Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 47/latex
\setcounter{section}{47}
\zwischenueberschrift{Die Kettenregel}
Die Eleganz des totalen Differentials wird in der folgenden allgemeinen Version der Kettenregel deutlich. Sie besagt, dass bei einer Verknüpfung von differenzierbaren Abbildungen das totale Differential
\zusatzklammer {also die lineare Approximation} {} {}
gleich der Verknüpfung der einzelnen totalen Differentiale ist. Der Beweis verwendet an einer Stelle, dass eine lineare Abbildung
\maabbdisp {L} {V} {W
} {}
zwischen euklidischen Räumen auf der abgeschlossenen Einheitskugel
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist, d.h. dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {L(v)} \Vert
}
{ \leq} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $v$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Aussage gilt sogar für jede stetige Abbildung, werden wir hier aber nur für eine lineare Abbildung beweisen: Dazu wählen wir eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{\sum_{i = 1}^n a_iv_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert^2
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i^2
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_i }
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { L(v)} \Vert
}
{ =} { \Vert { L { \left( \sum_{i = 1}^n a_iv_i \right) } } \Vert
}
{ =} { \Vert { \sum_{i = 1}^n a_i L( v_i )} \Vert
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { a_i } \Vert { L( v_i )} \Vert
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \Vert { L( v_i )} \Vert
}
}
{}
{}{,}
das heißt, dass die Beschränktheit mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n \Vert { L( v_i )} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputfaktbeweis
{Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
$V,\, W$ und $U$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
und
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
und
\maabb {\psi} {D} {U
} {}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}}
\faktvoraussetzung {derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(G)
}
{ \subseteq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\psi$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P)
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann ist
\maabb {\psi \circ \varphi} {G} {U
} {}
in $P$ differenzierbar mit dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(\psi \circ \varphi)\right)_{P}
}
{ =} { \left(D\psi\right)_{\varphi(P)} \circ \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir haben nach Voraussetzung
\zusatzklammer {wobei wir
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ Q }
{ \defeq }{ \varphi(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+v)
}
{ =} {\varphi(P)+L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(Q+w)
}
{ =} { \psi(Q)+M(w)+ \Vert {w} \Vert s(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit linearen Abbildungen
\maabb {L} {V} {W
} {}
und
\maabb {M} {W} {U
} {,}
und mit in $0$ stetigen Funktionen
\maabb {r} { U { \left( 0,\delta \right) }} {W
} {}
und
\maabb {s} {U { \left( 0,\delta' \right) }} {U
} {,}
die beide in $0$ den Wert $0$ annehmen. Damit gilt
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ (\psi \circ \varphi)(P+v)
}
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P+v))
} {} }
{ =} { \zeilemitteil { \psi { \left( \varphi(P)+L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v) \right) }
} {} }
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P))+M(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) } {+ \Vert {L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v))} }
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P))+M(L(v))+ M(\Vert {v} \Vert r(v)) } {+ \Vert {L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v))} }
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v)+ \Vert {v} \Vert M(r(v)) } {+ \Vert {\Vert {v} \Vert L { \left( \frac{v} { \Vert {v} \Vert } \right) } + \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v))} }
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v) } {+ \Vert {v} \Vert { \left( M(r(v))+ \Vert {L { \left( \frac{v} { \Vert {v} \Vert } \right) } + r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \right) }} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
}{}{.}
Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Ausdruck
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ t(v)
}
{ \defeq} { M(r(v)) + \Vert {L { \left( \frac{v} { \Vert {v} \Vert } \right) } + r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand
\mathl{M(r(v))}{} ist in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stetig und hat dort auch den Wert $0$. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der $\Vert {-} \Vert$-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da $L$ auf der
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
nach Fakt *****
beschränkt ist und da $r$ in $0$ stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber
\mathl{L(v) + \Vert {v} \Vert r(v)}{} hat für
\mathl{v \rightarrow 0}{} den Grenzwert $0$. Damit ist auch
\mathl{s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v))}{} in $0$ stetig und hat dort den Grenzwert $0$.
