Häufungspunkt besitzt. Von (1) nach (2) ergibt sich wie im Beweis zu
Lemma 17.4.
Aus (2) folgt (1) mit
Lemma 17.4
wegen
Aufgabe 17.20.
Es sei (2) erfüllt. Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in $X$. Nach Voraussetzung besitzt sie eine konvergente Teilfolge. Daraus folgt aber schon, dass die Folge konvergiert. Der Raum ist also vollständig. Wenn $X$ nicht total beschränkt ist, so gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass von den offenen Bällen
\mathl{U { \left( x,\epsilon \right) }}{} keine endliche Auswahl ganz $X$ überdeckt. Wir können daher eine Folge ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ konstruieren mit der Eigenschaft, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ > }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
der Abstand
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, x_m \right) }
}
{ \geq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Eine solche Folge besitzt keine konvergente Teilfolge.
Es sei nun (3) erfüllt und wir wollen auf (2) schließen. Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine Folge in $X$. Wir definieren induktiv unendliche Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_{k}
}
{ \subseteq }{ N_{k -1}
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in folgender Weise: Es sei $N_{k-1}$ schon konstruiert. Es sei
\mathl{U { \left( y_1, { \frac{ 1 }{ k } } \right) } , \ldots , U { \left( y_r, { \frac{ 1 }{ k } } \right) }}{} eine offene Überdeckung von $X$, die es aufgrund der totalen Beschränktheit gibt. Dann gibt es eine unendliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_k
}
{ \subseteq }{ N_{k-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die
\mathbed {x_n} {}
{n \in N_k} {}
{} {} {} {,}
in einem der Bälle
\mathl{U { \left( y_i, { \frac{ 1 }{ k } } \right) }}{} liegen. Wir wählen eine Teilfolge $x_{n_k}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_k
}
{ \in }{ N_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n_k$ aufsteigend. Dann ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ \geq }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x_{n_k},x_{n_\ell} )
}
{ \leq} { { \frac{ 2 }{ k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es liegt also eine Cauchy-Folge vor, die wegen der Vollständigkeit konvergiert.