Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/52/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	$\sum$
Punkte	3	3	2	2	4	2	5	2	3	2	5	4	5	7	1	5	1	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine streng wachsende Funktion $f:ℝ\to ℝ$.
2. Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ von reellen Zahlen $a_k$.
3. Der natürliche Logarithmus

   $\ln :{ℝ}_{+}⟶ℝ.$

4. Eine stetig differenzierbare Funktion $f:ℝ\to ℝ$.
5. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

   $f:I⟶ℝ$

   auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq ℝ$.

6. Die Determinante eines Endomorphismus

   $\phi :V⟶V$

   auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
2. Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen $f,g:ℝ\to ℝ$.
3. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.

Aufgabe (2 Punkte)

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

$M=\{a,b,c,d\}$

die durch die Tabelle

$\star$	$a$	$b$	$c$	$d$
$a$	$b$	$a$	$c$	$a$
$b$	$d$	$a$	$b$	$b$
$c$	$a$	$b$	$c$	$c$
$d$	$b$	$d$	$d$	$d$

gegebene Verknüpfung $\star$.

1. Berechne

   $b\star (a\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge. Zeige durch Induktion über $k$, dass die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Schreibe die Menge

$]-3,-2[\cup \{7\}\cup ([-\frac{5}{2},-\frac{1}{3}]\setminus ]-\frac{4}{3},-1])\cup [1,\frac{7}{3}]\cup [-\frac{1}{2},\frac{6}{5}[\cup (]-7,-6]\cap {ℝ}_{+})$

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Vergleiche

$\sqrt{3}+\sqrt{10}\text{ und }\sqrt{5}+\sqrt{7}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $z=a+b\mathrm{i}$ eine komplexe Zahl mit $b<0$. Zeige, dass

$v=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\sqrt{|z|+a}+\mathrm{i}\sqrt{|z|-a})$

eine Quadratwurzel von $z$ ist.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Berechne das Produkt

$(2-3X+X^2)\cdot (-5+4X-3X^2)$

im Polynomring $\mathbb{Q}[X]$.

b) Berechne das Produkt

$(2-3\sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2)\cdot (-5+4\sqrt{2}-3{\sqrt{2}}^2)$

in $ℝ$ auf zwei verschiedene Arten.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼x^2-5x-9.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}},{\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ drei reelle Folgen. Es gelte $x_n\le y_n\le z_n\text{ für alle }n\in \mathbb{N}$ und ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $a$ konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei  $y=1$  jeweils tangential schneidet.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

Die sogenannten Bernoulli-Polynome $B_n$ für  $n\in \mathbb{N}$  sind Polynome vom Grad $n$, die rekursiv definiert werden: $B_0$ ist das konstante Polynom mit dem Wert $1$. Das Polynom $B_{n+1}$ berechnet sich aus dem Polynom $B_n$ über die beiden Bedingungen: $B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von $(n+1)B_n$ und es ist

${\int }_0^1{B}_{n+1}(x)dx=0.$

1. Berechne $B_1$.
2. Berechne $B_2$.
3. Berechne $B_3$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im ${ℝ}^2$ als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

5. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei  $𝔳=v_1,v_2,v_3$  eine Basis eines dreidimensionalen $K$-Vektorraumes $V$.

a) Zeige, dass  $𝔴=v_1,v_1+v_2,v_2+v_3$  ebenfalls eine Basis von $V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix $M_{𝔳}^{𝔴}$.

c) Bestimme die Übergangsmatrix $M_{𝔴}^{𝔳}$.

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $𝔳$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $𝔴$ die Koordinaten $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -9\end{array}\right)$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $𝔴$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $𝔳$ die Koordinaten $\left(\begin{array}{c}3\\ -7\\ 5\end{array}\right)$ besitzt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme den Rang der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ x& x^2& x^3\\ x^2& x^3& x^4\end{array}\right)$

zu  $x\in K$. 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$\left(\begin{array}{ccc}1& 12& 0\\ 3& 0& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$

Aufgabe * (5 (4+1) Punkte)

Es seien $M,N$ quadratische Matrizen über einem Körper $K$, die zueinander in der Beziehung

$N=BM{B}^{-1}$

mit einer invertierbaren Matrix $B$ stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von $M$ mit den Eigenwerten zu $N$ übereinstimmen, und zwar

1. direkt,
2. mithilfe des charakteristischen Polynoms.