\inputfaktbeweis
{Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Standardbasen und Jacobimatrix/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{\R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
und
\maabb {f} {G} {\R^m
} {}
und
\maabb {g} {D} {\R^k
} {}
seien
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}}
\faktvoraussetzung {derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(G)
}
{ \subseteq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $g$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann ist
\maabb {h = g \circ f} {G} {U
} {}
in $P$ differenzierbar und zwischen den
\definitionsverweis {Jacobi-Matrizen}{}{}
gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Jak}(h )_P
}
{ =} { \operatorname{Jak}(g \circ f )_P
}
{ =} { \operatorname{Jak}(g )_{ f(P)} \circ \operatorname{Jak}( f )_P
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ausgeschrieben
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial h_1 }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial h_{1} }{ \partial x_{n} } } (P) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial h_{k} }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial h_{k} }{ \partial x_{n} } } (P) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial g_1 }{ \partial y_1 } } (f(P)) & \ldots & { \frac{ \partial g_{1} }{ \partial y_{m} } } (f(P)) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial g_{k} }{ \partial y_1 } } (f(P)) & \ldots & { \frac{ \partial g_{k} }{ \partial y_{m} } } (f(P)) \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{1} }{ \partial x_{n} } } (P) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_{n} } } (P) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 47.1 unter Berücksichtigung von Bemerkung 46.9.
Bei der vorstehenden Aussage kann man mit
Satz 46.10
häufig direkt auf die totale Differenzierbarkeit schließen.
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen die
Kettenregel
anhand der beiden Abbildungen
\maabbeledisp {f} {\R^3} {\R^2
} {\left( u , \, v , \, w \right)} {\left( uv^3w^2 , \, u^2-v^2w \right)
} {}
und
\maabbeledisp {g} {\R^2} {\R^3
} {\left( x , \, y \right)} {\left( xy-y^2 , \, \cos x , \, x-y \right)
} {}
illustrieren. Diese Abbildungen sind
\definitionsverweis {stetig partiell differenzierbar}{}{}
und daher nach
Satz 46.10
auch
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrizen}{}{}
zu diesen Abbildungen
\zusatzklammer {in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P
}
{ = }{ (u,v,w)
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Q
}
{ = }{ (x,y)
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname {Jac} (f)_P
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial u } } (P) & { \frac{ \partial f_1 }{ \partial v } } (P) & { \frac{ \partial f_1 }{ \partial w } } (P) \\ { \frac{ \partial f_2 }{ \partial u } } (P) & { \frac{ \partial f_2 }{ \partial v } } (P) & { \frac{ \partial f_2 }{ \partial w } } (P) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} v^3w^2 & 3uv^2w^2 & 2uv^3w \\ 2u & -2vw & -v^2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname {Jac} (g)_Q
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial g_1 }{ \partial x } } (Q) & { \frac{ \partial g_1 }{ \partial y } } (Q) \\ { \frac{ \partial g_2 }{ \partial x } } (Q) & { \frac{ \partial g_2 }{ \partial y } } (Q) \\ { \frac{ \partial g_3 }{ \partial x } } (Q) & { \frac{ \partial g_3 }{ \partial y } } (Q) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} y & x-2y \\ - \sin x & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zusammengesetzte Abbildung
\mathl{g \circ f}{} ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ g(f(u,v,w))
}
{ =} { \left( uv^3w^2 { \left( u^2-v^2w \right) }- { \left( u^2-v^2w \right) }^2 , \, \cos { \left( uv^3w^2 \right) } , \, uv^3w^2-u^2+v^2w \right)
}
{ =} { \left( u^3v^3w^2 -uv^5 w^3-u^4-v^4w^2+2u^2v^2w , \, \cos { \left( uv^3w^2 \right) } , \, uv^3w^2-u^2+v^2w \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
die zugehörige Jacobi-Matrix in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(u,v,w)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \operatorname {Jac} (g \circ f)_P
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w & 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw & 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 \\ - v^3w^2 \sin { \left( uv^3w^2 \right) } & - 3uv^2w^2 \sin { \left( uv^3w^2 \right) } & - 2uv^3w \sin { \left( uv^3w^2 \right) } \\v^3w^2-2u & 3uv^2w^2+2vw & 2uv^3w+v^2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Die zusammengesetzte lineare Abbildung ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \operatorname{Jak}(g )_{ f(P)} \circ \operatorname{Jak}( f )_P
}
{ =} { \operatorname{Jak}(g )_{ (uv^3w^2,u^2-v^2w)} \circ \operatorname{Jak}( f )_P
}
