Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/20/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 2 2 4 1 2 4 4 6 7 7 4 1 3 6 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  3. Die geometrische Reihe für .
  4. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  5. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  6. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Verhalten der Reihenglieder bei Konvergenz.
  2. Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
  3. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f f
f w w
f f w


Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

in auch Lösungen besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Mustafa Müller schreibt die natürlichen Zahlen

hintereinander auf. Wie oft kommt dabei die Ziffern vor? Wie viele Kommata setzt er?


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert .

  1. Berechne und .
  2. Berechne und .
  3. Berechne und .
  4. Konvergiert die Produktfolge innerhalb der rationalen Zahlen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige die Abschätzung


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.


Aufgabe * (7 (1+1+5) Punkte)

  1. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in keinem Punkt schneidet.
  2. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in genau einem Punkt schneidet.
  3. Zeige, dass jede Gerade den Graphen der Exponentialfunktion in höchstens zwei Punkten schneidet.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

  1. Überführe die Matrixgleichung

    in ein lineares Gleichungssystem.

  2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.


Aufgabe * (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Untervektorraum gibt, für den die Familie eine Basis bildet.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

eine invertierbare Matrix. Zeige durch zwei Matrizenmultiplikationen, dass

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung