Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 48/latex

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\setcounter{section}{48}






\zwischenueberschrift{Die Taylor-Formel}





\inputfaktbeweis
{Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabbdisp {f} {G} {\R} {}}
\faktvoraussetzung {eine $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( P,\epsilon \right) } }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.}
\faktfolgerung {Dann gilt für alle $v$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P+v }
{ \in }{ U { \left( P,\epsilon \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v) }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r + R_{k}(v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, { \frac{ \Vert {R_{k}(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^{k} } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Satz 47.5 gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{ U { \left( 0,\epsilon \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \zusatzklammer {von $v$ abhängiges} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{f(P+v) }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k-1 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r + \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P+cv) \cdot v^r }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r + \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } { \left( D^r f(P+cv) -D^rf(P) \right) } v^r }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion $R_k$, die wir abschätzen müssen. Wegen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert {R_k(v)} \Vert }
{ \leq} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert \cdot \Vert {v^r} \Vert }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert \cdot \betrag { v_1^{r_1} } \cdots \betrag { v_n^{r_n} } }
{ \leq} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert \cdot \Vert {v } \Vert^{r_1} \cdots \Vert {v} \Vert^{r_n} }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert \cdot \Vert {v } \Vert^k }
} {} {}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \Vert {R_k(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^k } } }
{ \leq} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da nach Voraussetzung die $k$-ten \definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, existiert für jede einzelne Funktion
\mathl{D^r f(P+cv) -D^rf(P)}{} der Limes für
\mathl{v \rightarrow 0}{} und ist gleich $0$. Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.

}







\zwischenueberschrift{Hinreichende Kriterien für lokale Extrema}

Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion \maabbdisp {f} {G} {\R } {,} die auf Eigenschaften der zweiten Richtungsableitungen, genauer der Hesse-Form, beruhen und die entsprechenden Kriterien in einer Variablen verallgemeinern. Zunächst brauchen wir ein Lemma, das beschreibt, wie die Definitheit der Hesse-Form vom Punkt abhängt.




\inputfaktbeweis
{Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmenge und \maabbdisp {f} {G} {\R} {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt, in dem die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {positiv (negativ) definit}{}{} sei.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Umgebung
\mathbed {U} {}
{P \in U \subseteq G} {}
{} {} {} {,} derart, dass die Hesse-Form
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} positiv \zusatzklammer {negativ} {} {} definit ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$, und sei
\mathl{H (Q)}{} die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zur Hesse-Form
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezüglich dieser Basis. Aufgrund der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen hängt
\mathl{H(Q)}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} von $Q$ ab. Daher hängen auch die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} der quadratischen Untermatrizen von
\mathl{H(Q)}{} stetig von $Q$ ab. Die Determinanten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_k(P) }
{ =} { \det ((H(P)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind nach Korollar 47.2 alle von $0$ verschieden. Daher gibt es eine offene Umgebung
\mathbed {U} {}
{P \in U \subseteq G} {}
{} {} {} {,} derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Determinanten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_k(Q) }
{ =} { \det ((H (Q)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das gleiche Vorzeichen haben wie
\mathl{D_k(P)}{.} Da diese Vorzeichen nach Korollar 47.2 über die Definitheit entscheiden, folgt die Behauptung.

}





\inputfaktbeweis
{Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmenge und \maabbdisp {f} {G} {\R} {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {negativ definit}{}{} ist, so besitzt $f$ ein \definitionsverweis {isoliertes}{}{} \definitionsverweis {lokales Maximum}{}{} in $P$. }{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist, so besitzt $f$ ein \definitionsverweis {isoliertes}{}{} \definitionsverweis {lokales Minimum}{}{} in $P$. }{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {indefinit}{}{} ist, so besitzt $f$ in $P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1). Aufgrund von Lemma 48.2 gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{ U { \left( P,\delta \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {negativ definit}{}{} ist. Für alle Vektoren
\mathbed {v \in V} {}
{v \in U { \left( 0,\delta \right) }} {}
{} {} {} {,} gibt es nach Satz 47.5 ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{c(v) }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v) }
{ =} { f(P) + \sum_{ \betrag { \, r \, } = 2 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P+c v) \cdot v^r }
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+cv } \, f ( v,v) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die erste Formulierung sich auf eine fixierte Basis bezieht und wobei die zweite Identität auf Aufgabe ***** beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Zahl, die echt kleiner als
\mathl{f(P)}{} ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2) wird wie (1) bewiesen oder durch betrachten von $-f$ darauf zurückgeführt.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3). Es sei
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {indefinit}{}{.} Dann gibt es Vektoren \mathkor {} {v} {und} {w} {} mit
\mathdisp {\operatorname{Hess}_{ P } \, f ( v,v) > 0 \text{ und } \operatorname{Hess}_{ P } \, f ( w,w) < 0} { . }
Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} für $Q$ aus einer offenen Umgebung von $P$ \zusatzklammer {mit den gleichen Vektoren $v$ und $w$} {} {.} Wir können durch Skalierung von \mathkor {} {v} {und} {w} {} annehmen, dass \mathkor {} {P+v} {und} {P+w} {} zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher \zusatzklammer {$v$ und $w$ sind nicht $0$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v) }
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+cv } \, f ( v,v) }
{ >} { f(P) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+w) }
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+dw } \, f ( w,w) }
{ <} { f(P) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Also kann in $P$ kein lokales Extremum vorliegen.}
{}

