Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/5/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
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Punkte | 3 | 3 | 5 | 7 | 4 | 3 | 5 | 4 | 5 | 3 | 10 | 8 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die
Stetigkeit
einer Abbildung
zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .
- Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
- Die
Jacobi-Matrix
zu einer partiell differenzierbaren Abbildung
in einem Punkt .
- Ein lokales Minimum einer Funktion
auf einem metrischen Raum in einem Punkt .
- Die Eigenschaft eines Vektorfeldes
lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
- Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
- Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen
und
- Der Satz von Picard-Lindelöf.
Aufgabe * (5 Punkte)
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
mit und .
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion zwischen metrischen Räumen in einem Punkt .
Aufgabe * (4 Punkte)
Von einer Bewegung
sei der Geschwindigkeitsverlauf
bekannt. Ferner sei
bekannt. Bestimme .
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Löse das Anfangswertproblem
mit den Anfangsbedingungen und durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
Aufgabe * (4 Punkte)
Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthogonalbasis der Raumkomponente dazu.
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
in einem Punkt .
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige
Aufgabe * (10 (2+4+2+2) Punkte)
Es sei .
- Bestimme die kritischen Punkte von auf .
- Bestimme die lokalen Extrema von .
- Zeige, dass die Einschränkung von auf die durch gegebene Diagonale unendlich viele lokale Extrema besitzt.
- Bestimme, ob die Einschränkung von auf die durch gegebene Diagonale im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt.
Aufgabe * (8 (2+1+1+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu .
- Berechne die Determinante der Jacobi-Matrix in Abhängigkeit von .
- Besitzt im Punkt lokal eine Umkehrabbildung?
- Besitzt im Punkt lokal eine Umkehrabbildung?
- Zeige, dass es genau einen Punkt mit
gibt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Berechne das Integral
wobei den Einheitskreis bezeichnet.