Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 46

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Totale Differenzierbarkeit

Wir möchten Abbildungen zwischen Vektorräumen differenzieren (ohne auf eine Richtung Bezug zu nehmen), und allgemeiner Abbildungen

wobei eine gewisse offene Teilmenge ist. Wir wiederholen kurz die Situation in einer Variablen: Angenommen wir haben eine Abbildung , dann ist die Grundidee einer differenzierbaren Abbildung und ihrer Ableitung, eine „Tangente an den Graphen“ anzulegen. Dabei kann man sagen, dass die Tangente die beste lineare Approximation von (genauer: Der Graph einer affin-linearen Approximation) in einem gegebenen Punkt darstellt. Da die Steigung der Tangente wieder eine reelle Zahl ist, wird beim Differenzieren jedem Punkt wieder eine Zahl zugeordnet. Wir erhalten also eine neue Funktion, welche wir mit bezeichnen. Im höherdimensionalen Fall ist dies komplizierter, aber die Idee einer bestmöglichen linearen Approximation bleibt bestehen.

Die Übereinstimmung der Konzepte wird auch deutlich, wenn man den Graphen einer Abbildung anschaut. Zu einer differenzierbaren Funktion schmiegt sich die Tangente im Punkt an den Graphen zu an. Zu einer Funktion

ist der Graph eine Teilmenge von , den man sich als ein Gebirge über der Ebene vorstellen sollte. Eine sinnvolle Fragestellung ist, ob es zu einem Punkt eine anschmiegende Tangentialebene an den Graphen zu gibt.

Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Vektorräume endlichdimensional und mit einer euklidischen Norm versehen sind. Wie schon gezeigt wurde, hängt die Topologie, also die Konzepte offene Menge, Stetigkeit, Konvergenz, nicht von der gewählten euklidischen Struktur ab.


Definition  

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume, eine offene Menge und eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt , wenn es eine -lineare Abbildung mit der Eigenschaft

gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.

Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von an der Stelle und wird mit
bezeichnet.

Äquivalent zur totalen Differenzierbarkeit ist die Eigenschaft, dass der Ausdruck

für gegen konvergiert. Ebenfalls äquivalent ist die Eigenschaft, dass der Limes (von Funktionen)

existiert und gleich ist (siehe Aufgabe 46.9).

Das Konzept der totalen Differenzierbarkeit ist eher theoretisch und weniger konkreten Berechnungen zugänglich. Wir werden später dieses Konzept mit dem Konzept der partiellen Ableitungen in Verbindung bringen, welches eher für Berechnungen geeignet ist, jedoch von Koordinaten, d.h. von der Auswahl einer Basis, abhängt (siehe auch Beispiel 47.6 in der nächsten Vorlesung).



Lemma  

Seien und endlichdimensionale -Vektorräume und sei die Abbildung auf einer offenen Teilmenge definiert. Sei ein Punkt.

Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus Definition 46.1.

Ist im Punkt differenzierbar, so ist das totale Differential eindeutig bestimmt.

Beweis  

Angenommen, es gelte

und

mit zwei linearen Abbildungen und zwei und im Punkt stetigen Funktionen mit . Wir müssen zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung

Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung ihre einzige lineare Approximation ist.  Wir nehmen daher an, dass

gilt, wobei linear und eine in stetige Funktion mit ist. Wenn nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor mit . Dann gilt für

Dies impliziert, dass für gilt. Die Norm von ist daher konstant gleich . Also gilt , ein Widerspruch.



Beispiel  

Ist konstant mit für alle , so ist differenzierbar mit totalem Differential (siehe Aufgabe 46.6).




Proposition  

Sei eine -lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen -Vektorräumen und .

Dann ist in jedem Punkt differenzierbar und stimmt in jedem Punkt mit ihrem totalen Differential überein.

Beweis  

Aufgrund der Linearität gilt

Also können wir wählen.


Diese Aussage gilt auch für affin-lineare Abbildungen, also Abbildungen der Form

mit einer linearen Abbildung und einem festen Vektor . In diesem Fall ist das totale Differential gleich .



Lemma  

Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine Abbildung.

Dann ist genau dann in als Kurve differenzierbar, wenn in total differenzierbar ist.

In diesem Fall besteht die Beziehung

Beweis  

Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt bedeutet nach Definition 34.3 die Existenz des Limes

Diese Existenz ist (entsprechend Satz 19.5) dazu äquivalent, dass man

mit einem Vektor und einer in stetigen Abbildung mir schreiben kann (wobei sein muss). Dabei kann man hinten durch ersetzen (wobei man auch abwandeln muss). Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der totalen Differenzierbarkeit.




Proposition  

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und eine offene Teilmenge. Seien im Punkt differenzierbare Abbildungen mit den Differentialen und .

Dann ist auch in differenzierbar und es gilt

Ebenso gilt .

Beweis  

Sei und . Dann gilt

Wir erhalten also die gewünschte Gestalt, da auch in stetig mit ist. Der Beweis der zweiten Aussage ist ähnlich.




Proposition  

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und eine offene Teilmenge. Sei eine in differenzierbare Abbildung.

Dann ist auch stetig im Punkt .

Beweis  

Nach Definition gilt . Die rechte Seite ist stetig (nach Definition 46.1 und Satz 33.10) in . Damit ist stetig in .




Totale Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen

Im Folgenden wollen wir den Zusammenhang zwischen Richtungsableitungen, partiellen Ableitungen und dem totalen Differential verstehen. Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit.



Proposition  

Seien und endlichdimensionale -Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine im Punkt differenzierbare Abbildung.

Dann ist in in jede Richtung differenzierbar, und es gilt

Beweis  

Da eine lineare Abbildung von nach ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor einen Vektor in . Nach Voraussetzung haben wir

(mit den üblichen Bedingungen an ). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines)

Also gilt

da und der Ausdruck beschränkt ist.


Bemerkung  

Es sei offen und eine in total differenzierbare Abbildung. Dann existieren nach Proposition 46.8 und nach Lemma 45.3 die partiellen Ableitungen

im Punkt . Daher existiert die Jacobi-Matrix

Diese Matrix beschreibt das totale Differential bezüglich der Standardbasen im und .




Satz  

Sei offen und eine Abbildung. Seien , , die Koordinaten von und ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung von existieren und in stetig sind.

Dann ist in (total) differenzierbar.

Ist die Abbildung bezüglich der Standardbasis des durch die Koordinatenfunktionen gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in durch die Jacobi-Matrix

beschrieben.

Beweis  




Korollar  

Beweis  

Dies folgt aus Satz 46.10 und daraus, dass die partiellen Ableitungen von Polynomfunktionen wieder Polynomfunktionen sind, die nach Satz 33.12 stetig sind.




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