Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/52/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 2 4 2 5 2 3 2 5 4 5 7 1 5 1 3 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine streng wachsende Funktion .
  2. Eine Reihe von reellen Zahlen .
  3. Der natürliche Logarithmus
  4. Eine stetig differenzierbare Funktion .
  5. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  6. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
  2. Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen .
  3. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.


Aufgabe (2 Punkte)

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Zeige durch Induktion über , dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Schreibe die Menge

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Vergleiche


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass

eine Quadratwurzel von ist.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Berechne das Produkt

    im Polynomring .

  2. Berechne das Produkt

    in auf zwei verschiedene Arten.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei jeweils tangential schneidet.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.


Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

Die sogenannten Bernoulli-Polynome für sind Polynome vom Grad , die rekursiv definiert werden: ist das konstante Polynom mit dem Wert . Das Polynom berechnet sich aus dem Polynom über die beiden Bedingungen: ist eine Stammfunktion von und es ist

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).


  1. AY 3 8910 obwiednia 1100.svg










  2. Primka.png











  3. Point and line.png











  4. Disk 1.svg












  5. Zero-dimension.GIF







Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine Basis eines dreidimensionalen -Vektorraumes .

a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix .

c) Bestimme die Übergangsmatrix .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme den Rang der Matrix

zu .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (5 (4+1) Punkte)

Es seien quadratische Matrizen über einem Körper , die zueinander in der Beziehung

mit einer invertierbaren Matrix stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von mit den Eigenwerten zu übereinstimmen, und zwar

  1. direkt,
  2. mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.