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Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/5/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 5 7 4 3 5 4 5 3 10 8 4 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  2. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
  3. Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt .

  4. Ein lokales Minimum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum in einem Punkt .

  5. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes

    lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.

  6. Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
  2. Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen

    und

    in einem Punkt .
  3. Der Satz von Picard-Lindelöf.



Aufgabe * (5 Punkte)

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit und .



Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion zwischen metrischen Räumen in einem Punkt .



Aufgabe * (4 Punkte)

Von einer Bewegung

sei der Geschwindigkeitsverlauf

bekannt. Ferner sei

bekannt. Bestimme .



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

auf zum Weg



Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

mit den Anfangsbedingungen und durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.



Aufgabe * (4 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthogonalbasis der Raumkomponente dazu.



Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

in einem Punkt .



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige



Aufgabe * (10 (2+4+2+2) Punkte)

Es sei .

  1. Bestimme die kritischen Punkte von auf .
  2. Bestimme die lokalen Extrema von .
  3. Zeige, dass die Einschränkung von auf die durch gegebene Diagonale unendlich viele lokale Extrema besitzt.
  4. Bestimme, ob die Einschränkung von auf die durch gegebene Diagonale im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt.



Aufgabe * (8 (2+1+1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu .
  2. Berechne die Determinante der Jacobi-Matrix in Abhängigkeit von .
  3. Besitzt im Punkt lokal eine Umkehrabbildung?
  4. Besitzt im Punkt lokal eine Umkehrabbildung?
  5. Zeige, dass es genau einen Punkt mit

    gibt.



Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Integral

wobei den Einheitskreis bezeichnet.