Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 48

Die Taylor-Formel

Satz

Es sei  ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal

stetig differenzierbare Funktion,  ${}P\in G$  ein Punkt und  ${}\epsilon >0$  derart, dass  ${}U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq G$  ist.

Dann gilt für alle ${}v$ mit  ${}P+v\in U{\left(P,\epsilon \right)}$  die Beziehung

${}f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$

wobei

${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0\,$

ist.

Beweis

Nach Satz 47.5 gibt es zu jedem  ${}v\in U{\left(0,\epsilon \right)}$  ein (von ${}v$ abhängiges)  ${}c\in [0,1]$  mit

${}{\begin{aligned}f(P+v)&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k-1}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}\\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}{\left(D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)\right)}v^{r}.\end{aligned}}$

Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion ${}R_{k}$, die wir abschätzen müssen. Wegen

${}{\begin{aligned}\Vert {R_{k}(v)}\Vert &\leq \sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \Vert {v^{r}}\Vert \\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \vert {v_{1}^{r_{1}}}\vert \cdots \vert {v_{n}^{r_{n}}}\vert \\&\leq \sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert ^{r_{1}}\cdots \Vert {v}\Vert ^{r_{n}}\\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert ^{k}\end{aligned}}$

ist

${}{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}\leq \sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \,.$

Da nach Voraussetzung die ${}k$-ten Richtungsableitungen stetig sind, existiert für jede einzelne Funktion ${}D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)$ der Limes für ${}v\rightarrow 0$ und ist gleich ${}0$. Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.

$\Box$

Hinreichende Kriterien für lokale Extrema

Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die auf Eigenschaften der zweiten Richtungsableitungen, genauer der Hesse-Form, beruhen und die entsprechenden Kriterien in einer Variablen verallgemeinern. Zunächst brauchen wir ein Lemma, das beschreibt, wie die Definitheit der Hesse-Form vom Punkt abhängt.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei  ${}P\in G$  ein Punkt, in dem die Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv (negativ) definit sei.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq G$, derart, dass die Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ in jedem Punkt  ${}Q\in U$  positiv (negativ) definit ist.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$, und sei ${}H(Q)$ die Gramsche Matrix zur Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ im Punkt  ${}Q\in G$  bezüglich dieser Basis. Aufgrund der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen hängt ${}H(Q)$ stetig von ${}Q$ ab. Daher hängen auch die Determinanten der quadratischen Untermatrizen von ${}H(Q)$ stetig von ${}Q$ ab. Die Determinanten

${}D_{k}(P)=\det((H(P)_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})\,$

sind nach Korollar 47.2 alle von ${}0$ verschieden. Daher gibt es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq G$, derart, dass für alle  ${}Q\in U$  die Determinanten

${}D_{k}(Q)=\det((H(Q)_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})\,$

das gleiche Vorzeichen haben wie ${}D_{k}(P)$. Da diese Vorzeichen nach Korollar 47.2 über die Definitheit entscheiden, folgt die Behauptung.

$\Box$

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei  ${}P\in G$  mit  ${}\left(Df\right)_{P}=0$.  Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Maximum in ${}P$.
2. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Minimum in ${}P$.
3. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt ${}f$ in ${}P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

Beweis

(1). Aufgrund von Lemma 48.2 gibt es ein  ${}\delta >0$  derart, dass die Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ für alle  ${}Q\in U{\left(P,\delta \right)}$  negativ definit ist. Für alle Vektoren ${}v\in V$, ${}v\in U{\left(0,\delta \right)}$, gibt es nach Satz 47.5 ein  ${}c=c(v)\in [0,1]$  mit

${}f(P+v)=f(P)+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}=f(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P+cv}\,f(v,v)\,,$

wobei die erste Formulierung sich auf eine fixierte Basis bezieht und wobei die zweite Identität auf Aufgabe 48.7 beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für  ${}v\neq 0$  eine Zahl, die echt kleiner als ${}f(P)$ ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor.
(2) wird wie (1) bewiesen oder durch Betrachten von ${}-f$ darauf zurückgeführt.
(3). Es sei ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit. Dann gibt es Vektoren ${}v$ und ${}w$ mit

$\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)>0\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Hess} _{P}\,f(w,w)<0.$

Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für ${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ für ${}Q$ aus einer offenen Umgebung von ${}P$ (mit den gleichen Vektoren ${}v$ und ${}w$). Wir können durch Skalierung von ${}v$ und ${}w$ annehmen, dass ${}P+v$ und ${}P+w$ zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher (${}v$ und ${}w$ sind nicht ${}0$)

${}f(P+v)=f(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P+cv}\,f(v,v)>f(P)\,$

und

${}f(P+w)=f(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P+dw}\,f(w,w)<f(P)\,$

mit  ${}c,d\in [0,1]$.  Also kann in ${}P$ kein lokales Extremum vorliegen.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+3x^{2}-2xy-y^{2}+y^{3}.$

Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial f}{\partial x}}=1+6x-2y\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}=-2x-2y+3y^{2}.$

Zur Berechnung der kritischen Punkte dieser Funktion eliminieren wir ${}x$ und erhalten die Bedingung

${}9y^{2}-8y+1=0\,,$

die zu

${}y={\frac {\pm {\sqrt {7}}}{9}}+{\frac {4}{9}}\,$

führt. Die kritischen Punkte sind also

$P_{1}=\left({\frac {2{\sqrt {7}}-1}{54}},\,{\frac {\sqrt {7}}{9}}+{\frac {4}{9}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,P_{2}=\left({\frac {-2{\sqrt {7}}-1}{54}},\,{\frac {-{\sqrt {7}}}{9}}+{\frac {4}{9}}\right).$

Die Hesse-Form ist in einem Punkt  ${}Q=(x,y)$  gleich

${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f={\begin{pmatrix}6&-2\\-2&-2+6y\end{pmatrix}}\,.$

Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir Satz 47.1 heran, wobei der erste Minor, also ${}6$, natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist

$-16+36y,$

was genau bei  ${}y>{\frac {4}{9}}$  positiv ist. Dies ist im Punkt ${}P_{1}$ der Fall, aber nicht im Punkt ${}P_{2}$. Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt ${}P_{1}$ nach Satz 47.1 positiv definit und somit besitzt die Funktion ${}f$ im Punkt ${}P_{1}$ nach Satz 48.3 ein isoliertes lokales Minimum, das zugleich ein globales Minimum ist. In ${}P_{2}$ ist die Determinante negativ, sodass dort die Hesse-Form indefinit ist und somit, wiederum nach Satz 48.3, kein Extremum vorliegen kann.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}.$

Nach

Aufgabe 26.10 ist

${}x^{y}=e^{(\ln x)\cdot y}\,.$

Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {y}{x}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}={\frac {y}{x}}\cdot x^{y}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=(\ln x)\cdot e^{(\ln x)\cdot y}=(\ln x)\cdot x^{y}.$

Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist  ${}P=(1,0)$  der einzige kritische Punkt. Die Hesse-Matrix in einem Punkt ${}(x,y)$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {-y+y^{2}}{x^{2}}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}&{\frac {1+y\ln x}{x}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}\\{\frac {1+y\ln x}{x}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}&(\ln x)^{2}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-y+y^{2}}{x^{2}}}\cdot x^{y}&{\frac {1+y\ln x}{x}}\cdot x^{y}\\{\frac {1+y\ln x}{x}}\cdot x^{y}&(\ln x)^{2}\cdot x^{y}\end{pmatrix}}\,.$

In ${}P$ ist dies

${}\operatorname {Hess} _{P}\,\varphi ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

Nach Korollar 47.2 ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder positiv definit noch negativ definit. Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix indefinit ist (vom Typ $(1,1)$), da diese Bilinearform auf ${}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ positiv und auf ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ negativ definit ist. Nach Satz 48.3 liegt in diesem Punkt also kein Extremum vor.

Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für ${}x=1$ oder ${}y=0$ ist  ${}x^{y}=1$.  Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen.

1. Für ${}0<x<1$ und ${}y>0$ ist  ${}x^{y}<1$. 
2. Für ${}x>1$ und ${}y>0$ ist  ${}x^{y}>1$. 
3. Für ${}0<x<1$ und ${}y<0$ ist  ${}x^{y}>1$. 
4. Für ${}x>1$ und ${}y<0$ ist  ${}x^{y}<1$. 

Daher gibt es in jeder Umgebung von ${}(1,0)$ Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als ${}1$ sind.

Vollständige metrische Räume

In den folgenden Vorlesungen werden wir verstärkt topologische Hilfsmittel verwenden, insbesondere werden wir mit allgemeinen vollständigen Räumen (einschließlich Funktionenräumen) arbeiten. Einem Großteil der folgenden Definition sind wir schon bei Aufgaben begegnet.

Definition

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum ${}M$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein  ${}n_{0}\in \mathbb {N}$  derart, dass für alle  ${}n,m\geq n_{0}$  die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon \,$

gilt.

Definition

Ein metrischer Raum ${}M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}M$ konvergiert.

Definition

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl  ${}c\geq 0$  mit

${}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$

für alle  ${}x,y\in L$  gibt.

Eine solche Zahl ${}c$ heißt Lipschitz-Konstante. Lipschitz-stetige Funktionen mit einer Lipschitz-Konstanten ${}<1$ bekommen einen eigenen Namen.

Definition

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann heißt ${}f$ stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl  ${}c<1$  gibt mit

${}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$

für alle  ${}x,y\in L$. 

Die Zahl ${}c$ nennt man auch einen Kontraktionsfaktor.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Ein Element  ${}x\in M$  mit  ${}f(x)=x$  heißt Fixpunkt der Abbildung.

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