Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/42/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	2	2	4	4	5	4	6	7	2	6	3	4	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}A(n)$ eine Aussage(nform), in die man eine natürliche Zahl einsetzen kann. Diskutiere den Unterschied zwischen den beiden Aussagen

${\left(\forall nA(n)\right)}\rightarrow {\left(\forall nA(n+1)\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\forall n{\left(A(n)\rightarrow A(n+1)\right)}.$

Was ist die mathematische Relevanz der beiden Aussagen?

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht ${}117$ und Old Shatterhand sieht ${}94$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen ${}39$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Ersetze im Term ${}3x^{2}+5x+6$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}4y^{2}+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Gleichung

${}\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i)=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)=(n-1)!\cdot (n-2)!\cdots 3!\cdot 2!\cdot 1!\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, für welche reellen Zahlen ${}x$ die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }n^{n}x^{n}$

konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[1,2]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/8$.

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei ${}y=1$ jeweils tangential schneidet.

b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der ${}x$-Achse und dem Graphen des Kosinus hyperbolicus oberhalb des Intervalls ${}[0,5]$ eingeschlossen wird.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$, eine kommutative Gruppe ${}(V,+,0)$ und eine Abbildung

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

$(7)\,\,\,r(u+v)=ru+rv$

erfüllt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor

$(0,1,0)$

als Linearkombination der Vektoren

$(9,6,5),(2,2,5){\text{ und }}(7,3,4)$

aus.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,$

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Diagonalelement von ${}M$ ein Eigenwert zu ${}M$ sein muss.