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x+3x^2-2xy-y^2+y^3 } {.} Die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } = 1+6x-2y \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } = -2x-2y+3y^2} { . }
Zur Berechnung der \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} dieser Funktion eliminieren wir $x$ und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9y^2-8y+1 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt. Die kritischen Punkte sind also
\mathdisp {P_1 = \left( { \frac{ 2 \sqrt{7} -1 }{ 54 } } , \, { \frac{ \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } \right) \text{ und } P_2 = \left( { \frac{ -2 \sqrt{7} -1 }{ 54 } } , \, { \frac{ - \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } \right)} { . }
Die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} ist in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{ (x,y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ Q } \, f }
{ =} { \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & -2+6y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir Satz 47.1 heran, wobei der erste Minor, also $6$, natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist
\mathdisp {-16 +36 y} { , }
was genau bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ > }{ { \frac{ 4 }{ 9 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} positiv ist. Dies ist im Punkt $P_1$ der Fall, aber nicht im Punkt $P_2$. Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt $P_1$ nach Satz 47.1 positiv definit und somit besitzt die Funktion $f$ im Punkt $P_1$ nach Satz 48.3 ein isoliertes \definitionsverweis {lokales Minimum}{}{,} das zugleich ein \definitionsverweis {globales Minimum}{}{} ist. In $P_2$ ist die Determinante negativ, so dass dort die Hesse-Form \definitionsverweis {indefinit}{}{} ist und somit, wiederum nach Satz 48.3, kein Extremum vorliegen kann.


}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R} { \R } {(x,y)} { x^y } {.} Nach Aufgabe 26.10 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^y }
{ =} { e^{ ( \ln x) \cdot y } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial x } } = { \frac{ y }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} = { \frac{ y }{ x } } \cdot x^y \text{ und } { \frac{ \partial \varphi }{ \partial y } } = ( \ln x ) \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} = ( \ln x ) \cdot x^y} { . }
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(1,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der einzige \definitionsverweis {kritische Punkt}{}{.} Die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} in einem Punkt
\mathl{(x,y)}{} ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} { \frac{ -y+y^2 }{ x^2 } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} & { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} \\ { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} & ( \ln x)^2 \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ -y+y^2 }{ x^2 } } \cdot x^y & { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot x^y \\ { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot x^y & ( \ln x)^2 \cdot x^y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} In $P$ ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ P } \, \varphi }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach Korollar 47.2 ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder \definitionsverweis {positiv definit}{}{} noch \definitionsverweis {negativ definit}{}{.} Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix \definitionsverweis {indefinit}{}{} ist \zusatzklammer {vom \definitionsverweis {Typ}{}{} \mathlk{(1,1)}{}} {} {,} da diese Bilinearform auf
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}}{} positiv und auf
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}}{} negativ definit ist. Nach Satz 48.3 liegt in diesem Punkt also kein \definitionsverweis {Extremum}{}{} vor.

Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für \mathkor {} {x=1} {oder} {y=0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen. \aufzaehlungvier{Für \mathkor {} {0<x<1} {und} {y>0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für \mathkor {} {x>1} {und} {y>0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für \mathkor {} {0<x<1} {und} {y<0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für \mathkor {} {x>1} {und} {y<0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } Daher gibt es in jeder Umgebung von
\mathl{(1,0)}{} Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als $1$ sind.


}






\zwischenueberschrift{Vollständige metrische Räume}

In den folgenden Vorlesungen werden wir verstärkt topologische Hilfsmittel verwenden, insbesondere werden wir mit allgemeinen vollständigen Räumen \zusatzklammer {einschließlich Funktionenräumen} {} {} arbeiten. Einem Großteil der folgenden Definition sind wir schon bei Aufgaben begegnet.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$ heißt \definitionswort {Cauchy-Folge}{,} wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in \R} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0 }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, x_m \right) } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} $M$ heißt \definitionswort {vollständig}{,} wenn jede \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $M$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.} Die Abbildung heißt \definitionswort {Lipschitz-stetig}{,} wenn es eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(y) \right) } }
{ \leq} { c \cdot d { \left( x, y \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

} Eine solche Zahl $c$ heißt \stichwort {Lipschitz-Konstante} {.} Lipschitz-stetige Funktionen mit einer Lipschitz-Konstanten
\mathl{< 1}{} bekommen einen eigenen Namen.


\inputdefinition
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.} Dann heißt $f$ \definitionswort {stark kontrahierend}{,} wenn es eine nichtnegative \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(y) \right) } }
{ \leq} { c \cdot d { \left( x, y \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

} Die Zahl $c$ nennt man auch einen \stichwort {Kontraktionsfaktor} {.}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und \maabbdisp {f} {M} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.

}



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