Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/34/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 2 3 2 3 2 4 3 4 4 3 2 7 3 3 5 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  3. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  4. Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  5. Der -te Standardvektor im .
  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  2. Der Satz über Ableitung und Wachstumsverhalten einer Funktion .
  3. Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Die Partei „Zukunft für alle“ hat zwei Ziele.

  1. Millionäre entschädigungslos enteignen.
  2. Ein bedingungsloses monatliches Grundeinkommen von Euro für jeden Erwachsenen.

Hans hat mit Geld nichts am Hut, er ist jetzt gerade geworden und lebt allein auf einem kleinen Bauernhof als Selbstversorger, ohne Einnahmen, ohne Ausgaben, und das soll in seinem Leben auch so bleiben. Vorausgesetzt, das Parteiprogramm wird Gesetz, wie alt muss Hans (in Jahren und Monaten) werden, bis er enteignet wird?


Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) Stunden nach vorne, dann Stunden zurück, dann Stunden zurück, dann Stunden nach vorne und dann Stunden zurück.

  1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
  2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .


Aufgabe * (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

für jedes absolut konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

streng wachsende Funktionen, die auf übereinstimmen. Folgt daraus ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt . Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die positiven reellen Zahlen mit den Verknüpfungen

als neuer Addition und

als neuer Multiplikation. Ist mit diesen Verknüpfungen (und mit welchen neutralen Elementen) ein Körper?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die -fache Hintereinanderschaltung ()

die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

  1. Bestimme die reellen Nullstellen von .
  2. Bestimme die Extrema von .
  3. Bestimme den Flächeninhalt, der durch den Graphen und die -Achse eingegrenzt wird.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und quadratische Matrizen der Länge . Es gelte für und für für gewisse . Zeige, dass die Einträge des Produktes die Bedingung für erfüllen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen -Vektorraum und eine lineare Abbildung , die injektiv, aber nicht surjektiv ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung zu einem Drehwinkel , , über .