Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 21

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Übungsaufgaben

Aufgabe

In einer Familie leben und . Dabei ist dreimal so alt wie und zusammen, ist älter als und ist älter als , wobei der Altersunterschied von zu doppelt so groß wie der von zu ist. Ferner ist siebenmal so alt wie und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich .

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.


Aufgabe *

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Aufgabe

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.



Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, so dass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?


Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe *

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe

Gibt es eine Lösung für das lineare Gleichungssystem

aus Beispiel 21.1?


Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.


Aufgabe

Bringe das lineare Gleichungssystem

in Standardgestalt und löse es.


Aufgabe *

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.


Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an den Begriff der Sekante, der schon im Kontext der Differentialrechnung aufgetaucht ist.

Zu einer auf einer Teilmenge definierten Funktion

und zwei verschiedenen Punkten heißt die Gerade durch und die Sekante von an und .


Aufgabe

Bestimme eine Geradengleichung der Sekante der Funktion

zu den Stellen  und .


Aufgabe

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte

liegen.


Aufgabe

Finde zu einer komplexen Zahl die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.


Aufgabe

Löse über den komplexen Zahlen das lineare Gleichungssystem


Aufgabe

Es sei der in Beispiel 4.4 eingeführte Körper mit zwei Elementen. Löse in das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.


In den folgenden vier Aufgaben geht es insbesondere darum, ein für die Aufgabenstellung angemessenes Lösungsverfahren zu finden und durchzuführen.

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe *

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe *

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter den Lösungsraum der linearen Gleichungssystems


Aufgabe

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.


Aufgabe

3punktsmodell.svg

Es sei

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung durch ersetzt?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem in den Variablen , das durch die beiden Gleichungen

und

gegeben ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte im die beiden Ebenen

Bestimme die Schnittgerade .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte

liegen.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

über den reellen Zahlen in Abhängigkeit von . Für welche besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein lineares Gleichungssystem

genau dann nur die triviale Lösung besitzt, wenn ist.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.



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