Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 48

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Die Taylor-Formel



Satz  

Sei offen,

eine -mal

stetig differenzierbare Funktion, ein Punkt und derart, dass ist.

Dann gilt für alle mit die Beziehung

wobei

ist.

Beweis  

Nach Satz 47.5 gibt es zu jedem ein (von abhängiges) mit

Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion , die wir abschätzen müssen. Wegen

ist

Da nach Voraussetzung die -ten Richtungsableitungen stetig sind, existiert für jede einzelne Funktion der Limes für und ist gleich . Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.




Hinreichende Kriterien für lokale Extrema

Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion

die auf Eigenschaften der zweiten Richtungsableitungen, genauer der Hesse-Form, beruhen und die entsprechenden Kriterien in einer Variablen verallgemeinern. Zunächst brauchen wir ein Lemma, das beschreibt, wie die Definitheit der Hesse-Form vom Punkt abhängt.



Lemma  

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Teilmenge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ein Punkt, in dem die Hesse-Form positiv (negativ) definit sei.

Dann gibt es eine offene Umgebung , , derart, dass die Hesse-Form in jedem Punkt positiv (negativ) definit ist.

Beweis  

Sei eine Basis von , und sei die Gramsche Matrix zur Hesse-Form im Punkt bezüglich dieser Basis. Aufgrund der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen hängt stetig von ab. Daher hängen auch die Determinanten der quadratischen Untermatrizen von stetig von ab. Die Determinanten

sind nach Korollar 47.2 alle von verschieden. Daher gibt es eine offene Umgebung , , derart, dass für alle die Determinanten

das gleiche Vorzeichen haben wie . Da diese Vorzeichen nach Korollar 47.2 über die Definitheit entscheiden, folgt die Behauptung.




Satz  

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Teilmenge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei mit . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Wenn negativ definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Maximum in .
  2. Wenn positiv definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Minimum in .
  3. Wenn indefinit ist, so besitzt in weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

Beweis  

(1). Aufgrund von Lemma 48.2 gibt es ein derart, dass die Hesse-Form negativ definit für alle ist. Für alle Vektoren , , gibt es nach Satz 47.5 ein mit

wobei die zweite Identität auf Aufgabe ***** beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für eine Zahl, die echt kleiner als ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor.
(2) wird wie (1) bewiesen oder durch betrachten von darauf zurückgeführt.
(3). Sei indefinit. Dann gibt es Vektoren und mit

Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für für aus einer offenen Umgebung von (mit den gleichen Vektoren und ). Wir können durch Skalierung von und annehmen, dass und zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher ( und sind nicht )

und

mit . Also kann in kein Extremum vorliegen.



Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

Die partiellen Ableitungen sind

Zur Berechnung der kritischen Punkte dieser Funktion eliminieren wir und erhalten die Bedingung

die zu

führt. Die kritischen Punkte sind also

Die Hesse-Form ist in einem Punkt gleich

Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir Satz 47.1 heran, wobei der erste Minor, also , natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist

was genau bei positiv ist. Dies ist im Punkt der Fall, aber nicht im Punkt . Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt nach Satz 47.1 positiv definit und somit besitzt die Funktion im Punkt nach Satz 48.3 ein isoliertes lokales Minimum, das zugleich ein globales Minimum ist. In ist die Determinante negativ, so dass dort die Hesse-Form indefinit ist und somit, wiederum nach Satz 48.3, kein Extremum vorliegen kann.



Beispiel  

Wir betrachten die Abbildung

Nach Aufgabe 26.10 ist

Die partiellen Ableitungen sind

Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist der einzige kritische Punkt. Die Hesse-Matrix in einem Punkt ist

In ist dies

Nach Korollar 47.2 ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder positiv definit noch negativ definit. Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix indefinit ist (vom Typ ), da diese Bilinearform auf positiv und auf negativ definit ist. Nach Satz 48.3 liegt in diesem Punkt also kein Extremum vor.

Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für oder ist . Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen.

  1. Für und ist .
  2. Für und ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .

Daher gibt es in jeder Umgebung von Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als sind.




Vollständige metrische Räume

In den folgenden Vorlesungen werden wir verstärkt topologische Hilfsmittel verwenden, insbesondere werden wir mit allgemeinen vollständigen Räumen (einschließlich Funktionenräumen) arbeiten. Einem Großteil der folgenden Definition sind wir schon bei Aufgaben begegnet.


Definition  

Eine Folge in einem metrischen Raum heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

gilt.


Definition  

Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.


Definition  

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl mit

für alle gibt.

Eine solche Zahl heißt Lipschitz-Konstante. Lipschitz-stetige Funktionen mit einer Lipschitz-Konstanten bekommen einen eigenen Namen.


Definition  

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl gibt mit

für alle .

Die Zahl nennt man auch einen Kontraktionsfaktor.


Definition  

Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.



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