{ =} { \begin{pmatrix} u^2-v^2w & uv^3w^2-2u^2+2v^2w \\ - \sin \left( uv^3w^2 \right) & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} v^3w^2 & 3uv^2w^2 & 2uv^3w \\ 2u & -2vw & -v^2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \left( u^2-v^2w \right) }v^3w^2 + { \left( uv^3w^2-2u^2+2v^2w \right) } 2u & { \left( u^2-v^2w \right) } 3uv^2w^2 - { \left( uv^3w^2-2u^2+2v^2w \right) } 2vw & { \left( u^2-v^2w \right) } 2uv^3w - { \left( uv^3w^2-2u^2+2v^2w \right) } v^2 \\ - v^3w^2 \sin { \left( uv^3w^2 \right) } & - 3uv^2w^2 \sin { \left( uv^3w^2 \right) } & - 2uv^3w \sin { \left( uv^3w^2 \right) } \\v^3w^2-2u & 3uv^2w^2+2vw & 2uv^3w+v^2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3u^2v^3w^2-^5w^3-4u^3+4uv^2w & 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw & 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 \\ - v^3w^2 \sin { \left( uv^3w^2 \right) } & - 3uv^2w^2 \sin { \left( uv^3w^2 \right) } & - 2uv^3w \sin { \left( uv^3w^2 \right) } \\v^3w^2-2u & 3uv^2w^2+2vw & 2uv^3w+v^2 \end{pmatrix}
}
}
{}{}{.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\gamma} {I} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {L} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
In
Lemma 34.10
wurde gezeigt, dass die
\definitionsverweis {zusammengesetzte Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {L \circ \gamma} {I} {W
} {t} { L( \gamma(t))
} {,}
\zusatzklammer {ebenfalls differenzierbar ist} {} {}
und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (L \circ \gamma)'(t)
}
{ =} { L( \gamma'(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht. Hier erhält man also den Richtungsvektor der zusammengesetzten Kurve, indem man den Richtungsvektor der Kurve in die lineare Abbildung einsetzt. Dies ist ein Spezialfall
der Kettenregel
angewendet auf
\mathkor {} {\gamma} {und} {L} {.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(DL\right)_{Q}
}
{ = }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach Proposition 46.4
und es ist
nach Lemma 46.5
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\gamma\right)_{t} (1)
}
{ = }{ \gamma'(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Gemäß der Kettenregel ist das totale Differential der zusammengesetzten Kurve
\mathl{L \circ \gamma}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(DL\right)_{\gamma(t) } \circ \left(D\gamma\right)_{t}
}
{ =} { L \circ \left(D\gamma\right)_{t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (L \circ \gamma)'(t)
}
{ =} { \left(D( L \circ \gamma) \right)_{t} (1)
}
{ =} { (\left(DL\right)_{\gamma(t) } \circ \left(D\gamma\right)_{t} )(1)
}
{ =} { L ( \left(D\gamma\right)_{t}(1))
}
{ =} { L ( \gamma'(t))
}
}
{}
{}{.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {W
} {}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Vektor und
\maabbeledisp {\gamma} {I} {G
} {t} {P+tv
} {,}
die zugehörige
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
durch diesen Punkt
\zusatzklammer {dabei sei das reelle Intervall
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{I
}
{ = }{[-a,a]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
so gewählt, dass
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \gamma (I)
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
liegt. Die zusammengesetzte Abbildung
\maabbeledisp {} {I} {W
} {t} {f( \gamma (t))
} {,}
wird zur Definition der
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
von $f$ in $P$ in Richtung $v$ verwendet, es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { { \left( f \circ \gamma \right) }'(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das zur Kurve
\mathl{f \circ \gamma}{} gehörige totale Differential in $0$ von $\R$ nach $W$, also
\mathl{\left(D (f \circ \gamma)\right)_{0}}{,} ist durch
\mathl{1 \mapsto { \left( f \circ \gamma \right) }'(0)}{} festgelegt. Andererseits ist nach der
Kettenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(f \circ \gamma)\right)_{0}
}
{ =} { \left(Df\right)_{\gamma(0)} \circ \left(D\gamma \right)_{0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{ \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { { \left( f \circ \gamma \right) }'(0)
}
{ =} { \left(D(f \circ \gamma)\right)_{0} (1)
}
{ =} { { \left( \left(Df\right)_{\gamma(0)} \circ \left(D\gamma \right)_{0} \right) } (1)
}
{ =} { \left(Df\right)_{\gamma(0)} ( \left(D\gamma \right)_{0} (1) )
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \left(Df\right)_{\gamma(0)} ( \gamma'(0) )
}
{ =} { \left(Df\right)_{P} (v )
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{.}
Dies ergibt einen neuen Beweis für
Proposition 46.8.
}
Das folgende Beispiel illustriert, dass das totale Differential unabhängig von der Wahl einer Basis ist, die partiellen Ableitungen aber nicht.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabb {f} { {\mathbb R}^3} { {\mathbb R}
} {,}
die durch
\mathdisp {(x,y,z) \longmapsto 2xy^2 + x^2z^3+ z^2} { }
gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich:
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x } } , \, { \frac{ \partial f }{ \partial y } } , \, { \frac{ \partial f }{ \partial z } } \right)_{(x,y,z)}
}
{ =} { \left( 2y^2 + 2xz^3 , \, 4xy , \, 3x^2z^2+ 2z \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da diese alle stetig sind, haben wir nach
Satz 46.10
das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
in jedem Punkt gefunden.
Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene
\mathdisp {E \subset {\mathbb R}^3, \, E = { \left\{ (x,y,z) \mid 3x+2y-5z = 0 \right\} }} { }
interessiert sind. $E$ ist also der Kern der linearen Abbildung
\maabbeledisp {L} {{\mathbb R}^3} {{\mathbb R}
} {(x,y,z)} {3x+2y-5z
} {.}
Als Kern ist $E$ selbst ein
\zusatzklammer {zweidimensionaler} {} {}
Vektorraum. Die Einschränkung von $f$ auf die Ebene ergibt also die Abbildung
\maabbdisp {\tilde{f} = f{{|}}_E} {E} {{\mathbb R}
} {.}
Diese Abbildung kann man als die Komposition
\maabb {} {E \subset {\mathbb R}^3} {{\mathbb R}
} {}
auffassen und diese ist nach
der Kettenregel
differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von $E$ in ${\mathbb R}^3$ mit $N$ bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung
\maabbdisp {\left(D\tilde{f}\right)_{P} = \left(Df\right)_{P} \circ N} {E} {{\mathbb R}
} {.}
Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen.
Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung \maabb {f {{|}}_E} {E} {{\mathbb R} } {} zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf $E$ gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von $E$ zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine \anfuehrung{beste Wahl}{,} und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus.
Eine Basis von $E$ ist beispielsweise durch \mathkor {} {v_1=(0,5,2)} {und} {v_2=(5,0,3)} {} gegeben, und eine weitere durch \mathkor {} {w_1=(1,1,1)} {und} {w_2=(2,-3,0)} {.} Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen \maabb {} {{\mathbb R}^2} {E } {} und somit numerische Beschreibungen der Abbildung \maabb {} {{\mathbb R}^2 \cong E} {{\mathbb R} } {,} womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können.
In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung
\mathdisp {(s,t) \longmapsto s v_1 + t v_2 = s(0,5,2) + t (5,0,3)=(5t,5s,2s + 3t)} { }
und dieser Ausdruck wird durch $f$ abgebildet auf
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ 2(5t)(5s)^2+(5t)^2(2s+3t)^3+(2s+3t)^2
}
{ =} { \zeilemitteil { 250ts^2+25 t^2(8s^3+36s^2t+ 54 st^2+ 27t^3) } {+ 4 s^2+ 9t^2 + 12st} }
{ =} { \zeilemitteil { 250ts^2 + 200s^3t^2 +900s^2t^3+1350st^4 } {+ 675 t^5+ 4s^2+9 t^2+ 12st} }
{ } { \zeilemitteil {
} {} }
{ } { \zeilemitteil {
} {} }
}
{}{}{.}
Die partiellen Ableitungen dieser Komposition
\zusatzklammer {nennen wir sie $g$} {} {}
bezüglich dieser Basis sind gegeben durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \partial g / \partial s
}
{ =} {500ts+ 600s^2 t^2+1800st^3 + 1350 t^4 + 8s + 12 t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \partial g / \partial t
}
{ =} {250s^2+ 400s^3t + 2700s^2 t^2+ 5400 s t^3+ 3375 t^4 + 18 t + 12s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In der zweiten Basis
\mathl{w_1=(1,1,1)}{} und
\mathl{w_2=(2,-3,0)}{} ist die Identifikation gegeben durch
\mathdisp {(r,u) \longmapsto r w_1 + u w_2 = r(1,1,1)+u(2,-3,0)=(r+2u,r-3u,r)} { }
und dieser Ausdruck wird unter $f$ abgebildet auf
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{2(r+2u)(r-3u)^2+(r+2u)^2 r^3+ r^2
}
{ =} { \zeilemitteil {2 r^3 + 4 r^2u - 12 r^2u - 24 ru^2 } {} }
{ =} { \zeilemitteil {2r^3-8r^2u-6ru^2+36u^3+r^5+4r^4u } {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
}
{}{}{.}
Die partiellen Ableitungen der Komposition
\zusatzklammer {nennen wir sie $h$} {} {}
bezüglich dieser Basis sind
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \partial h / \partial r
}
{ =} { 6r^2 - 16 ru -6u^2 + 5 r^4 +16 r^3u + 12 r^2u^2 + 2r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial h / \partial u
}
{ =} { -8 r^2 - 12 ru + 108 u^2 + 4 r^4 + 8 r^3 u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt.
}
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