Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/18/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	6	3	2	7	4	3	4	2	1	5	3	4	3	5	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat ${}100$ Euro in Scheinen ab.

1. Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann?
2. Ist es möglich, dass er ${}17$ Scheine bekommt?
3. Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich?
4. Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Die Zahlen

$n,n-1,n-2,\ldots ,3,2,1$

werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei ${}n$ kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Zeige, dass für positive reelle Zahlen ${}a,b$ die Abschätzung

   ${}{\frac {1}{\vert {a+b}\vert }}\leq {\max {\left({\frac {1}{\vert {a}\vert }},{\frac {1}{\vert {b}\vert }}\right)}}\,$

   gilt.

2. Zeige, dass es reelle Zahlen ${}a,b$ mit ${}a,b,a+b\neq 0$ und mit

   ${}{\frac {1}{\vert {a+b}\vert }}>{\max {\left({\frac {1}{\vert {a}\vert }},{\frac {1}{\vert {b}\vert }}\right)}}\,$

   gibt.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

${}x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

wachsend ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle konvergente Folge mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${}E$ mit dem Kreis ${}K$, der den Mittelpunkt ${}(1,0)$ und den Radius ${}2$ besitzt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x)=\pi ^{x}+x^{e}.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ der Form

${}f(x)=g(x)\sin x+h(x)\cos x\,,$

wobei ${}g$ und ${}h$ lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen ($n\geq 0$) die Beziehung

${}f^{(n)}(x)={\begin{cases}(-1)^{n/2}{\left({\left(g(x)+nh'(x)\right)}\sin x+{\left(-ng'(x)+h(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ gerade}},\\(-1)^{(n-1)/2}{\left({\left(ng'(x)-h(x)\right)}\sin x+{\left(g(x)+nh'(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ ungerade}},\end{cases}}\,$

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion von

$\sin \left(\sin \left(\cos x\right)\right)\cdot \cos \left(\cos x\right)\cdot \sin x.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter ${}a\in \mathbb {R}$ den Lösungsraum ${}L_{a}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ des linearen Gleichungssystems

${}5x+ay+(1-a)z=0\,,$

${}2ax+a^{2}y+3z=0\,.$

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}\,.$

a) Zeige

${}M^{2}=E_{2}\,.$

b) Bestimme die inverse Matrix zu ${}M$.

c) Löse die Gleichung

${}M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$. Es seien ${}v_{1},v_{2},v_{3}$ und ${}w_{1},w_{2},w_{3}$ Vektoren in ${}V$, die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ derart gibt, dass

${}\varphi (v_{i})\in Kw_{i}\,$

für ${}i=1,2,3$ gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0&5\\0&-1&0\\8&0&5\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$