Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/28/Klausur/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 9 5 6 3 4 4 3 3 2 4 2 2 2 4 4 65



Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe * (9 (2+1+2+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Zwei Schwimmer, und , schwimmen auf einer -Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer schwimmt (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer schwimmt .

  1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen und Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
  2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer (und Schwimmer ) nach Sekunden?
  3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
  4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
  5. Wie oft überrundet Schwimmer den Schwimmer ?


Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen man (ausgehend von und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.


Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass in die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. Zu jedem gibt es eine natürliche Zahl mit .
  2. Zu zwei reellen Zahlen

    gibt es eine rationale Zahl (mit ) mit


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine Cauchy-Folge in , die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein derart gibt, dass entweder alle , , positiv oder negativ sind.


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

Zeige, dass zwischen und eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von .


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine - Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.